2012年湖南省怀化市中考数学试卷.doc

2012年湖南省怀化市中考数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）64的立方根是（　　）
A．4 B．±4 C．8 D．±8
2．（3分）在我们的生活中，常见到很多美丽的图案，下列图案中，既是中心对称，又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）已知a＜b，下列式子不成立的是（　　）
A．a+1＜b+1 B．3a＜3b
C．﹣a＞﹣b D．如果c＜0，那么＜
4．（3分）在平面直角坐标系中，点（﹣3，3）所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x＞ B．x≤ C．x≠ D．x≥
6．（3分）如图，已知AB∥CD，AE平分∠CAB，且交于点D，∠C＝110°，则∠EAB为（　　）

A．30° B．35° C．40° D．45°
7．（3分）为了比较甲乙两种水稻秧苗是否出苗更整齐，每种秧苗各取10株分别量出每株长度，发现两组秧苗的平均长度一样，甲、乙方差分别是3.9、15.8，则下列说法正确的是（　　）
A．甲秧苗出苗更整齐 B．乙秧苗出苗更整齐
C．甲、乙出苗一样整齐 D．无法确定
8．（3分）等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
二、填空题
9．（3分）分解因式：x2﹣xy+xz﹣yz＝　 　．
10．（3分）当x＝1，y＝时，3x（2x+y）﹣2x（x﹣y）＝　 　．
11．（3分）如图，在▱ABCD中，AD＝8，点E、F分别是BD、CD的中点，则EF＝　 　．

12．（3分）如果点P1（3，y1），P2（2，y2）在一次函数y＝2x﹣1的图象上，则y1　 　y2．（填“＞”，“＜”或“＝”）
13．（3分）一个多边形的每一个外角都等于30°，则这个多边形的边数是　 　．
14．（3分）方程组的解是　 　．
15．（3分）如图，点P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，切点为A，⊙O的半径OA＝2cm，∠P＝30°，则PO＝　 　cm．

16．（3分）某段时间，小明连续7天测得日最高温度如下表所示，那么这7天的最高温度的平均气温是　 　℃．
温度（℃）
26
27
25
天数
1
3
3
三、解答题
17．计算：﹣（+1）0﹣+|﹣5|﹣（sin30°）﹣1．
18．解分式方程：．
19．如图，在等腰梯形ABCD中，E为底BC的中点，连接AE，DE．求证：AE＝DE．

20．投掷一枚普通的正方体骰子24次．
（1）你认为下列四种说法哪种是正确的？
①出现1点的概率等于出现3点的概率；
②投掷24次，2点一定会出现4次；
③投掷前默念几次“出现4点”，投掷结果出现4点的可能性就会加大；
④连续投掷6次，出现的点数之和不可能等于37．
（2）求出现5点的概率；
（3）出现6点大约有多少次？
21．如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝4，∠OBC＝30°，点C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD、DB．
（1）当∠ADC＝18°时，求∠DOB的度数；
（2）若AC＝2，求证：△ACD∽△OCB．

22．已知x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a＝0的两个实数根．
（1）是否存在实数a，使﹣x1+x1x2＝4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；
（2）求使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数a的整数值．
23．如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，长方形AEFG的宽AE＝，长EF＝．将长方形AEFG绕点A顺时针旋转15°得到长方形AMNH（如图），这时BD与MN相交于点O．
（1）求∠DOM的度数；
（2）在图中，求D、N两点间的距离；
（3）若把长方形AMNH绕点A再顺时针旋转15°得到长方形ARTZ，请问此时点B在矩形ARTZ的内部、外部、还是边上？并说明理由．

24．（10分）如图，抛物线m：y＝﹣（x+h）2+k与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C，顶点为M（3，将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为D；
（1）求抛物线n的解析式；
（2）设抛物线n与x轴的另一个交点为E，点P是线段ED上一个动点（P不与E、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为F，连接EF．如果P点的坐标为（x，y），△PEF的面积为S，求S与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；
（3）设抛物线m的对称轴与x轴的交点为G，以G为圆心，A、B两点间的距离为直径作⊙G，试判断直线CM与⊙G的位置关系，并说明理由．

2012年湖南省怀化市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．【分析】如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．
【解答】解：∵4的立方等于64，
∴64的立方根等于4．
故选：A．
【点评】此题主要考查了求一个数的立方根，解题时应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．
2．【分析】根据轴对称及中心对称的定义，结合选项即可作出判断．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
故选：C．
【点评】此题考查了轴对称图形及中心对称图形的判断，解答本题的关键是熟练掌握轴对称及中心对称的定义，属于基础题．
3．【分析】利用不等式的性质知：不等式两边同时乘以一个正数不等号方向不变，同乘以或除以一个负数不等号方向改变．
【解答】解：A、不等式两边同时加上1，不等号方向不变，故本选项正确，不符合题意；
B、不等式两边同时乘以3，不等号方向不变，故本选项正确，不符合题意；
C、不等式两边同时乘以﹣，不等号方向改变，故本选项正确，不符合题意；
D、不等式两边同时乘以负数c，不等号方向改变，故本选项错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的性质，解题的关键是牢记不等式的性质，特别是在不等式的两边同时乘以或除以一个负数时，不等号方向改变．
4．【分析】根据象限的特点，判断出所求的点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限．
【解答】解：∵点（﹣3，3）的横坐标是负数，纵坐标是正数，
∴点在平面直角坐标系的第二象限，
故选：B．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点．四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
5．【分析】函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数即可求解．
【解答】解：根据题意得：2x﹣3≥0，
解得x≥．
故选：D．
【点评】考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
6．【分析】由AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠CAB的度数，又由AE平分∠CAB，即可求得答案．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠C+∠CAB＝180°，
∵∠C＝110°，
∴∠CAB＝70°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠EAB＝∠CAB＝35°．
故选：B．
【点评】此题考查了平行线的性质与角平分线的定义．此题比较简单，注意掌握两直线平行，同旁内角互补定理的应用．
7．【分析】方差反映一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，即可得出答案．
【解答】解：∵甲、乙方差分别是3.9、15.8，
∴S2甲＜S2乙，
∴甲秧苗出苗更整齐；
故选：A．
【点评】本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
8．【分析】根据等腰三角形的性质可知BC上的中线AD同时是BC上的高线，根据勾股定理求出AB的长即可．
【解答】解：∵等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是BC上的中线，
∴BD＝CD＝BC＝3，AD同时是BC上的高线，
∴AB＝＝5，
故选：C．

【点评】本题考查勾股定理及等腰三角形的性质．解题关键是得出中线AD是BC上的高线，难度适中．
二、填空题
9．【分析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题前两项、后两项都有公因式，且分解后还能继续分解，故使前两项一组，后两项一组．
【解答】解：x2﹣xy+xz﹣yz，
＝（x2﹣xy）+（xz﹣yz），
＝x（x﹣y）+z（x﹣y），
＝（x﹣y）（x+z）．
【点评】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是三一分组．本题前两项、后两项都有公因式，且分解后还能继续分解，故使前两项一组，后两项一组．
10．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式化简，再把x＝1，y＝代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝6x2+3xy﹣2x2+2xy
＝4x2+5xy，
当x＝1，y＝时，原式＝4+5×＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查的是整式的混合运算﹣化简求值，解答此类题目时先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
11．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，可得BC＝AD＝8，又由点E、F分别是BD、CD的中点，利用三角形中位线的性质，即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝8，
∵点E、F分别是BD、CD的中点，
∴EF＝BC＝×8＝4．
故答案为：4．
【点评】此题考查了平行四边形的性质与三角形中位线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
12．【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，将点P1、P2的坐标分别代入已知函数的解析式，分别求得y1、y2的值，然后再来比较一下y1、y2的大小．
【解答】解：∵点P1（3，y1），P2（2，y2）在一次函数y＝2x﹣1的图象上，
∴y1＝2×3﹣1＝5，y2＝2×2﹣1＝3，
∵5＞3，
∴y1＞y2；
故答案是：＞．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上．解题时也可以根据一次函数的单调性进行解答．
13．【分析】多边形的外角和为360°，而多边形的每一个外角都等于30°，由此做除法得出多边形的边数．
【解答】解：∵360°÷30°＝12，
∴这个多边形为十二边形，
故答案为：12．
【点评】本题考查根据多边形的内角与外角．关键是明确多边形的外角和为360°．
14．【分析】先用加减消元求出x的值，再用代入消元法求出y的值即可．
【解答】解：，①+②得，8x＝8，解得x＝1；把x＝1代入①得，1+2y＝﹣5，解得y＝﹣3，
故此方程组的解为：．
故答案为：．
【点评】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键．
15．【分析】根据切线的性质判定△APO为直角三角形，然后在直角三角形中，利用30度角所对的直角边OA等于斜边PO的一半即可求得PO的值．
【解答】解：∵如图，PA是⊙O的切线，
∴PA⊥OA，
∴∠PAO＝90°；
又∵∠P＝30°（已知），
∴PO＝2OA（30°角所对的直角边是斜边的一半）；
∵OA＝2cm（已知），
∴PO＝4cm；
故答案是：4．

【点评】本题考查了切线的性质、含30度角的直角三角形．运用切线的性质可推知∠PAO＝90°，即△PAO是直角三角形．
16．【分析】平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．
【解答】解：该组数据的平均数＝（26×1+27×3+25×3）÷7＝182÷7＝26℃．
故答案为：26．
【点评】本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求26，27，25这三个数的平均数，对平均数的理解不正确．
三、解答题
17．【分析】分别进行分母有理化、零指数幂、二次根式的化简、及负整数指数幂的运算，然后合并即可得出答案．
【解答】解：原式＝+1﹣1﹣2+5﹣2＝3﹣．
【点评】此题考查了二次根式的混合运算、零指数幂及负整数指数幂的运算，结合的知识点较多，注意各部分的运算法则．
18．【分析】观察可得最简公分母是（3﹣x）（x﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：原方程可化为：﹣＝0，
方程的两边同乘（3﹣x）（x﹣1），得
2（x﹣1）﹣x（3﹣x）＝0，
整理得，x2﹣x﹣2＝0，
即（x+1）（x﹣2）＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝2．
检验：把x＝﹣1，x＝2代入（2x﹣1）＝﹣3≠0．
∴原方程的解为：x＝﹣1或x＝2．
【点评】本题考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
19．【分析】利用等腰梯形的性质证明△ABE≌△DCE后，利用全等三角形的性质即可证得两对应线段相等．
【解答】证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AB＝DC，∠B＝∠C．
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE．
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（SAS）．
∴AE＝DE．
【点评】本题主要考查等腰梯形的性质的应用，解题的关键是根据等腰梯形的性质得到证明全等所需的条件．
20．【分析】（1）抛掷正方体骰子出现3和出现1的概率均为；
（2）出现5点的概率不受抛掷次数的影响，始终是；
（3）用抛掷次数乘以出现6点的概率即可．
【解答】解：（1）

①抛掷正方体骰子出现3和出现1的概率均为，故①正确；
②投掷24次，2点不一定会出现，故②错误；
③投掷结果出现4点的概率一定，不会受主观原因改变，故③错误；
④连续投掷6次，最多为6×6＝36，所以出现的点数之和不可能等于37，故④正确．
所以只有①④说法正确；

（2）出现5点的概率不受抛掷次数的影响，始终是；

（3）出现6点大约有24×＝4次．
【点评】本题考查了概率的公式，解题时注意出现1点的概率不受实验次数的影响．
21．【分析】（1）连接OA，根据OA＝OB＝OD，求出∠DAO、∠OAB的度数，求出∠DAB，根据圆周角定理求出即可；
（2）过O作OE⊥AB于E，根据垂径定理求出AE和BE，求出AB，推出C、E重合，得出∠ACD＝∠OCB＝90°，求出DC长得出＝，根据相似三角形的判定推出即可．
【解答】（1）解：连接OA，
∵OA＝OB＝OD，
∴∠OAB＝∠OBC＝30°，∠OAD＝∠ADC＝18°，
∴∠DAB＝∠DAO+∠BAO＝48°，
由圆周角定理得：∠DOB＝2∠DAB＝96°．

（2）证明：过O作OE⊥AB于点E，垂足为E，
∵OE过O，
由垂径定理得：AE＝BE，
∵在Rt△OEB中，OB＝4，∠OBC＝30°，
∴OE＝OB＝2，
由勾股定理得：BE＝2＝AE，
即AB＝2AE＝4，
∵AC＝2，
∴BC＝2，
即C、E两点重合，
∴DC⊥AB，
∴∠DCA＝∠OCB＝90°，
∵DC＝OD+OC＝2+4＝6，OC＝2，AC＝BC＝2，
∴＝＝，
∴△ACD∽△OCB（两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似）．

【点评】本题综合考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定，勾股定理，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生能否运用性质进行推理，题目综合性比较强，是一道比较好的题目．
22．【分析】根据根与系数的关系求得x1x2＝，x1+x2＝﹣；根据一元二次方程的根的判别式求得a的取值范围；
（1）将已知等式变形为x1x2＝4+（x2+x1），即＝4+，通过解该关于a的方程即可求得a的值；
（2）根据限制性条件“（x1+1）（x2+1）为负整数”求得a的取值范围，然后在取值范围内取a的整数值．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a＝0的两个实数根，
∴由根与系数的关系可知，x1x2＝，x1+x2＝﹣；
∵一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a＝0有两个实数根，
∴△＝4a2﹣4（a﹣6）•a≥0，且a﹣6≠0，
解得，a≥0，且a≠6；
（1）∵﹣x1+x1x2＝4+x2，
∴x1x2＝4+（x1+x2），即＝4﹣，
解得，a＝24＞0；
∴存在实数a，使﹣x1+x1x2＝4+x2成立，a的值是24；

（2）∵（x1+1）（x2+1）＝x1x2+（x1+x2）+1＝﹣+1＝﹣，
∴当（x1+1）（x2+1）为负整数时，a﹣6＞0，且a﹣6是6的约数，
∴a﹣6＝6，a﹣6＝3，a﹣6＝2，a﹣6＝1，
∴a＝12，9，8，7；
∴使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数a的整数值有12，9，8，7．
【点评】本题综合考查了根与系数的关系、根的判别式．注意：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c是常数）的二次项系数a≠0．
23．【分析】（1）由旋转的性质，可得∠BAM＝15°，即可得∠OKB＝∠AOM＝75°，又由正方形的性质，可得∠ABD＝45°，然后利用外角的性质，即可求得∠DOM的度数；
（2）首先连接AN，交BD于I，连接AN，由特殊角的三角函数值，求得∠HAN＝30°，又由旋转的性质，即可求得∠DAN＝45°，即可证得A，C，N共线，然后由股定理求得答案；
（3）在Rt△ARK中，利用三角函数即可求得AK的值，与AB比较大小，即可确定B的位置．
【解答】解：（1）根据题意得：∠BAM＝15°，
∵四边形AMNH是矩形，
∴∠M＝90°，
∴∠AKM＝90°﹣∠BAM＝75°，
∴∠BKO＝∠AKM＝75°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝45°，
∴∠DOM＝∠BKO+∠ABD＝75°+45°＝120°；

（2）连接AN，交BD于I，连接DN，
∵NH＝，AH＝，∠H＝90°，
∴tan∠HAN＝＝，
∴∠HAN＝30°，
∴AN＝2NH＝7，
由旋转的性质：∠DAH＝15°，
∴∠DAN＝45°，
∵∠DAC＝45°，
∴A，C，N共线，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，
∵AD＝CD＝3，
∴DI＝AI＝AC＝＝3，
∴NI＝AN﹣AI＝7﹣3＝4，
在Rt△DIN中，DN＝＝5；

（3）点B在矩形ARTZ的外部．
理由：如图，根据题意得：∠BAR＝15°+15°＝30°，
∵∠R＝90°，AR＝，
∴AK＝＝＝，
∵AB＝3＞，
∴点B在矩形ARTZ的外部．

【点评】此题考查了旋转的性质、正方形的性质、矩形的性质、勾股定理以及特殊角的三角函数问题．此题难度较大，注意数形结合思想的应用，注意准确作出辅助线是解此题的关键．
24．【分析】（1）本问涉及抛物线的旋转变换，首先求出B点坐标，再由点D、M关于点B成中心对称，求出D点的坐标，从而得到抛物线n的解析式；注意由于开口方向相反，两个抛物线的a值也相反；
（2）本问可依次确定S的关系式、自变量x的取值范围，最后求出最大值．注意：①欲求S的关系式，首先需要用待定系数法求出直线DE的解析式；②求得关系式S＝﹣（x﹣9）2+后确定最大值时，不能简单套用“当x＝9时，最大值为…”，这样就错了，因为x＝9不在自变量的取值范围内；
（3）本问结论：直线CM与⊙G相切．结合题意，欲证明直线CM与⊙G相切，需要完成两个步骤：①证明点C在⊙G上，②证明CM垂直于半径GC．
【解答】解：（1）∵顶点坐标为M（3，），
∴k＝，h＝﹣3，
∴抛物线m的解析式为：y＝﹣（x﹣3）2+＝﹣（x﹣8）（x+2），
∴A（﹣2，0），B（8，0）．
由旋转性质可知，点D与点M（3，）关于点B（8，0）成中心对称，
∴D（13，﹣），
∴抛物线n的解析式为：y＝（x﹣13）2﹣．

（2）∵抛物线n：y＝（x﹣13）2﹣＝（x﹣8）（x﹣18），
∴E点坐标为（18，0）．
设直线DE的解析式为y＝kx+b，则有：
，解得k＝，b＝﹣，
∴直线DE的解析式为：y＝x﹣．
如题图所示，S＝PF•OF＝x•（﹣y）＝﹣x•（x﹣）＝﹣（x﹣9）2+；
∵点P是线段ED上一个动点（P不与E、D重合），
∴13＜x＜18；
∴S＝﹣（x﹣9）2+（13＜x＜18），
可见该抛物线开口向下，对称轴为x＝9，函数图象位于对称轴右侧，y随着x的增大而减小，故S在13＜x＜18范围内没有最大值．
所以S与x的函数关系式为S＝﹣（x﹣9）2+，自变量取值范围是13＜x＜18，S没有最大值．

（3）结论：直线CM与⊙G相切．理由如下：
∵抛物线m的解析式为：y＝﹣（x﹣3）2+，令x＝0，解得y＝4，
∴C（0，4）．
在Rt△COG中，由勾股定理得：CG＝＝＝5，
又∵⊙G半径为5，
∴点C在⊙G上．
如右图所示，依题意作出⊙G，连接CG、CM、MG，过点C作CH⊥MG于点H，则CH＝3，HG＝4，MH＝﹣4＝，
∵，CH⊥MG，
∴△CHG∽△MHC，
∴∠MCH＝∠CGH；
又∠HCG+∠CGH＝90°，
∴∠HCG+∠MCH＝90°，即GC⊥MC．
（注：此处亦可用勾股定理的逆定理证明△MCG为直角三角形）
综上所述，点C在⊙G上，且满足GC⊥MC，
∴直线CM与与⊙G相切．

【点评】本题综合考查了二次函数的图象与性质、图形变换、极值、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及圆与直线的位置关系等知识点，有一定的难度．第（2）问中，考查二次函数在指定区间上的极值，这是本题的一个易错点，需要引起注意．
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