2018年电大专科微积分初步复习小抄.doc

微积分初步
一、填空题（每小题4分，本题共20分）
⒈函数的定义域是．
⒉ 1 ．
⒊已知，则=．
⒋若，则．
⒌微分方程的阶数是　3　．
⒈函数的定义域是
⒉ 2 ．
⒋．
⒌微分方程的特解为.
⒈函数，则．
⒊曲线在点处的切线方程是．
⒋若，则．
⒌微分方程的阶数为 5 ．
⒈函数的定义域是．
⒋若．
6. 函数，则 x2 -2 ．
7 . 若函数,在处连续，则　1 ．
8. 曲线在点处的切线斜率是．
9. ．
10. 微分方程的阶数为 5 ．
6. 函数，则 x2 + 1 ．
9. sinx + c．
⒈函数的定义域 是．
⒉函数的间断 点是．
⒊曲线在点的斜率是．
⒋若，则=．
⒌微分方程的阶 数是　2　．
⒈函数，则．
⒉函数在处连续，则=2．
⒋　4　．
⒌微分方程 的阶数是　2　．
3．函数 的定义域是
4．函数， 则
5．函数，则
　2 ．
6. 函数，则
7．函数的间断点 是
9．若，则　2
10．若，则
1．曲线在 点的斜率是
2．曲线在点的切线方程是
3．曲线在点处的切线方程是即：
4．
5．若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则(0) = －6
6．已知，则
7．已知，则
8．若，则
9．函数的单调增加区间是
10．函数在区间内单调增加，则a应满足
1．若的一个原函数为，则
2．若的一个原函数为，则
3．若，则
4．若，则=
5．若，则
6．若，则
7． 8．
9．若，则
10．若，则
1.
2． 2
3．已知曲线在任意点处切线的斜率为，且曲线过，则该曲线的方程是
4．若 4 ．
5．由定积分的几何意义知，
6．　0 7．=

8．微分方程 的特解为
9．微分方程的通 解为
10．微分方程 的阶数为 4阶 ．

二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）
⒈设函数，则该函数是（B　）．
A． 奇函数　 B．偶函数　
C．非奇非偶函数
D．既奇又偶函数
⒈设函数，则该函数是（A　　）．
A．奇函数 B．偶函数　
C．非奇非偶函数
D．既奇又偶函数
⒊下列结论中（ C ）正确．
A．在处连续，则一定在处可微.
B．函数的极值点一定发生在其驻点上.
C．在处不连续，则一定在处不可导.
D．函数的极值点一定发生在不 可导点上.
⒋如果等式， 则（ D ）
A. B.
C. D.
⒊下列函数在指定区间 上单调减少的是（D ）．
A． B．
C． D．
⒈设函数，则该函数 是（B　）．
A．奇函数 　B．偶函数　C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数
⒊下列函数在指定区间 上单调减少的是（B）．
A． B． C． D．
⒋ 设，则 （C ）．
A. B.
C. D.
⒌下列微分方程中，（A ）是 线性微分方程．
A． B．
C． D．
⒊满足方程的点一 定是函数的（ C ）。
A．极值点　　B．最值点
C．驻点　 D． 间断点
⒌微分方程的通解 是（B　）
A.； B.； C.； D.
⒈函数的 定义域是（　D ）．
A．（2，+∞）　 B．（2，5〕
C．（2，3）∪（3，5）
D．（2，3）∪（3，5〕
⒊下列函数在指定区间（-∞，+ ∞）上单调减少的是（ B ）．
A． B． C．D．
⒈函数的定义域 是（　C ）．
A．（-2，+∞） B．（-1，+∞）　　
C．（-2，-1）∪（-1，+∞）
D．（-1，0）∪（0，+∞）
⒌下列微分方程中为可分离变量方程的是（　C ）
A. ； B.
C. ； D.
2、若函数，则 （A ）.
A．B．0 C．1　D．不存在
⒋下列无穷积分收敛的是（B　）．
A．　B．
C．　　D．
⒌微分方程的通解是（D）
A. B.
C. D.
⒈函数的定义域（D）．
A． B．　　
C．且
D．且
⒉若函数，则 （C ）.
A．0 B． C．1 D．不存在
⒊函数在区间是（C ）　
A．单调增加 B．单调减少 C．先减后增 D．先增后减
⒋下列无穷积分收敛的是（A　）．
A．　B． C． D．
⒌下列微分方程中为一阶线性微 分方程的是（B　）
A. B.
C.
2．设函数，则该函 数是（ A　）．
A．奇函数 　 B．偶函数　　C．非奇非偶函数
D．既奇又偶函数
3．函数的图形 是关于（ D　）对称．
A． 　B．轴　　C．轴 D．坐标原点
4．下列函数中为奇函数是(C)
A． B． C． D．
5．函数的定义域为（ D ）．
A． B．
C．且 D．且
6．函数的定义域（D）．
A． B．
C． D．

7．设，则 （ C ）
A．　 B． C．　 D．
8．下列各函数对中，（D）中的两个函数相等．
A．，
B．，
C．，
D．，
9．当时，下列变量中为无穷小量的是（ C ）
A． 　　B． C．　 D．
10．当（B）时，函数，在处连续.
A．0 　B．1 C． D．
11．当（D）时，函数在处连续.
A．0 　　B．1 C．2　 D．3
12．函数的间断点是（ A ）
A． B． C．D．无间断点
1．函数在区间 是（ D ）　
A．单调增加　　B．单调减少
C．先增后减　 D．先减后增
2．满足方程的点一定是函数的（ C ）.
A．极值点　 　B．最值点
C．驻点　 D． 间断点
3．若，则=（　C ）．
　A. 2　 B. 1 C. -1 D. -2
4．设，则 （　B ）．
A． B． C． D．
5．设是可微函数，则（ D ）．
A． B．
C． D．
6．曲线在处切线的斜率是（ C ）．
A． B． C． D．
7．若，则 （ C ）．
A． B．
C． D．
8．若，其中 是常数，则（ C ）．
A． B． C． D．
9．下列结论中（ B ）不正确．
A．在处连续，则 一定在处可微.
B．在处不连续， 则一定在处不可导.
C．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.
D．若在[a，b]内恒有，则在[a，b]内函数是单调下降的.
10．若函数f (x)在点x0处可导，则( B )是错误的．
A．函数f (x)在点x0处有定义 B．，但
C．函数f (x)在点x0处连续 D．函数f (x)在点x0处可微
11．下列函数在指定区间 上单调增加的是（ B ）．
A．sinx B．e x
C．x 2 D．3 - x
12.下列结论正确的有（A ）．
A．x0是f (x)的极值点，且(x0)存在，则必有(x0) = 0
B．x0是f (x)的极值点，则x0必是 f (x)的驻点
C．若(x0) = 0，则x0必是f (x)的极值点
D．使不存在的点x0，一 定是f (x)的极值点
1．下列等式成立的是（ A　）．
A．　 B．
C．　 D．
2．若，则（ A ）.
A. B. C. D.
3．若，则（ A ）.
A. B.
C.
D.
4．以下计算正确的是（ A ）
A． B．
C． D．
5．（ A ）
A. B.
C.
D.
6．=（ C ）．
A． B． C． D．
7．如果等式，则（ B ）
A. B.
C. D.
1．在切线斜率为2x的积分曲线 族中，通过点（1, 4）的曲线为（A ）．
A．y = x2 + 3 B．y = x2 + 4 C． D．
2．若= 2，则k = （ A ）．
A．1 B．-1 C．0 D．
3．下列定积分中积分值为0的是（ A ）．
A． B． C． D．
4．设是连续的奇函数，则定积分（ D ）　
A．　　B． C．　 D． 0
5．（ D ）．
A．0 B． C． D．
6．下列无穷积分收敛的是（B ）．
A．　　B．
C．　 D．
7．下列无穷积分收敛的是（B ）．
A． B．
C． 　D．
8．下列微分方程中，（D）是线 性微分方程．
A． B． C． D．
9．微分方程的通解为（ C ）．
A． B． C． D．
10．下列微分方程中为可分离变 量方程的是（B ）
A. ；B. ；
C. D.
D.

三、计算题（本题共44分，每小题11分）
⒉设，求.
解：
⒊计算不定积分
解：=
⒋计算定积分
解：

⒈计算极限．
解：

⒉设，求.
解：
⒊计算不定积分
解：=
⒈计算极限．
解：

⒉设，求.
解：

⒉设，求.
解：

⒊计算不定积分 解：= ⒋计算定积分 解：
11. 计算极限
解：
2. 设，求
解：，，

12. 设，求
解：=
13. 计算不定积分
解： =
14. 计算定积分 解：= ⒈ 计算极限．
解 ⒉ 设，求.
解:
3．计算不定积分
解 ⒈ 计算极限．
解

⒉ 设，求.
解 ⒌ 计算定积分 解
⒈计算极限．
解：

2．计算极限
解：

3．
解：

4．计算极限
解：

5．计算极限．
解：

6．计算极限．
解：

7．计算极限
解：

8．计算极限．
解：

⒈设，求．
解：
2．设，求.
解：
3．设，求.
解：
4．设，求.
解：
5．设是由方程确定的隐函数，求.
解：两边微分：

6．设是由方程确定的隐函数，求.
解：两边对求导，得： ，，
7．设是由方程确定的隐函数，求.
解：两边微分，得：，
8．设，求．
解：两边对求导，
得：
1．
解：

2．
解：

3．
解：

4．
解：

5．
解：
1． 解：

2．
解：
3．
解：
4．
解：

5．
解:

6．求微分方程满足初始条件的特解．
解：通解为， ，，代入 ，代入得。即：特解为
7．求微分方程 的通解。
解：通解为，，，代入得通解为

四、应用题（本题16分）
1、用钢板焊接一个容积为4的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？
解：设边长，高，表面积，且

令，得，
所以，当时水箱的面积最小. 最低总费（元）

3、欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？
解：设长方体底边的边长为，高为，用材料为，
由已知

令，解得是唯一驻点，
所以是函数的极小值点，即当，时用料最省.
5. 欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做 法用料最省？
解：设底边的边长为，高为h，用材料为y，由已
得 ，则 令，解得x = 4是唯一驻点，易知x = 4是函数
的极小值点，此时有= 2，所以当x = 4，h = 2时用料最省。

6、欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？
解：设底边的边长为，高为，容器的表面积为，
由已知，，
，令，得是唯一驻点
即有，所以当，时用料最省．
1.设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。
解：设长为厘米，另一边长为厘米，
得：，即：
，
令，得： （不合题意，舍去），
，
即：当矩形的边长为㎝、㎝时，圆柱体的体积最大。
2.欲用围墙围成面积为216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？
解：设长为米，宽为米，得，即
，令，（取正值），
即：当矩形的长为米，宽为米时，所用建筑材料最省。
五、证明题（本题5分）
1、函数在（是单调增加的．
证明：因为，当（时， 所以函数在（是单调增加的．
1、证明等式证明：考虑积分，令，则，从而
所以
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