1、4、最小二乘原理、最小二乘原理1 1）最小二乘法原理）最小二乘法原理n 次次重复测量（重复测量（x1,x2,xn）最佳预计最佳预计残差残差 平方和最小平方和最小-残差平方和最小残差平方和最小4.1 典型最小二乘法典型最小二乘法一一.两个未知量情况两个未知量情况第1页第1页注意到方程组形式上有下列特点：(1)沿主对角线分布着平方项系数 (2)以主对角线为对称线，对称分布各系数彼此两两相等。都为正数。例4.1 在不同温度下测定铜捧长度以下表，试预计时铜棒长度 和铜线膨胀系数。二二.T个未知量情况个未知量情况第2页第2页解 列出误差方程式中 在温度下铜捧长度测得值；铜棒线膨胀系数。为两个待求预计参数
2、则误差方程可写为令第3页第3页依据误差方程，我们可列出正规方程又第4页第4页将以上计算相应系数值代入上面正规方程得解得即因此铜棒长度随温度线性改变规律为第5页第5页三、不等精度测量线性参数最小二乘法处理 不等精度误差方程转化为等精度误差方程为 例4-2 已知测量方程第6页第6页对测量数据及其相应原则差为试列出最小二乘预计正规方程。解 列出残余误差方程拟定各测量数据权。第7页第7页依据误差方程及各测量数据权，我们写出正规方程式中第8页第8页则正规方程为四、非线性参数最小二乘法非线性转化为线性：第9页第9页 为取得非线性函数展开式必须首先拟定待求预计量近似值，其办法有二个：(1)直接测量：若条件
3、允许，可直接测量待求量，(2)利用部分方程式进行计算。即可作为其近似值。所得结果例4-3 将下面非线性残余方程组化成线性形式。第10页第10页取方程组中前二式，令，则可得与近似值，即处展开，取一次项，有将函数在第11页第11页代入残差方程，得线性残差方程五、对同一量重复测量数据最小二乘法 第12页第12页4.2精度预计 一、测量数据精度预计1.等精度测量数据精度预计 例4-4 试求例4-1中铜棒长度测量精度。解 已知残余误差方程可得残余误差为第13页第13页则原则差为2不等精度测量数据精度预计 第14页第14页二、最小二乘预计量精度预计1.等精度测量时最小二乘预计量精度预计 原则差为式中 测量
4、数据原则差 2.不等精度测量情况不等精度测量情况与等精度类似 第15页第15页例4-5 试求例4-1中铜棒长度和线膨胀系数预计量精度。解 已知正规方程为测量数据原则差为求解不定乘数方程为第16页第16页解得预计量原则差为因故 第17页第17页例4-6 已知，测得 值为，并已知 试用最小二乘法求 及其误差。解 第一步，残余误差方程组已知 代入上式得第18页第18页第二步，正规方程第19页第19页第20页第20页则解得第三步，测量数据精度预计第21页第21页则测量数据原则差为第四步，预计量精度预计求解不定乘数第22页第22页解得则预计量原则差为第23页第23页4.3矩阵最小二乘法 一、线性模型二、最小二乘法解1.等精度情况下矩阵形式正规方程 2.不等精度测量时，正规方程可表示为 第24页第24页三、待求量稻度预计1.等精度测量不定乘数2.不等精度测量不定乘数第25页第25页
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