2005年福建高考理科数学真题及答案.doc

2005年福建高考理科数学真题及答案

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷（选择题 共60分）
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数的共轭复数是 （ ）
A． B． C． D．
2．已知等差数列中，，则的值是 （ ）
A．15 B．30 C．31 D．64
3．在△ABC中，∠C=90°，则k的值是 （ ）
A．5 B．－5 C． D．
4．已知直线m、n与平面，给出下列三个命题：
①若
②若
③若
其中真命题的个数是 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是 （ ）

A．
B．
C．
D．
6．函数的部分图象如图，则 （ ）

A． B．
C． D．
7．已知p：则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是（ ）

A． B．
C． D．
9．从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 （ ）
A．300种 B．240种 C．144种 D．96种
10．已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 （ ）
A． B． C． D．
11．设的最小值是 （ ）
A． B． C．－3 D．
12．是定义在R上的以3为周期的奇函数，且则方程在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。
13．展开式中的常数项是 （用数字作答）。
14．非负实数满足的最大值为 。
15．若常数b满足|b|>1，则 .
16．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：
若函数的图象与的图象关于 对称，则函数=
。

（注：填上你认为可以成为真命题的一件情形即可，不必考虑所有可能的情形）.

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
已知.
（I）求sinx－cosx的值；
（Ⅱ）求的值.

18．（本小题满分12分）
甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为，投中得1分，投不中得0分.
（Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和ξ的数学期望；
（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率；

19．（本小题满分12分）
已知函数的图象在点M（－1，f(1)）处的切线方程为x+2y+5=0.
（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；
（Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间.

20．（本小题满分12分）
如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.

（Ⅰ）求证AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求二面角B—AC—E的大小；
（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离.

21．（本小题满分12分）
已知方向向量为v=(1,)的直线l过点（0，－2）和椭圆C：的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在过点E（－2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足
cot∠MON≠0（O为原点）.若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由.

22．（本小题满分14分）
已知数列{an}满足a1=a, an+1=1+我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当a=1时，得到无穷数列：
（Ⅰ）求当a为何值时a4=0；
（Ⅱ）设数列{bn}满足b1=－1, bn+1=，求证a取数列{bn}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{an}；
（Ⅲ）若，求a的取值范围.

参考答案

一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.
1.B 2.A 3.A 4.C 5.D 6.C 7.A 8.D 9.B 10.D 11.C 12.D
二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分.
13.240 14.9 15.
16.如 ①x轴，－3－log2x ②y轴，3+log2(－x)
③原点，－3－log2(x) ④直线y=x, 2x－3

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等基本知识，以及推理和运算能力.满分12分.
解法一：（Ⅰ）由
即
又
故
（Ⅱ）

①②
解法二：（Ⅰ）联立方程
由①得将其代入②，整理得

故
（Ⅱ）

18．本小题主要考查概率的基本知识，运用数学知识解决问题的能力，以及推理和运算能力. 满分12分.
解：（Ⅰ）依题意，记甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，则

甲、乙两人得分之和ξ的可能取值为0、1、2，则ξ概率分布为：
ξ
0
1
2
P

Eξ=0×+1×+2×=
答：每人在罚球线各投球一次，两人得分之和ξ的数学期望为.
（Ⅱ）∵事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概率为

∴甲、乙两人在罚球线各投球两次至少有一次命中的概率

答：甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少有一次命中的概率为
19．本小题主要考查函数的单调性，导数的应用等知识，考查运用数学 知识，分析问题和解决问题的能力.满分12分.
解：（1）由函数f(x)的图象在点M（－1f(－1)）处的 切线方程为x+2y+5=0，知

∴

20．本小题主要考查直线、直线与平面、二面角及点到平面的距离等基础知识，考查空间想
象能力，逻辑思维能力与运算能力. 满分12分.

解法一：（Ⅰ）平面ACE.
∵二面角D—AB—E为直二面角，且， 平面ABE.

（Ⅱ）连结BD交AC于G，连结FG，
∵正方形ABCD边长为2，∴BG⊥AC，BG=，
平面ACE，
由三垂线定理的逆定理得FG⊥AC.
是二面角B—AC—E的平面角.
由（Ⅰ）AE⊥平面BCE， 又，
∴在等腰直角三角形AEB中，BE=.
又直角
，

∴二面角B—AC—E等于
（Ⅲ）过点E作交AB于点O. OE=1.∵二面角D—AB—E为直二面角，
∴EO⊥平面ABCD. 设D到平面ACE的距离为h，

平面BCE，

∴点D到平面ACE的距离为
解法二：（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）以线段AB的中点为原点O，OE所在直
线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行
于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系
O—xyz，如图.

面BCE，BE面BCE， ，
在的中点，

设平面AEC的一个法向量为，
则
解得
令得是平面AEC的一个法向量.
又平面BAC的一个法向量为，

∴二面角B—AC—E的大小为
（III）∵AD//z轴，AD=2，∴，
∴点D到平面ACE的距离
21．本小题主要考查直线、椭圆及平面向量的基本知识，平面解析几何的基本方法和综合解题能力.满分14分.
（I）解法一：直线， ①
过原点垂直的直线方程为， ②
解①②得
∵椭圆中心O（0，0）关于直线的对称点在椭圆C的右准线上，

∵直线过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）.
故椭圆C的方程为 ③
解法二：直线.
设原点关于直线对称点为（p，q），则解得p=3.
∵椭圆中心O（0，0）关于直线的对称点在椭圆C的右准线上，
∵直线过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）.
故椭圆C的方程为 ③
（II）解法一：设M（），N（）.
当直线m不垂直轴时，直线代入③，整理得

点O到直线MN的距离
即

即
整理得
当直线m垂直x轴时，也满足.
故直线m的方程为
或或
经检验上述直线均满足.
所以所求直线方程为或或
解法二：设M（），N（）.
当直线m不垂直轴时，直线代入③，整理得

∵E（－2，0）是椭圆C的左焦点，
∴|MN|=|ME|+|NE|
=
以下与解法一相同.
解法三：设M（N（）.
设直线，代入③，整理得

即

∴=，整理得
解得或
故直线m的方程为或或
经检验上述直线方程为
所以所求直线方程为或或
22．本小题主要考查数列、不等式等基础知识，考试逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.满分14分.
（I）解法一：

故a取数列{bn}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{an}
解法二：

∴ …………
一般地，当a=bn时，可得一个含有n+1项的有穷数列
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，a=b1显然a2=0得到一个含有2项的有穷数列a1，a2。
②假设当n=k时，得到一个含有k+1项的有穷数列，则n=k+1时， ∴
由假设可知，可得到一个含有k+1项的有穷数列
∴当n=k+1时，可得到一个含有k+2项的有穷数列
由①②知，对一切命题都成立。
（Ⅲ）要使
∴要使当且仅当它的前一项
∵ ∴只须当时都有
由
解不等式组
故a>0