1、第六章 近独立粒子的最概然分布 6.1 试根据式（）证明：在体积V内，在到的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为 解: 式（）给出，在体积内，在到到到的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为 （1）用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，可得在体积V内，动量大小在到范围内三维自由粒子可能的量子态数为 （2）上式可以理解为将空间体积元（体积V，动量球壳）除以相格大小而得到的状态数. 自由粒子的能量动量关系为因此将上式代入式（2），即得在体积V内，在到的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为 （3） 6.2 试证明，对于一维自由粒子，在长度L内，在到的能量范围内，量子态数为 解: 根据
2、式（），一维自由粒子在空间体积元内可能的量子态数为在长度L内，动量大小在到范围内（注意动量可以有正负两个可能的方向）的量子态数为 （1）将能量动量关系代入，即得 （2） 6.3 试证明，对于二维的自由粒子，在面积内，在到的能量范围内，量子态数为 解: 根据式（），二维自由粒子在空间体积元内的量子态数为 （1）用二维动量空间的极坐标描述粒子的动量，与的关系为用极坐标描述时，二维动量空间的体积元为在面积内，动量大小在到范围内，动量方向在到范围内，二维自由粒子可能的状态数为 （2）对积分，从0积分到，有可得在面积内，动量大小在到范围内（动量方向任意），二维自由粒子可能的状态数为 （3）将能量动量关系
3、代入，即有 （4） 6.4 在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为试求在体积V内，在到的能量范围内三维粒子的量子态数. 解:式（）已给出在体积V内，动量大小在到范围内三维自由粒子可能的状态数为 （1）将极端相对论粒子的能量动量关系代入，可得在体积V内，在到的能量范围内，极端相对论粒子的量子态数为 （2） 6.5 设系统含有两种粒子，其粒子数分别为和. 粒子间的相互作用很弱，可以看作是近独立的. 假设粒子可以分辨，处在一个个体量子态的粒子数不受限制. 试证明，在平衡状态下两种粒子的最概然分布分别为和其中和是两种粒子的能级，和是能级的简并度.解： 当系统含有两种粒子，其粒子数分别为和，总能量为E
4、，体积为V时，两种粒子的分布和必须满足条件 （1）才有可能实现. 在粒子可以分辨，且处在一个个体量子态的粒子数不受限制的情形下，两种粒子分别处在分布和时各自的微观状态数为 （2）系统的微观状态数为 （3）平衡状态下系统的最概然分布是在满足式（1）的条件下使或为极大的分布. 利用斯特令公式，由式（3）可得为求使为极大的分布，令和各有和的变化，将因而有的变化. 使为极大的分布和必使即但这些和不完全是独立的，它们必须满足条件用拉氏乘子和分别乘这三个式子并从中减去，得根据拉氏乘子法原理，每个和的系数都等于零，所以得即 （4）拉氏乘子和由条件（1）确定. 式（4）表明，两种粒子各自遵从玻耳兹曼分布. 两
5、个分布的和可以不同，但有共同的. 原因在于我们开始就假设两种粒子的粒子数和能量E具有确定值，这意味着在相互作用中两种粒子可以交换能量，但不会相互转化. 从上述结果还可以看出，由两个弱相互作用的子系统构成的系统达到平衡时，两个子系统有相同的. 6.6 同上题，如果粒子是玻色子或费米子，结果如何？ 解: 当系统含有个玻色子，个费米子，总能量为E，体积为V时，粒子的分布和必须满足条件 （1）才有可能实现. 玻色子处在分布，费米子处在分布时，其微观状态数分别为系统的微观状态数为 （3）平衡状态下系统的最概然分布是在满足式（1）条件下使或为极大的分布. 将式（2）和式（3）取对数，利用斯特令公式可得令各和有和的变化，将因而有的变化，使用权为极大的分布和必使即但这此致和不完全是独立的，它们必须满足条件用拉氏乘子和分别乘这三个式子并从中减去，得根据拉氏乘子法原理，每个和的系数都等于零，所以得即 （4）拉氏乘子和由条件（1）确定. 式（4）表明，两种粒子分别遵从玻色分布和费米分布，其中和不同，但相等.
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