误差不确定度及其相关数学知识公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件.pptx

误差及不拟定度其相关数学知识误差及不拟定度其相关数学知识第1页第1页误差定义及其表示：误差定义及其表示：误差 绝对误差相对误差粗大误差系统误差随机误差表示形式性质特点引用误差第2页第2页绝对误差（AbsoluteError）绝对误差 被测量真值，惯用商定真值代替 测得值特点：1)绝对误差是一个含有拟定大小、符号及单位量。2)给出了被测量量纲，其单位与测得值相同。LLL0绝对误差测得值真值第3页第3页修正值(Correction):为了消除固定系统误差用代数法而加到测量结果上值。修正值真值测得值特点：1)与误差大小近似相等，但符号相反。2)修正值本身尚有误差。故修正后只能得到较测得值更为准确结果误差第4页第4页定义 被测量真值，惯用商定真值代替，也能够近似用测量值L来代替 L0相对误差 特点：1）相对误差有大小和符号。2）无量纲，普通用百分数来表示。绝对误差相对误差（RelativeError）：绝对误差与被测量真值之比 第5页第5页绝对误差和相对误差比较用一个测长仪测量0.01m长工件，其绝对误差=0.0006mm,但用来测量1m长工件,其绝对误差为=0.0105mm。前者相对误差为 后者相对误差为用绝对误差不便于比较不同量值、不同单位、不同物理量等准确度。第6页第6页定义 该标称范围（或量程）上限 引用误差 仪器某刻度点示值误差或量程内最大绝对误差 引用误差是一个简化实用仪器仪表示值相对误差，并且该相对误差是引用了特定值，即标称范围上限（或量程）得到，故该误差又称为引用相对误差、满度误差。引用误差（FiducialErrorofaMeasuringInstrument）我国电工仪表、压力表准确度等级（AccuracyClass）就是按照引用误差进行分级。如本例中电压表为2.5级，即是其引用误差为2.5%.第7页第7页误差起源：误差起源：主要起源 测量装置误差 测量环境误差 测量办法误差 测量人员误差 原则器件误差仪器误差附件误差第8页第8页误差分类：误差分类：系统误差（SystematicError）在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果平均值与被测量真值之差。定义特性 在相同条件下，多次测量同一量值时，该误差绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，按某一拟定规律改变误差。按特点与性质分：系统误差、随机误差、粗大误差第9页第9页随机误差（RandomError）测得值与在重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果平均值之差。又称为偶然误差。定义特性 在相同测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式改变误差。产生原因试验条件偶然性微小改变，如温度波动、噪声干扰、电磁场微变、电源电压随机起伏、地面振动等。第10页第10页 随机误差大小、方向均随机不定，不可预见，不可修正。即使一次测量随机误差没有规律，不可预定，也不能用试验办法加以消除。但是，通过大量重复测量能够发觉，它是遵循某种统计规律。因此，能够用概率统计办法处理含有随机误差数据，对随机误差总体大小及分布做出预计，并采用适当办法减小随机误差对测量结果影响。随机误差性质第11页第11页粗大误差（GrossError）指明显超出统计规律预期值误差。又称为疏忽误差、过失误差或简称粗差。定义产生原因一些偶然突发性异常原因或疏忽所致。测量办法不妥或错误，测量操作疏忽和失误（如未按规程操作、读错读数或单位、统计或计算错误等）测量条件忽然改变（如电源电压忽然增高或减少、雷电干扰、机械冲击和振动等）。由于该误差很大，明显歪曲了测量结果。故应按照一定准则进行判别，将含有粗大误差测量数据（称为坏值或异常值）予以剔除。第12页第12页随机误差：随机误差：随机随机(偶然偶然)误差来自于误差来自于不可知原因不可知原因，误差出现，误差出现完全完全随机随机，难以预计每个原因对测量结果影响。，难以预计每个原因对测量结果影响。遵循一定遵循一定统计规律统计规律，能够用，能够用数理统计办法数理统计办法来处理测来处理测量结果量结果。对随机误差所作概率统计处理，是在完全对随机误差所作概率统计处理，是在完全排除了排除了系系系系统误差统误差统误差统误差前提前提下进行。下进行。第13页第13页随机变量：随机变量：假如某一量（如测量结果）在一定条件下，取某一值或者在某一定范围内取值是一个随机事件随机事件，这样量叫随机变量。随机变量特点：它以一定概率，在一定区间上取值或者取某一固定值。第14页第14页概率：表征随机事件发生也许性大小量，是事件本身所固有不随人主观意愿而改变一个属性。概率分布函数：随机变量X分布函数 F(x)=PX=x(-x+)第15页第15页随机变量数字特性 数学盼望:反应其平均特性。其定义下列：X为离散型随机变量：X为连续型随机变量：方差和原则偏差 方差是用来描述随机变量与其数学盼望分散程度。设随机变量X数学盼望为E(X)，则X方差定义为：D(X)=E(XE(X)2 原则偏差定义为：第16页第16页正态分布概率密度函数和统计特性随机误差概率密度函数为：测量数据X概率密度函数为：随机误差数学盼望和方差为：同样测量数据数学盼望E(X)，方差D(X)第17页第17页 随机误差和测量数据分布形状相同，由于它们原则偏差相随机误差和测量数据分布形状相同，由于它们原则偏差相同，只是横坐标相差同，只是横坐标相差随机误差含有：随机误差含有：对称性对称性 单峰性单峰性 有界性有界性 抵偿性抵偿性 第18页第18页第19页第19页原则偏差是代表测量数据和测量误差分布离散程度特性数。原则偏差越小，则曲线形状越锋利，阐明数据越集中；原则偏差越大，则曲线形状越平坦，阐明数据越分散。第20页第20页 求被测量数字特性，理论上需无穷多次测量，但在实际测量中只能进行有限次测量，怎么办？有限次测量数学盼望预计值有限次测量数学盼望预计值算术平均值算术平均值算术平均值原则偏差算术平均值原则偏差算术平均值原则偏差比总体或单次测量值原则偏差小 倍。原因是随机误差抵偿性。第21页第21页有限次测量数据原则偏差预计值算术平均值算术平均值：残差：残差：试验原则偏差试验原则偏差（原则偏差预计值），贝塞尔公式：原则偏差预计值），贝塞尔公式：算术平均值原则偏差预计值算术平均值原则偏差预计值 ：第22页第22页置信概率与置信区间：置信区间 内包括真值概率称为置信概率。置信限：k置信系数（或置信因子）置信概率是图中置信概率是图中阴影部分面积阴影部分面积置信因子置信因子置信因子置信因子k k置信概率置信概率置信概率置信概率PcPc1 10.6830.6832 20.9550.9553 30.9970.997第23页第23页原则差盼望值 均值 某次测得值 奇异值 第24页第24页 非正态分布非正态分布pp(x x)0 0 x x图图2.10 2.10 均匀分布均匀分布a ab b其特点是在误差范围内，其特点是在误差范围内，误差误差出现概率各处相同出现概率各处相同。如仪。如仪器中度盘器中度盘回差回差所造成误差；所造成误差；数数字仪器中字仪器中量化误差量化误差（在（在11单位以内不能分辨误单位以内不能分辨误差）；数差）；数据计算中据计算中舍入误差舍入误差（舍掉（舍掉或进位低位数字概率是相或进位低位数字概率是相同同）等，均为均匀分布误差。）等，均为均匀分布误差。x x+e e0 0-e-epp(x x)图图2.12 2.12 反反正正弦弦分分布布反正弦反正弦均匀均匀三角三角2323正态正态包括因子包括因子k k分布分布p p(x x)0 0 x x图图2.11 2.11 三角分布三角分布-e-ee e第25页第25页不等精度测量：不等精度测量：在实际测量过程中，因为客观条件限制，测量条件是变动，得到了不等精度测量。对于精密科学试验而言，为了得到极其准确测量结果，需要在不同试验室，用不同测量方法和测量仪器，由不同人进行测量。假如这些测量结果是相互一致。那么测量结果就是真正能够信赖。这是人为地改变测量条件而进行不等精度测量。对于某一个未知量，历史上或近年来有许多人进行精心研究和精密测量，得到了不同测量结果。我们就需要将这些测量结果进行分析研究和综合，方便得到一个最为满意准确测量结果。这也是不等精度测量。第26页第26页（一）权概念 在等精度测量中，各个测量值认为一样可靠，并取全部测得值算术平均值作为最终测量结果。在不等精度测量中，各个测量结果可靠程度不同，因而不能简朴地取各测量结果地算术平均值作为最终测量结果，应让可靠程度大测量结果在最终测量结果中占有比重大些，可靠程度小占比重小些。各测量结果可靠程度可用一数值来表示，这数值即称为该测量结果“权”，记为 ，能够了解为当它与另一些测量结果比较时，对该测量结果所给予信赖程度。（二）权确实定办法（二）权确实定办法 测量结果权阐明了测量可靠程度，因此可依据这一原则来拟定权大小。最简朴办法可按测量次数来拟定权，即测量条件和测量者水平皆相同，则重复测量次数愈多，其可靠程度也愈大，因此完全可由测量次数来拟定权大小，即 。第27页第27页系统误差：系统误差：系统误差特性：在同一条件下，在同一条件下，多次测量同一量值时，多次测量同一量值时，误差绝对值和符号保误差绝对值和符号保持不变，或者在条件持不变，或者在条件改变时，误差按一定改变时，误差按一定规律改变。规律改变。多次测量求平均不多次测量求平均不能能减少系差减少系差。第28页第28页系统误差削弱或消除办法 （1）从产生系统误差根源上采取办法减小系统误差要从测量原理和测量方法尽力做到正确、严格。测量仪器定时检定和校准，正确使用仪器。注意周围环境对测量影响，尤其是温度对电子测量影响较大。尽也许降低或消除测量人员主观原因造成系统误差。应提升测量人员业务技术水平和工作责任心，改进设备。（2）用修正方法降低系统误差修正值误差=（测量值真值）实际值测量值修正值第29页第29页（3 3）采用一些专门测量办法）采用一些专门测量办法 替换法 互换法 对称测量法 减小周期性系统误差半周期法 第30页第30页粗大误差：粗大误差：大误差出现概率很小，列出可疑数据，分析是否是粗大误差，若是，则应将相应测量值剔除。1.粗大误差产生原因以及预防与消除办法 粗大误差产生原因 测量人员主观原因：操作失误或错误统计；客观外界条件原因：测量条件意外改变、受较大电磁干扰，或测量仪器偶然失效等。预防和消除粗大误差办法主要是采用各种办法，预防产生粗大误差。第31页第31页粗大误差判别准则统计学办法基本思想是：给定一置信概率，拟定相应置信统计学办法基本思想是：给定一置信概率，拟定相应置信区间，凡超出置信区间误差就认为是粗大误差，并予以剔区间，凡超出置信区间误差就认为是粗大误差，并予以剔除。除。莱特检查法莱特检查法 格拉布斯检查法格拉布斯检查法 式中，式中，G G值按重复测量次数值按重复测量次数n n及置信概率及置信概率PcPc拟定拟定 第32页第32页测量不拟定度：测量不拟定度：指测量结果变化不愿定，即测量结果含有一个参数，表征被测量值分散性。测量结果被测量预计值不拟定度测量结果被测量预计值不拟定度完整测量结果有两个基本量：完整测量结果有两个基本量：完整测量结果有两个基本量：完整测量结果有两个基本量：被测量被测量被测量被测量Y Y最佳预计量最佳预计量最佳预计量最佳预计量y y,多用测量数据算术平均值；多用测量数据算术平均值；多用测量数据算术平均值；多用测量数据算术平均值；描述测量结果分散性量，即测量不拟定度。描述测量结果分散性量，即测量不拟定度。描述测量结果分散性量，即测量不拟定度。描述测量结果分散性量，即测量不拟定度。不拟定度是定量阐明测量结果质量参数，本身没有不拟定度是定量阐明测量结果质量参数，本身没有不拟定度是定量阐明测量结果质量参数，本身没有不拟定度是定量阐明测量结果质量参数，本身没有正负号，但用正负号，但用正负号，但用正负号，但用y y U U形式表示测量结果时，形式表示测量结果时，形式表示测量结果时，形式表示测量结果时，U U代表被测量代表被测量代表被测量代表被测量值也许分散区间。值也许分散区间。值也许分散区间。值也许分散区间。第33页第33页不拟定度相关概念：原则不拟定度：用原则差表示测量结果不拟定度。合成原则不拟定度：在一个测量模型中各输入量不拟定度取得输出量原则 测量不拟定度。相对原则不拟定度：原则不拟定度除以测得值绝对值。扩展不拟定度：合成原则不拟定度与一个不小于1数字因子乘积。包括区间：基于可获信息拟定包括被测量一组值区间，被测量值以一定概率 落在该区间内。包括概率：在要求包括区间内包括被测量一组值概率。包括因子：为取得扩展不拟定度，对合成原则不拟定度所乘不小于1数。(k)第34页第34页不拟定度表示注意事项：不拟定度表示注意事项：2）有效数字普通不超出两位；有效数字普通不超出两位；1）不拟定度数值与被测量预计值末位对齐，单位相同；不拟定度数值与被测量预计值末位对齐，单位相同；3）“三分之一准则三分之一准则”修约修约(依据微小误差取舍原则依据微小误差取舍原则)。先令测量预计值最末位一个单位作为测量不拟定度基本先令测量预计值最末位一个单位作为测量不拟定度基本先令测量预计值最末位一个单位作为测量不拟定度基本先令测量预计值最末位一个单位作为测量不拟定度基本单位，再将不拟定度取至基本单位整数位，其余位数若单位，再将不拟定度取至基本单位整数位，其余位数若单位，再将不拟定度取至基本单位整数位，其余位数若单位，再将不拟定度取至基本单位整数位，其余位数若小于基本单位小于基本单位小于基本单位小于基本单位1/31/3则舍去，若不小于或等于基本单位则舍去，若不小于或等于基本单位则舍去，若不小于或等于基本单位则舍去，若不小于或等于基本单位1/31/3，舍去后将最末整数位加，舍去后将最末整数位加，舍去后将最末整数位加，舍去后将最末整数位加1 1。被测量预计值为被测量预计值为被测量预计值为被测量预计值为20.0005mm,20.0005mm,若扩展不拟定度若扩展不拟定度若扩展不拟定度若扩展不拟定度U=0.00124mmU=0.00124mm，修，修，修，修约为约为约为约为0.0013;0.0013;若扩展不拟定度若扩展不拟定度若扩展不拟定度若扩展不拟定度U=0.00123mmU=0.00123mm，修约为，修约为，修约为，修约为0.0012.0.0012.第35页第35页联系：联系：测量结果精度评估参数；测量结果精度评估参数；所有不拟定度分量都用原则差表征，由所有不拟定度分量都用原则差表征，由 随机误差或系统误差引起；随机误差或系统误差引起；误差是不拟定度基础。误差是不拟定度基础。区别：区别：误差以真值或商定真值为中心，误差以真值或商定真值为中心，不拟定度以被测量预计值为中心；不拟定度以被测量预计值为中心；误差普通难以定值，不拟定度能够定量评估；误差普通难以定值，不拟定度能够定量评估；误差有三类，界线模糊，难以严格区别；误差有三类，界线模糊，难以严格区别；测量不拟定度分两类，界线分明，分析办法简朴。测量不拟定度分两类，界线分明，分析办法简朴。误差与不拟定度区别：误差与不拟定度区别：第36页第36页两类原则不拟定度评估：两类原则不拟定度评估：A类评估类评估：通过对一系列观测数据统计分析来评估通过对一系列观测数据统计分析来评估即对某被测量值进行等精度独立多次重复测量，得出即对某被测量值进行等精度独立多次重复测量，得出即对某被测量值进行等精度独立多次重复测量，得出即对某被测量值进行等精度独立多次重复测量，得出一系列测得值一系列测得值一系列测得值一系列测得值x xi i，通常以测量列算术平均值，通常以测量列算术平均值，通常以测量列算术平均值，通常以测量列算术平均值 作为被作为被作为被作为被测量值预计值，以测量值预计值，以测量值预计值，以测量值预计值，以 原则差原则差原则差原则差 作为测量结果作为测量结果作为测量结果作为测量结果A A类原类原类原类原则不拟定度，即则不拟定度，即则不拟定度，即则不拟定度，即 。B类评估：类评估：用非统计分析办法，基于经验或其它信息用非统计分析办法，基于经验或其它信息所认定概率分布来评估。所认定概率分布来评估。第37页第37页第38页第38页区间半宽度a拟定：n 以前测量数据、经验和资料；以前测量数据、经验和资料；n 相关仪器和装置普告知识、制造阐明书和检定证相关仪器和装置普告知识、制造阐明书和检定证书或其它汇报所提供数据；书或其它汇报所提供数据；n 由手册提供参考数据等。由手册提供参考数据等。K值拟定：正态分布：正态分布：第39页第39页 非正态分布：第40页第40页测量不拟定度合成：直接测量：1.测量值重复性引起不拟定度2.原则源准确度引起不拟定度3.读数分辨率引起不拟定度第41页第41页间接测量：若：若：，则由，则由xi引起被测量引起被测量y原则原则不拟定度分量为不拟定度分量为而测量结果而测量结果y合成原则不拟定度合成原则不拟定度uc可用下式表征：可用下式表征：其中，其中，ij为任意两个直接测量值为任意两个直接测量值xi，xj不拟定度相关不拟定度相关系数。系数。第42页第42页第43页第43页导数概念第44页第44页其它形式:即第45页第45页常数和基本初等函数导数公式第46页第46页 设函数 与 在点 处均可导，则它们和、差、积、商（当分母不为零时）在点 处也可导，且有下列法则 函数和、差、积、商求导法则第47页第47页设,求解第48页第48页或或复合函数求导法则第49页第49页 解 可看作是由 复合而成，因此设 ，求 第50页第50页微分定义微分定义第51页第51页微分基本公式微分基本公式第52页第52页微分四则运算法则微分四则运算法则第53页第53页误差预计误差预计例1：设测得圆钢截面直径 D=60.03mm,测量D绝对误差限 ，利用公式计算圆钢截面积时，试预计面积误差。解：设测量 D时产生误差为 D，则面积A 间接测量误差为：第54页第54页偏导数偏导数第55页第55页第56页第56页解解第57页第57页全微分全微分第58页第58页解解误差预计误差预计第59页第59页第60页第60页从而从而g相对误差约为相对误差约为第61页第61页