《实变函数》第二章点集.doc

第二章 点集 （总授课时数 8学时）教学目的： 欧氏空间上的测度与积分是本课程的主要研究对象.本节讨论欧氏空间上的若干拓扑概念.通过本节的学习,可以熟悉欧氏空间上的开集,闭集和Borel集,Cantor 集等常见的集,为后面的学习打下基础.本章要点 由上的距离给出邻域,内点,聚点的定义,从而给出开集, 闭集的定义.由开集生成一个-代数引入Borel 集.Cantor 集是一个重要的集, 它有一些很特别的性质. 应使学生深刻理解本节介绍的各种集的概念并熟练应用.充分利用几何图形的直观,可以帮助理解本节的内容.本章难点 Borel集、Cantor 集的性质.授课时数 8学时本章先介绍中的距离、极限、邻域、区间及其体积等基本概念，然后定义了内点、聚点、外点、边界点、开集、闭集等特殊点和集，并讨论了开集与闭集的性质及其构造.最后介绍了聚点原理、有限覆盖定理.1 度量空间，维欧氏空间教学目的1、深刻理解 中的距离、邻域、点列收敛等概念，弄清它们在刻划不同类型的点及点集中的作用.2、理解距离的性质、点到集合的距离、两集合之间的距离、集合的直径等概念，理解有界集、无界集、区间及区间的体积等概念. 3、了解邻域的四条性质.本节要点 度量空间的概念.本节难点 度量空间的概念.授课时数 2学时一、 度量空间定义1：设为一非空集合，：为一映射，且满足（1）， （正定性）（2） （对称性）（3） （三角不等式）则称为度量空间.例1：（1） 欧氏空间,其中（2） 离散空间，其中（3） 空间(表示闭区间上实值连续函数全体), 其中二、 邻域定义2： 称集合为 的邻域，并记为.称为邻域的中心，称为邻域的半径.在不需要特别指出是什么样的半径时，也简称为的邻域，并记为.不难看出：点列收敛于的充分必要条件是对任意，存在，当时有：.容易验证邻域具有下面的基本性质：1) ；2) 对于和， 如果存在，则存在 3) 对于，存在；4) 对于，存在和满足定义3： 两个非空的点集间的距离定义为如果中至少有一个是空集，则规定；若，则记显然，若，则。定义4： 一个非空的点集的直径定义为：当时，规定。显然， 至多只有一个元素。若，则称为有界集。定义5： 称为集合的直积，记为或定义6： 若，其中为直线上的区间，则称为维欧氏空间中的区间；如果所有都是开(闭、左开右闭、左闭右开)区间，则称是开(闭、左开右闭、左闭右开)区间。如果所有的都是直线上的有界区间，则称是中的有界区间；如果至少有一个是直线上的无界区间，则称是中的无界区间.注： 中的有界区间即矩形，中的区间即长方体，因此中的区间有时也称为“长方体”.显然，为有界集的充要条件是存在有界区间或为有界集的充要条件是存在有界邻域定义7： ,称为区间的“体积”，即.当然，这里约定，当.注：中的区间体积即区间的长度，中的区间体积即矩形面积长宽，中的区间体积即长方体体积长宽高，因此规定中的区间体积个边长的乘积，既是合理的又是自然. 2、聚点、内点、界点教学目的1、深刻理解内点、外点、界点、聚点、孤立点的概念，弄清它们的区别与联系. 2、理解并掌握开核、导集、闭包、边界及孤立点集等概念，对一个已知的点集，会求这些相关的点集. 3、了解Bolzano-Weierstrass定理.本节要点 内点、外点、界点、聚点、孤立点及开核、导集、闭包、边界及孤立点集等概念.本节难点 对一个已知的点集，求这些相关的点集.授课时数 2学时一、 欧氏空间中各类点的定义（1）为的内点：使得，记为（2）为的外点：使得，的外点的全体记为.（3）为的边界点：有且，记为（4）为的聚点：有， 的聚点的全体称为的导集，记为（5）为的孤立点：使得（6）为的接触点：注： 聚点、边界点不一定属于，内点、孤立点一定属于.由定义可知的孤立点全体例1：（1）令， 则， （2）令,则 对一切 均为的孤立点二、 聚点的等价定义定理1 下面三个陈述是等价的： （1） ；（2）对， （3）中有各项互异的点列，使证明 （1） （2）是显然的 （2）（3）：因为，取，则且.令，则中至少有一点且，.令，则中至少有一点且.这样继续下去，便得到点列且满足要求.（3）（1）：，存在自然数，当时，有，即为无限集，故.三、 开核、边界、导集之间的关系定理2 设A B ，则， ，定理3 ，证明：（1）因为，由定理2知，从而.另一方面，任取，若，则且.于是，使 ，使 ，取，则这说明，这与矛盾.所以，即综合以上两个方面，即有.（2） .证毕定理4 （Bolzano-Weierstrass 定理）中的有界点列必有收敛子列（证略）作业：P49 2, 3, 4, 5 练习题1 是与上的全体有理点，在与中分别看时，各是有哪些点构成的.2 设A B ，证明， ， 3、开集、闭集、完备集教学目的1、掌握开集、闭集和完备集的概念、性质及相关定理（对偶性定理及运算方面的定理）. 2、理解Heine-Borel有限覆盖定理.本节要点 开集、闭集和完备集的概念、性质及相关定理.本节难点 Heine-Borel有限覆盖定理.授课时数 2学时一、开集、闭集的定义若 ,则称为开集（中每个点都为内点)若,则称为闭集（与紧挨的点不跑到外）注：由于的孤立点全体 ，故等价于说明：要证是开集，只要证（显然） 要证是闭集，只要证或（显然）例1：开区间为开集证明：任取取,则从而是的内点，故是开集。例2：闭区间为闭集.证明：任取,取,则,从而的接触点都在内，从而是闭集。注：闭集为对极限运算封闭的点集. 即：为闭集当且仅当中的任意收敛点列收敛于中的点.定理1 对任何，是开集，和都是闭集.证明：（1）是开集.只要证任取，由内点的定义知使得.任取，取，从而为的内点，从而，所以为的内点，即，.（2）是闭集。只要证任取，由聚点的定义知，取，有，（当时，有），从而，即为的聚点，从而。利用可得为闭集.注：为含于内的最大开集。二、开集与闭集的对偶性）若为开集，则为闭集;若为闭集，则为开集。证明：设为开集，即使得，从而，从而不是的接触点，也即的接触点一定在内，从而，即为闭集. 设为闭集，即，任取，假如不是的内点，则的任一邻域内至少有一个属于的点，从而为的接触点，由为闭集可知在内， 这与矛盾，所以中的点都为的内点，即为开集。三、开集的性质 1） 空集，为开集;2） 任意多个开集之并仍为开集；3) 有限个开集之交仍为开集。注：无限多个开集的交不一定为开集，如：中只有空集和既开又闭，存在大量既不开又不闭的集合，如：四、 闭集的性质1）空集，为闭集；2）任意多个闭集之交仍为闭集；3) 有限个闭集之并仍为闭集。注：无限多个闭集的并不一定为闭集，如：说明：不仅中开集具有以上三性质，一般距离空间也有此性质，在拓扑空间中以上三性质则是描述开集概念的三公理.五、完备集定义1 设，如果，称是自密集.注：（1）如果集合中的每个点都是这个集合的聚点，则这个集合是自密集.(2) 没有孤立点的集合是自密集.定义2 设，如果，则称为完备集或完全集.注：完备集是自密闭集，也就是没有孤立点的闭集.作业：P49 6, 8, 11 练习题1、 证明每个闭集必是可数个开集的交， 每个开集必是可数个闭集的并.2设是上的实函数，证明：是连续函数的充分必要条件是对任意开集 是 的开集.3、设是直线上的实值连续函数，则对任意常数，是开集，而是闭集.4、设在上有定义， 称为在处的振幅，若在闭集上定义，则对任意实数，点集为闭集. 4 直线上的开集、闭集及完备集的构造教学目的 介绍直线上的开集，闭集及完备集构造.本节要点 直线上开集构造定理尤为重要，由它演绎出闭集，完备集构造定理.本节难点 直线上开集构造定理.授课时数 2学时本节所讨论的点集都是的子集一、直线上的开集、闭集的构造定义 设是开集，若非空开区间，且，就称是的一个构成区间定理：直线上的任一非空开集都可唯一地表示成有限个或可数个互不相交的开区间的并。直线上的闭集或是全直线，或是从直线上挖去有限个或可数个互不相交的开区间所得之集.直线上的闭集的孤立点必是其余区间的某两个相邻开区间的公共端点;但并不意味无孤立点的闭集定为互不相交的闭区间之并。中的开集一般不能表示成至多可数个互不相交的开区间之并，但总可表示成至多可数个互不相交的半开半闭区间之并.二、中有关紧性的两个结论Bolzano-Weierstrass定理：若是中的一个有界的无限集，则至少有一个聚点.点列（）=（）=（） 注：对无限维空间不一定成立。 Heine-Borel有限覆盖定理设为有界闭集，若开集簇覆盖（ 即），则 中存在有限个开集,它同样覆盖.注： Heine-Borel有限覆盖定理的逆命题也成立.（3）可数覆盖定理设为中一 集合，若开集簇覆盖（即），则 中存在可数个开集,它同样覆盖提示：利用空间中以有理点为中心，正有理数为半径的圆全体为可数集，开集中的点为内点，以及有理点全体在中稠密和有理数全体是的稠密集.三、直线上完备集的构造如：Cantor集对区间三等分，去掉中间一个开区间，然后对留下的两个闭区间三等分，各自去掉中间一个开区间，此过程一直进行下去，最后留下的点即为Cantor集. 定义：令第次去掉的开区间留下的闭区间12称为Cantor集. Cantor集的性质1) 分割点一定在Cantor集中 Cantor集为闭集,2) 的“长度”为0，去掉的区间长度和 注：第次共去掉个长为的开区间3) 没有内点证明：对任意, 必含在“去掉手续进行到第次”时留下的个长为的互不相交的某个闭区间中.,但由Cantor集的作法知，我们要对继续三等分去掉中间一个开区间，从而内至少有一点不属于，所以不可能是的内点。4) 中的点全为聚点,从而没有孤立点.证明：对任意，只要证：,由Cantor集的作法知,而的两个端点定在中，从而为的聚点，当然不为孤立点。5) 的势为 （利用二进制，三进制证明）证明思路：把区间中的点都写成三进制小数，则Cantor集的作法中去掉的点为小数位出现1的点的全体，从而Cantor集为小数位只是0,2的点的全体，作对应（三进制数）（二进制数）说明：三等分的端点有必要特殊考虑，因为它有两种表示，如0.1000000 = 0.0222222 （三进制小数）0.2000000 = 0.1222222注:Cantor集中除了分割点外,还有大量其他点. 作业：P50 12, 13练习题1 设为Cantor集的余集的构成区间的中点所成之集，求.2 证明用十进位小数表示中的数时，其中用不着数字6的一切数成为完备集.3 证明如果闭集不含任何开区间，则必是疏朗集.4 疏朗集的余集是否一定为稠密集？第11页（共11页）