2016年四川省阿坝州中考数学试卷（含解析版）.docx

2016年四川省阿坝州中考数学试卷一、选择题1.（2016阿坝州）3的绝对值是（ ） A.B.C.3D.32.（2016阿坝州）使分式 有意义的x的取值范围是（ ） A.x1 B.x1C.x1D.x13.（2016阿坝州）下列立体图形中，俯视图是正方形的是（ ） A.B.C.D.4.（2016阿坝州）某自治州自然风景优美，每天吸引大量游客前来游览，经统计，某段时间内来该州风景区游览的人数约为36000人，用科学记数法表示36000为（ ） A.36103B.0.36106C.0.36104D.3.61045.（2016阿坝州）在直角坐标中，点P（2，3）所在的象限是（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.（2016阿坝州）某学校足球兴趣小组的五名同学在一次射门训练中，射进球门的次数分别为：6，7，7，8，9这组数据的众数为（ ） A.6B.7C.8D.97.（2016阿坝州）下列计算正确的是（ ） A.4x3x=1B.x2+x2=2x4C.（x2）3=x6D.2x2x3=2x68.（2016阿坝州）将抛物线y=x2向上平移2个单位后，所得的抛物线的函数表达式为（ ） A.y=x2+2B.y=x22C.y=（x+2）2D.y=（x2）29.（2016阿坝州）如图，在ABC中，BD平分ABC，EDBC，已知AB=3，AD=1，则AED的周长为（ ） A.2B.3C.4D.510.（2016阿坝州）如图，在55的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，若将AOB绕点O顺时针旋转90得到AOB，则A点运动的路径 的长为（ ） A. B.2C.4D.8二、填空题11.（2016阿坝州）分解因式：a2b2=_ 12.（2016阿坝州）抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上的概率是_ 13.（2016阿坝州）直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为_ 14.（2016阿坝州）如图，已知一次函数y=kx+3和y=x+b的图象交于点P（2，4），则关于x的方程kx+3=x+b的解是_ 三、解答题15.（2016阿坝州）计算下列各题 （1）计算： +（1 ）04cos45 （2）解方程组： 16.（2016阿坝州）化简： + 17.（2016阿坝州）某学校在落实国家“营养餐”工程中，选用了A，B，C，D种不同类型的套餐实行一段时间后，学校决定在全校范围内随机抽取部分学生对“你喜欢的套餐类型（必选且只选一种）”进行问卷调查，将调查情况整理后，绘制成如图所示的两个统计图请你根据以上信息解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了_名学生； （2）请补全条形统计图； （3）如果全校有1200名学生，请你估计其中喜欢D套餐的学生的人数 18.（2016阿坝州）如图，在一次测量活动中，小丽站在离树底部E处5m的B处仰望树顶C，仰角为30，已知小丽的眼睛离地面的距离AB为1.65m，那么这棵树大约有多高？（结果精确到0.1m，参考数据： 1.73）19.（2016阿坝州）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y= 的图象相交于点A（4，2），B（m，4），与y轴相交于点C （1）求此反比例函数和一次函数的表达式； （2）求点C的坐标及AOB的面积 20.（2016阿坝州）如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DHAC于点H （1）判断DH与O的位置关系，并说明理由； （2）求证：H为CE的中点； （3）若BC=10，cosC= ，求AE的长 四、填空题B卷21.（2016阿坝州）若x23x=4，则代数式2x26x的值为_ 22.（2016阿坝州）在一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的7个小球，其中红球2个，黑球5个，若再放入m个一样的黑球并摇匀，此时，随机摸出一个球是黑球的概率等于 ，则m的值为_ 23.（2016阿坝州）如图，点P1 ， P2 ， P3 ， P4均在坐标轴上，且P1P2P2P3 ， P2P3P3P4 ， 若点P1 ， P2的坐标分别为（0，1），（2，0），则点P4的坐标为_ 24.（2016阿坝州）在平面直角坐标系xOy中，P为反比例函数y= （x0）的图象上的动点，则线段OP长度的最小值是_ 25.（2016阿坝州）如图，正方形CDEF的顶点D，E在半圆O的直径上，顶点C，F在半圆上，连接AC，BC，则 =_ 五、解答题26.（2016阿坝州）某学校计划组织500人参加社会实践活动，与某公交公司接洽后，得知该公司有A，B型两种客车，它们的载客量和租金如表所示： A型客车B型客车载客量（人/辆）4528租金（元/辆）400250经测算，租用A，B型客车共13辆较为合理，设租用A型客车x辆，根据要求回答下列问题： （1）用含x的代数式填写下表： 车辆数（辆）载客量（人） 租金（元） A型客车x45x400x B型客车13x_（2）采用怎样的租车方案可以使总的租车费用最低，最低为多少？ 27.（2016阿坝州）如图，AD为等腰直角ABC的高，点A和点C分别在正方形DEFG的边DG和DE上，连接BG，AE 图 图 图（1）求证：BG=AE； （2）将正方形DEFG绕点D旋转，当线段EG经过点A时，（如图所示）求证：BGGE；设DG与AB交于点M，若AG：AE=3：4，求 的值28.（2016阿坝州）如图，顶点为M的抛物线y=a（x+1）24分别与x轴相交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴相交于点C（0，3）（1）求抛物线的函数表达式； （2）判断BCM是否为直角三角形，并说明理由 （3）抛物线上是否存在点N（点N与点M不重合），使得以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由 2016年四川省阿坝州中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1.（2016阿坝州）3的绝对值是（ ） A.13 B. 13C.3D.3【答案】C 【考点】相反数及有理数的相反数 【解析】解：|3|=3，故选：C【分析】根据绝对值的定义，即可解答2.（2016阿坝州）使分式 1x1 有意义的x的取值范围是（ ） A.x1 B.x1 C.x1 D.x1【答案】A 【考点】分式有意义的条件 【解析】解：分式 1x1 有意义， x10，解得x1故选A【分析】先根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可3.（2016阿坝州）下列立体图形中，俯视图是正方形的是（ ） A.B.C.D.【答案】B 【考点】简单几何体的三视图 【解析】解：A、球的俯视图是圆，故本选项错误； B、正方体的俯视图是正方形，故本选项正确；C、圆锥的俯视图是圆，故本选项错误；D、圆柱的俯视图是圆，故本选项错误故选B【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案4.（2016阿坝州）某自治州自然风景优美，每天吸引大量游客前来游览，经统计，某段时间内来该州风景区游览的人数约为36000人，用科学记数法表示36000为（ ） A.36103B.0.36106C.0.36104D.3.6104【答案】D 【考点】科学记数法表示绝对值较大的数 【解析】解：36000用科学记数法表示为3.6104 故选：D【分析】利用科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数5.（2016阿坝州）在直角坐标中，点P（2，3）所在的象限是（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【考点】点的坐标 【解析】解：在直角坐标中，点P（2，3）， 点P在第四象限，故选D【分析】根据平面直角坐标系内各象限内点的坐标符号特点，可以确定点P的位置，本题得以解决6.（2016阿坝州）某学校足球兴趣小组的五名同学在一次射门训练中，射进球门的次数分别为：6，7，7，8，9这组数据的众数为（ ） A.6B.7C.8D.9【答案】B 【解析】解：依题意得，7出现了二次，次数最多，所以这组数据的众数是7故选B【分析】由于众数是一组数据中次数出现最多的数据，由此可以确定数据的众数7.（2016阿坝州）下列计算正确的是（ ） A.4x3x=1B.x2+x2=2x4C.（x2）3=x6D.2x2x3=2x6【答案】C 【考点】幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式 【解析】解：A、4x3x=x，故本选项错误； B、x2+x2=2x2 ， 故本选项错误；C、（x2）3=x6 ， 故本选项正确；D、2x2x3=2x5 ， 故本选项错误；故选C【分析】根据合并同类项的法则只需把系数相加减，字母和字母的指数不变得出A和B不正确；根据幂的乘方底数不变、指数相乘得出C正确；根据同底数幂的乘法底数不变，指数相加得出D不正确8.（2016阿坝州）将抛物线y=x2向上平移2个单位后，所得的抛物线的函数表达式为（ ） A.y=x2+2B.y=x22C.y=（x+2）2D.y=（x2）2【答案】A 【考点】二次函数图象的几何变换 【解析】解：抛物线y=x2向上平移2个单位后的顶点坐标为（0，2）， 所得抛物线的解析式为y=x2+2故选：A【分析】求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式形式写出即可9.（2016阿坝州）如图，在ABC中，BD平分ABC，EDBC，已知AB=3，AD=1，则AED的周长为（ ） A.2B.3C.4D.5【答案】C 【考点】平行线的性质，等腰三角形的判定与性质 【解析】解：BD平分ABC， ABD=CBD，EDBC，CBD=BDE，ABD=BDE，BE=DE，AED的周长=AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+AD，AB=3，AD=1，AED的周长=3+1=4故选C【分析】根据角平分线的定义可得ABD=CBD，根据两直线平行，内错角相等可得CBD=BDE，从而得到ABD=BDE，再根据等角对等边可得BE=DE，然后求出AED的周长=AB+AD，代入数据计算即可得解10.（2016阿坝州）如图，在55的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，若将AOB绕点O顺时针旋转90得到AOB，则A点运动的路径 AA 的长为（ ） A. B.2C.4D.8【答案】B 【考点】弧长的计算，旋转的性质 【解析】解：每个小正方形的边长都为1， OA=4，将AOB绕点O顺时针旋转90得到AOB，AOA=90，A点运动的路径 AA 的长为： 904180 =2故选B【分析】由每个小正方形的边长都为1，可求得OA长，然后由弧长公式，求得答案二、填空题11.（2016阿坝州）分解因式：a2b2=_ 【答案】（a+b）（ab） 【考点】因式分解运用公式法 【解析】解：a2b2=（a+b）（ab），故答案为：（a+b）（ab）【分析】直接利用平方差公式因式分解即可12.（2016阿坝州）抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上的概率是_ 【答案】12 【考点】概率公式 【解析】解：抛掷一枚质地均匀的硬币，等可能的情况有：正面朝上，反面朝上， 则P（正面朝上）= 12 ，故答案为： 12 【分析】抛掷一枚质地均匀的硬币，其等可能的情况有2个，求出正面朝上的概率即可13.（2016阿坝州）直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为_ 【答案】6 【考点】勾股定理 【解析】解：直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3， 另一直角边长为 5232 =4该直角三角形的面积S= 12 34=6故答案为：6【分析】根据直角三角形的斜边与一条直角边，可利用勾股定理求出另一条直角边的长度，再根据三角形的面积公式求出面积即可14.（2016阿坝州）如图，已知一次函数y=kx+3和y=x+b的图象交于点P（2，4），则关于x的方程kx+3=x+b的解是_ 【答案】x=2 【考点】一次函数与一元一次方程 【解析】解：已知一次函数y=kx+3和y=x+b的图象交于点P（2，4）， 关于x的方程kx+3=x+b的解是x=2，故答案为：x=2【分析】函数图象的交点坐标的横坐标即是方程的解三、解答题15.（2016阿坝州）计算下列各题 （1）计算： 8 +（1 2 ）04cos45 （2）解方程组： xy=2x+2y=5 【答案】（1）解：原式= +14 ， =2 +12 ，=1（2）解：方程2+得：3x=9， 方程两边同时除以3得：x=3，将x=3代入中得：3y=2，移项得：y=1方程组的解为 【考点】实数的运算，0指数幂的运算性质，解二元一次方程组，特殊角的三角函数值 【解析】【分析】（1）由a0=1以及特殊角的三角函数值，可得出（1 2 ）0=1，cos45= 22 ，将其代入算式中即可得出结论；（2）根据用加减法解二元一次方程组的步骤解方程组即可得出结论16.（2016阿坝州）化简： x+3x29 + 1x3 【答案】解法一： + = + = = 解法二：+ = + = + = 【考点】分式的加减法 【解析】【分析】先通分变为同分母分式，然后再相加即可解答本题17.（2016阿坝州）某学校在落实国家“营养餐”工程中，选用了A，B，C，D种不同类型的套餐实行一段时间后，学校决定在全校范围内随机抽取部分学生对“你喜欢的套餐类型（必选且只选一种）”进行问卷调查，将调查情况整理后，绘制成如图所示的两个统计图请你根据以上信息解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了_名学生； （2）请补全条形统计图； （3）如果全校有1200名学生，请你估计其中喜欢D套餐的学生的人数 【答案】（1）100（2）解：100402010=30人补全条形统计图如图所示：（3）解：10100=10%，120010%=120人全校喜欢D套餐的学生的人数大约为120人 【考点】用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图 【解析】解：（1）4040%=100人，这次调查中一共抽取了100人故答案为：100【分析】（1）根据喜爱A种套餐的人数和百分比求解即可；（2）依据总人数等于各部分的和可求得喜爱C套餐的人数；（3）先求得喜欢D套餐人数所占的百分比，然后用总人数乘百分比即可18.（2016阿坝州）如图，在一次测量活动中，小丽站在离树底部E处5m的B处仰望树顶C，仰角为30，已知小丽的眼睛离地面的距离AB为1.65m，那么这棵树大约有多高？（结果精确到0.1m，参考数据： 3 1.73）【答案】解：过点A作ADCE于点D，如图所示ABBE，DEBE，ADDE，四边形ABED为矩形，AD=BE=5，DE=AB=1.65在RtACD中，AD=5，CAD=30，CD=ADtanCAD=5 33 2.88，CE=CD+DE=2.88+1.65=4.534.5答：这棵树大约高4.5米【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题 【解析】【分析】过点A作ADCE于点D，根据矩形的判定定理证出四边形ABED为矩形，由此即可得出AD=5，DE=1.65，在RtACD中通过解直角三角形以及特殊角的三角函数值即可得出CD的长度，再根据线段间的关系即可得出结论19.（2016阿坝州）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y= kx 的图象相交于点A（4，2），B（m，4），与y轴相交于点C （1）求此反比例函数和一次函数的表达式； （2）求点C的坐标及AOB的面积 【答案】（1）解：点A（4，2）在反比例函数y= 的图象上， k=4（2）=8，反比例函数的表达式为y= ；点B（m，4）在反比例函数y= 的图象上，4m=8，解得：m=2，点B（2，4）将点A（4，2）、B（2，4）代入y=ax+b中，得： ，解得： ，一次函数的表达式为y=x+2（2）解：令y=x+2中x=0，则y=2， 点C的坐标为（0，2）SAOB= OC（xBxA）= 22（4）=6 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【解析】【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，从而得出反比例函数表达式，再由点B的坐标和反比例函数表达式即可求出m值，结合点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数表达式；（2）令一次函数表达式中x=0求出y值即可得出点C的坐标，利用分解图形求面积法结合点A、B的坐标即可得出结论20.（2016阿坝州）如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DHAC于点H （1）判断DH与O的位置关系，并说明理由； （2）求证：H为CE的中点； （3）若BC=10，cosC= 55 ，求AE的长 【答案】（1）解：DH与O相切理由如下： 连结OD、AD，如图，AB为直径，ADB=90，即ADBC，AB=AC，BD=CD，而AO=BO，OD为ABC的中位线，ODAC，DHAC，ODDH，DH为O的切线（2）证明：连结DE，如图， 四边形ABDE为O的内接四边形，DEC=B，AB=AC，B=C，DEC=C，DHCE，CH=EH，即H为CE的中点（3）解：在RtADC中，CD= BC=5， cosC= = ，AC=5 ，在RtCDH中，cosC= = ，CH= ，CE=2CH=2 ，AE=ACCE=5 2 =3 【考点】圆的综合题 【解析】【分析】（1）连结OD、AD，如图，先利用圆周角定理得到ADB=90，则根据等腰三角形的性质得BD=CD，再证明OD为ABC的中位线得到ODAC，加上DHAC，所以ODDH，然后根据切线的判定定理可判断DH为O的切线；（2）连结DE，如图，有圆内接四边形的性质得DEC=B，再证明DEC=C，然后根据等腰三角形的性质得到CH=EH；（3）利用余弦的定义，在RtADC中可计算出AC=5 5 ，在RtCDH中可计算出CH= 5 ，则CE=2CH=2 5 ， 然后计算ACCE即可得到AE的长四、填空题B卷21.（2016阿坝州）若x23x=4，则代数式2x26x的值为_ 【答案】8 【考点】代数式求值 【解析】解：原式=2（x23x）=24=8 故答案是：8【分析】原式可以化成2（x23x），代入求值即可22.（2016阿坝州）在一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的7个小球，其中红球2个，黑球5个，若再放入m个一样的黑球并摇匀，此时，随机摸出一个球是黑球的概率等于 45 ，则m的值为_ 【答案】3 【考点】概率公式 【解析】解：根据题意得： 5+m7+m = 45 ， 解得：m=3故答案为：3【分析】由概率=所求情况数与总情况数之比，根据随机摸出一个球是黑球的概率等于 45 可得方程，继而求得答案23.（2016阿坝州）如图，点P1 ， P2 ， P3 ， P4均在坐标轴上，且P1P2P2P3 ， P2P3P3P4 ， 若点P1 ， P2的坐标分别为（0，1），（2，0），则点P4的坐标为_ 【答案】（8，0） 【考点】坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质 【解析】解：点P1 ， P2的坐标分别为（0，1），（2，0）， OP1=1，OP2=2，RtP1OP2RtP2OP3 ， OP1OP2 = OP2OP3 ，即 12 = 2OP3 ，解得，OP3=4，RtP2OP3RtP3OP4 ， OP2OP3 = OP3OP4 ，即 24 = 4OP4 ，解得，OP4=8，则点P4的坐标为（8，0），故答案为：（8，0）【分析】根据相似三角形的性质求出P3D的坐标，再根据相似三角形的性质计算求出OP4的长，得到答案24.（2016阿坝州）在平面直角坐标系xOy中，P为反比例函数y= 2x （x0）的图象上的动点，则线段OP长度的最小值是_ 【答案】2 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 【解析】解：根据题意可得：当P为直线y=x与反比例函数y= 2x （x0）的交点时则线段OP长度的最小， 由 y=2xy=x 得： y=2y=2 或 y=2y=2 （舍去），则P点的坐标为（ 2 ， 2 ），则线段OP= (2)2+(2)2 =2，故答案为：2【分析】根据题意得出：当P为直线y=x与反比例函数y= 2x （x0）的交点时线段OP长度的最小，再求出P点的坐标，从而得出则线段OP的长度的最小值25.（2016阿坝州）如图，正方形CDEF的顶点D，E在半圆O的直径上，顶点C，F在半圆上，连接AC，BC，则 BCAC =_ 【答案】5+12 【考点】正方形的性质，圆周角定理 【解析】解：如图，连接CO， ，设正方形CDEF的边长是a，则DO= a2 ，在RtCDO中，CO= CD2+DO2 = a2+(a2)2 = 52 aAO=CO= 52 a，AD= 52 a a2 = 512 a，ACB=90， BCAC =tanBAC= CDAD = a512a = 5+12 故答案为： 5+12 【分析】首先设正方形CDEF的边长是a，应用勾股定理，求出半圆的半径是多少；然后应用圆周角定理并解直角三角形，求出 BCAC 的值是多少即可五、解答题26.（2016阿坝州）某学校计划组织500人参加社会实践活动，与某公交公司接洽后，得知该公司有A，B型两种客车，它们的载客量和租金如表所示： A型客车B型客车载客量（人/辆）4528租金（元/辆）400250经测算，租用A，B型客车共13辆较为合理，设租用A型客车x辆，根据要求回答下列问题： （1）用含x的代数式填写下表： 车辆数（辆）载客量（人） 租金（元） A型客车x45x400x B型客车13x_（2）采用怎样的租车方案可以使总的租车费用最低，最低为多少？ 【答案】（1）28（13x）；250（13x）（2）解：设租车的总费用为W元，则有：W=400x+250（13x）=150x+3250 由已知得：45x+28（13x）500，解得：x8在W=150x+3250中1500，当x=8时，W取最小值，最小值为4450元故租A型车8辆、B型车5辆时，总的租车费用最低，最低为4450元 【考点】一次函数的实际应用 【解析】解：（1）设租用A型客车x辆，则租用B型客车（13x）辆， B型车的载客量28（13x），租金为250（13x）故答案为：28（13x）；250（13x）【分析】（1）根据“B型车的载客量=租的辆数满载人数”以及“租B型车应付租金=每辆的租金租的辆数”即可得出结论；（2）设租车的总费用为W元，根据“总租金=租A型车的租金+租B型车的租金”即可得出W关于x的函数关系式，再根据共500人参加社会实践活动，列出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范围，根据一次函数的性质即可解决最值问题27.（2016阿坝州）如图，AD为等腰直角ABC的高，点A和点C分别在正方形DEFG的边DG和DE上，连接BG，AE（1）求证：BG=AE； （2）将正方形DEFG绕点D旋转，当线段EG经过点A时，（如图所示）求证：BGGE；设DG与AB交于点M，若AG：AE=3：4，求 GMMD 的值【答案】（1）证明：如图，AD为等腰直角ABC的高，AD=BD，四边形DEFG为正方形，GDE=90，DG=DE，在BDG和ADE中BD=ADBDG=ADEDG=DE ，BDGADE，BG=AE；（2）证明：如图，四边形DEFG为正方形，DEG为等腰直角三角形，1=2=45，由（1）得BDGADE，3=2=45，1+3=45+45=90，即BGE=90，BGGE；解：设AG=3x，则AE=4x，即GE=7x，DG= 22 GE= 722 x，BDGADE，BG=AE=4x，在RtBGA中，AB= BG2+AG2 = (4x)2+(3x)2 =5x，ABD为等腰直角三角形，4=45，BD= 22 AB= 522 x，3=4，而BDM=GDB，DBMDGB，BD：DG=DM：BD，即 522 x： 722 x=DM： 522 x，解得DM= 25214 x，GM=DGDM= 722 x 25214 x= 1227 x， GMMD = 1227x25214x = 2425 【考点】角的计算，全等三角形的应用，勾股定理 【解析】【分析】（1）如图，根据等腰直角三角形的性质得AD=BD，再根据正方形的性质得GDE=90，DG=DE，则可根据“SAS“判断BDGADE，于是得到BG=AE；（2）如图，先判断DEG为等腰直角三角形得到1=2=45，再由BDGADE得到3=2=45，则可得BGE=90，所以BGGE；设AG=3x，则AE=4x，即GE=7x，利用等腰直角三角形的性质得DG= 22 GE= 722 x，由（1）的结论得BG=AE=4x，则根据勾股定理得AB=5x，接着由ABD为等腰直角三角形得到4=45，BD= 22 AB= 522 x，然后证明DBMDGB，则利用相似比可计算出DM= 25214 x，所以GM= 1227 x，于是可计算出 GMMD 的值28.（2016阿坝州）如图，顶点为M的抛物线y=a（x+1）24分别与x轴相交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴相交于点C（0，3）（1）求抛物线的函数表达式； （2）判断BCM是否为直角三角形，并说明理由 （3）抛物线上是否存在点N（点N与点M不重合），使得以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】（1）解：抛物线y=a（x+1）24与y轴相交于点C（0，3）3=a4，a=1，抛物线解析式为y=（x+1）24=x2+2x3（2）解：BCM是直角三角形理由：由（1）有，抛物线解析式为y=（x+1）24，顶点为M的抛物线y=a（x+1）24，M（1，4），由（1）抛物线解析式为y=x2+2x3，令y=0，x2+2x3=0，x1=3，x2=1，A（1，0），B（3，0），BC2=9+9=18，CM2=1+1=2，BM2=4+16=20，BC2+CM2=BM2 ， BCM是直角三角形（3）解：存在，N（1+ 222 ， 32 ）或N（1 222 ， 32 ），以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等，且点M是抛物线的顶点，点N在x轴上方的抛物线上，如图，由（2）有BCM是直角三角形，BC2=18，CM2=2，BC=3 2 ，CM= 2 ，SBCM= 12 BCCM= 12 3 2 2 =3，设N（m，n），以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等，SABN+SABC=SBCM+SABC ， SABN=SBCM=3，A（1，0），B（3，0），AB=4，SABN= 12 ABn= 12 4n=2n=3，n= 32 ，N在抛物线解析式为y=x2+2x3的图象上，m2+2m3= 32 ，m1=1+ 222 ，m2=1 222 ，N（1+ 222 ， 32 ）或N（1 222 ， 32 ）如图2，点N在x轴下方的抛物线上，点C在对称轴的右侧，点N在对称轴右侧不存在，只有在对称轴的左侧，过点M作MNBC，交抛物线于点N，B（3，0），C（0，3），直线BC解析式为y=x3，设MN的解析式为y=x+b抛物线解析式为y=（x+1）24，M（1，4），直线MN解析式为y=x5，联立得 x1=1y1=4 （舍）， x2=2y2=3 ，N（2，3），即：N（1+ 222 ， 32 ）或N（1 222 ， 32 ）或N（2，3） 【考点】二