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2004年江苏高考数学真题及答案
一、选择题(5分×12=60分)
1.设集合P={1，2，3，4}，Q={}，则P∩Q等于 ( )
(A){1，2} (B) {3，4} (C) {1} (D) {-2，-1，0，1，2}
2.函数y=2cos2x+1(x∈R)的最小正周期为 ( )
(A) (B) (C) (D)
3.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 ( )
(A)140种 (B)120种 (C)35种 (D)34种
4.一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是 ( )
(A) (B) (C) (D)
5.若双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，则双曲线的离心率为 ( )
(A) (B) (C) 4 (D)
6.某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示. 根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 ( )
(A)0.6小时 (B)0.9小时 (C)1.0小时 (D)1.5小时
0.5
人数(人)
时间(小时)
20
10
5
0
1.0
1.5
2.0
15

7.的展开式中x3的系数是 ( )
(A)6 (B)12 (C)24 (D)48
8.若函数的图象过两点(-1，0)和(0，1)，则 ( )
(A)a=2,b=2 (B)a=,b=2 (C)a=2,b=1 (D)a=,b=
9.将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是 ( )
(A) (B) (C) (D)
10.函数在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 ( )
(A)1，-1 (B)1，-17 (C)3，-17 (D)9，-19
11.设k>1，f(x)=k(x-1)(x∈R) . 在平面直角坐标系xOy中，函数y=f(x)的图象与x轴交于A点，它的反函数y=f -1(x)的图象与y轴交于B点，并且这两个函数的图象交于P点. 已知四边形OAPB的面积是3，则k等于 ( )
(A)3 (B) (C) (D)
12.设函数，区间M=[a，b](a0的解集是_______
14.以点(1，2)为圆心，与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是________________.
15.设数列{an}的前n项和为Sn，Sn=(对于所有n≥1)，且a4=54，则a1的数值是_______________________.
16.平面向量a，b中，已知a=(4，-3)，=1，且ab=5，则向量b=__________.
三、解答题(12分×5+14分=74分)
17.已知0<α<，tan+cot=，求sin()的值.

18.在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1=4CP.
(Ⅰ)求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；
·
B1
P
A
C
D
A1
C1
D1
B
O
H
·
(Ⅱ)设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1H⊥AP；
(Ⅲ)求点P到平面ABD1的距离.

19.制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.
某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？

20.设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn.
(Ⅰ)若首项，公差，求满足的正整数k；
(Ⅱ)求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数k都有成立.

21.已知椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点是F（-m,0）(m是大于0的常数). (Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线与y轴交于点M. 若，求直线的斜率.

22.已知函数满足下列条件：对任意的实数x1，x2都有

和 ， 其中是大于0的常数.
设实数a0，a，b满足 和
(Ⅰ)证明，并且不存在，使得；
(Ⅱ)证明；
(Ⅲ)证明.

2004年高考数学江苏卷答案
一、 选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
D
C
A
B
C
A
D
C
B
A
二、 填空题
13、； 14、；
15、2； 16、
三、 解答题
（17）由已知得：得，，，从而
（18）
（1）连结BP，平面，与平面所成角就是，，在中，为直角，，故，在中，为直角，，，即直线AP与平面所成角为。
（2）连结，四边形是正方形，，又平面，，，平面，由于平面，，又平面的斜线在这个平面内的射影是，.
(3)连结，在平面中，过点P作于点Q，AB⊥平面,PQ平面,PQ⊥AB，PQ⊥平面，PQ就是点P到平面ABD1的距离，在中，，，即点P到平面ABD1的距离为。
（19）设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，由题意：，目标函数，上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可行域。作直线，并作平行于直线的一组直线，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的点M，且与直线的距离最大，这里M点是直线和直线的交点，解方程组得，此时（万元），，当时，最得最大值。
答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8 万元的前提下，使可能的盈利最大。
（20）（1）当时，，由得， ，即，又，所以。
（2）设数列的公差为，则在中分别取得即，由（1）得或。
当时，代入（2）得：或；
当时，，从而成立；
当时，则，由，知，，故所得数列不符合题意；
当时，或，当，时，，从而成立；当， 时，则，从而成立，综上共有3个满足条件的无穷等差数列； 或或。
（21）（1）设所求椭圆方程是由已知得，所以，故所求椭圆方程是
（2）设，直线，则点，当时，由于，，由定比分点坐标公式得，又点在椭圆上，所以，；当时
，所以得，解得，故直线的斜率是。
（22）证明：（1）任取，则由 ①
和 ②
可知，，从而；
假设有，使得，则由①式知，，矛盾，因此不存在，使得。
（2）由 ③可知
④
由和①得， ⑤
由和②得， ⑥
将⑤⑥代入④得；
（3）由③式可知，
（用②式）

（用①式）
。