2013年湖南省岳阳市中考数学试卷.doc

2013年湖南省岳阳市中考数学试卷
一、选择题
1．﹣2013的相反数是（　　）
A．﹣2013 B．2013 C． D．﹣
2．计算a3•a2的结果是（　　）
A．a5 B．a6 C．a3+a2 D．3a2
3．一个正方体的平面展开图如图所示，将它折成正方体后，与汉字“岳”相对的面上的汉字是（　　）

A．建 B．设 C．和 D．谐
4．不等式2x＜10的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．关于x的分式方程+3＝有增根，则增根为（　　）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝3 D．x＝﹣3
6．两圆半径分别为3cm和7cm，当圆心距d＝10cm时，两圆的位置关系为（　　）
A．外离 B．内切 C．相交 D．外切
7．某组7名同学在一学期里阅读课外书籍的册数分别是：14，12，13，12，17，18，16．则这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．12，13 B．12，14 C．13，14 D．13，16
8．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对于下列结论：①a＜0；②b＜0；③c＞0；④b+2a＝0；⑤a+b+c＜0．其中正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：
9．分解因式：xy﹣3x＝　 　．
10．单项式﹣5x2y的系数是　 　．
11．函数y＝中，自变量x的取值范围是　 　．
12．据统计，今年我市参加初中毕业学业考试的九年级学生将近47500人，数据47500用科学记数法表示为　 　．
13．如图，点P（﹣3，2）处的一只蚂蚁沿水平方向向右爬行了5个单位长度后的坐标为　 　．

14．如图所示的3×3方格形地面上，阴影部分是草地，其余部分是空地，一只自由飞翔的小鸟飞下来落在草地上的概率为　 　．

15．同一时刻，物体的高与影子的长成比例，某一时刻，高1.6m的人影长为1.2m，一电线杆影长为9m，则电线杆的高为　 　m．
16．夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的矩形荷塘上架设小桥．若荷塘周长为280m，且桥宽忽略不计，则小桥总长为　 　m．

三、解答题：
17．计算：|﹣2|+（﹣1）2013﹣（π﹣）0．
18．先化简，再求值：a﹣2+，其中a＝3．
19．如图，反比例函数y＝与一次函数y＝x+b的图象，都经过点A（1，2）
（1）试确定反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求一次函数图象与两坐标轴的交点坐标．

20．某天，一蔬菜经营户用114元从蔬菜批发市场购进黄瓜和土豆共40kg到菜市场去卖，黄瓜和土豆这天的批发价和零售价（单位：元/kg）如下表所示：
品名
批发价
零售价
黄瓜
2.4
4
土豆
3
5
（1）他当天购进黄瓜和土豆各多少千克？
（2）如果黄瓜和土豆全部卖完，他能赚多少钱？
21．某市为了更好地加强城市建设，实现美丽梦想，就社会热点问题广泛征求市民意见，方式是发放调查表：要求每位被调查人员写一个最关心的有关城市建设问题的建议，经统计整理绘制出（a），（b）两幅不完整统计图，请根据统计图提供的信息解答下列问题：

（1）本次上交调查表的总人数为多少？
（2）求关心“道路交通”部分的人数，并补充完整条形统计图．
22．某校有一露天舞台，纵断面如图所示，AC垂直于地面，AB表示楼梯，AE为舞台面，楼梯的坡角∠ABC＝45°，坡长AB＝2m，为保障安全，学校决定对该楼梯进行改造，降低坡度，拟修新楼梯AD，使∠ADC＝30°．
（1）求舞台的高AC（结果保留根号）；
（2）在楼梯口B左侧正前方距离舞台底部C点3m处有一株大树，修新楼梯AD时底端D是否会触到大树？并说明理由．

23．某数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图1，正方形ABCD中，AB＝6，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合．三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．
（1）求证：DP＝DQ；
（2）如图2，小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明；
（3）如图3，固定三角板直角顶点在D点不动，转动三角板，使三角板的一边交AB的延长线于点P，另一边交BC的延长线于点Q，仍作∠PDQ的平分线DE交BC延长线于点E，连接PE，若AB：AP＝3：4，请帮小明算出△DEP的面积．

24．如图，已知以E（3，0）为圆心，以5为半径的⊙E与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，B，C三点，顶点为F．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）求抛物线的解析式及顶点F的坐标；
（3）已知M为抛物线上一动点（不与C点重合），试探究：
①使得以A，B，M为顶点的三角形面积与△ABC的面积相等，求所有符合条件的点M的坐标；
②若探究①中的M点位于第四象限，连接M点与抛物线顶点F，试判断直线MF与⊙E的位置关系，并说明理由．

2013年湖南省岳阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．【分析】根据相反数的概念解答即可．
【解答】解：﹣2013的相反数是﹣（﹣2013）＝2013．
故选：B．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2．【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加进行计算即可得解．
【解答】解：a3•a2＝a3+2＝a5．
故选：A．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，是基础题，熟记性质是解题的关键．
3．【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“和”与“岳”是相对面，
“建”与“阳”是相对面，
“谐”与“设”是相对面．
故选：C．
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
4．【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【解答】解：不等式的两边同时除以2得，x＜5，
在数轴上表示为：

故选：D．
【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知实心原点与空心原点的区别是解答此题的关键．
5．【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x﹣1）＝0，得到x＝1，然后代入化为整式方程的方程，检验是否符合题意．
【解答】解：方程两边都乘（x﹣1），得7+3（x﹣1）＝m，
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣1＝0，
解得x＝1，
当x＝1时，m＝7，这是可能的，符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了分式方程的增根，关于增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程，检验是否符合题意．
6．【分析】由两圆的半径分别为7cm和3cm，圆心距为10cm，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出这两个圆的位置关系．
【解答】解：∵两圆的半径分别为7cm和3cm，圆心距为10cm，
又∵7+3＝10，
∴这两个圆的位置关系是外切．
故选：D．
【点评】此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．
圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d＝R+r；③两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切⇔d＝R﹣r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）．
7．【分析】根据众数与中位数的定义分别进行解答即可，众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将一组数据从小到大重新排列后，找出最中间的那个数．
【解答】解：在这组数据14，12，13，12，17，18，16中，
12出现了2次，出现的次数最多，
则这组数据的众数是12，
把这组数据从小到大排列为：12，12，13，14，16，17，18，
最中间的数是14，
则这组数据的中位数是14；
故选：B．
【点评】此题考查了众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数．
8．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：如图，①抛物线开口方向向下，则a＜0．故①正确；
②∵对称轴x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，即b＞0．故②错误；
③∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0．故③正确；
④∵对称轴x＝﹣＝1，∴b+2a＝0．故④正确；
⑤根据图示知，当x＝1时，y＞0，即a+b+c＞0．故⑤错误．
综上所述，正确的说法是①③④，共有3个．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．
二、填空题：
9．【分析】直接提取公因式分解因式即可．
【解答】解：xy﹣3x＝x（y﹣3）；
故答案为：x（y﹣3）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确得出公因式是解题关键．
10．【分析】根据单项式系数的定义来选择，单项式中数字因数叫做单项式的系数．
【解答】解：﹣5x2y＝﹣5•x2y，所以该单项式的系数是﹣5．
故答案是：﹣5．
【点评】本题考查了单项式的定义．确定单项式的系数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数的关键．
11．【分析】函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数即可求解．
【解答】解：根据题意得：x+2≥0，
解得x≥﹣2．
故答案为：x≥﹣2．
【点评】本题主要考查自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
12．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将47500用科学记数法表示为4.75×104．
故答案为：4.75×104．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13．【分析】让点P的横坐标加上5即可．
【解答】解：点P（﹣3，2）处的一只蚂蚁沿水平方向向右爬行了5个单位长度后的坐标为（﹣3+5，2），即（2，2）．
故答案为（2，2）．
【点评】此题主要考查了点坐标的平移变换．关键是熟记平移变换与坐标变化规律：
①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）；
②向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y）；
③向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）；
④向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b）．
14．【分析】先求出阴影部分的面积，再求出大正方形的面积，最后根据阴影部分的面积与总面积的比，即可得出答案．
【解答】解：∵阴影部分的面积＝3个小正方形的面积，
大正方形的面积＝9个小正方形的面积，
∴阴影部分的面积占总面积的＝，
∴小鸟飞下来落在草地上的概率为；
故答案为：．
【点评】此题主要考查了几何概率的求法，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比，关键是求出阴影部分的面积．
15．【分析】根据在同一地点，物体的实际高度与它的影子的长度的比值一定，由此判断物体的实际高度与它的影子的长度成正比例，设出未知数，列出比例解答即可．
【解答】解：设这根电线杆的高度是x米，
1.6：1.2＝x：9，
解得：x＝12．
故答案为：12．
【点评】考查了相似三角形的应用，解答此题的关键是，根据题意，先判断哪两种相关联的量成何比例，即两个量的乘积一定则成反比例，两个量的比值一定则成正比例；再列出比例解答即可．
16．【分析】利用平移的性质直接得出答案即可．
【解答】解：根据题意得出：小桥可以平移到矩形的边上，得出小桥的长等于矩形的长与宽的和，
故小桥总长为：280÷2＝140（m）．
故答案为：140．
【点评】此题主要考查了生活中的平移，根据已知正确平移小桥是解题关键．
三、解答题：
17．【分析】分别根据绝对值的性质、有理数乘方的法则即0指数幂的计算法则计算出各数，再根据实数运算的法则进行解答即可．
【解答】解：原式＝2﹣1﹣1
＝0．
【点评】本题考查的是实数的运算，熟知绝对值的性质、有理数乘方的法则即0指数幂的计算法则是解答此题的关键．
18．【分析】首先对式子中的分式进行化简，然后合并同类项，把a的数值代入求解．
【解答】解：原式＝a﹣2+
＝a﹣2+a+1
＝2a﹣1，
当a＝3时，原式＝6﹣1＝5．
【点评本题考查了分式的化简求值，注意化简过程中，有能约分的式子首先要约分．
19．【分析】（1）将点A（1，2）分别代入y＝与y＝x+b中，运用待定系数法即可确定出反比例解析式和一次函数解析式；
（2）对于一次函数解析式，令x＝0，求出对应y的值，得到一次函数与y轴交点的纵坐标，确定出一次函数与y轴的交点坐标；令y＝0，求出对应x的值，得到一次函数与x轴交点的横坐标，确定出一次函数与x轴的交点坐标．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝与一次函数y＝x+b的图象，都经过点A（1，2），
∴将x＝1，y＝2代入反比例解析式得：k＝1×2＝2，
将x＝1，y＝2代入一次函数解析式得：b＝2﹣1＝1，
∴反比例函数的解析式为y＝，一次函数的解析式为y＝x+1；

（2）对于一次函数y＝x+1，
令y＝0，可得x＝﹣1；令x＝0，可得y＝1．
∴一次函数图象与x轴，y轴的交点坐标分别为（﹣1，0），（0，1）．
【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，以及一次函数与坐标轴的交点，比较简单．
20．【分析】（1）设他当天购进黄瓜x千克，则土豆（40﹣x）千克，根据黄瓜的批发价是2.4元，土豆批发价是3元，共花了114元，列出方程，求出x的值，即可求出答案；
（2）根据（1）得出的黄瓜和土豆的斤数，再求出每斤黄瓜和土豆赚的钱数，即可求出总的赚的钱数．
【解答】解1）设他当天购进黄瓜x千克，则土豆（40﹣x）千克，根据题意得：
2.4x+3（40﹣x）＝114，
解得：x＝10
则土豆为40﹣10＝30（千克）；
答：他当天购进黄瓜10千克，土豆30千克；

（2）根据题意得：
（4﹣2.4）×10+（5﹣3）×30
＝16+60
＝76（元）．
答：黄瓜和土豆全部卖完，他能赚76元．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．用到的知识点是：单价×数量＝总价．
21．【分析】（1）根据环境保护所占的百分比和环境保护的人数，即可求出总人数；
2）用整体1减去其它所占的百分比，求出关心“道路交通”部分的人数所占的百分比，再乘以总人数，即可得出关心“道路交通”部分的人数，从而补全统计图．
【解答】解：（1）根据题意意得：
900÷30%＝3000（人），
答：本次上交调查表的总人数为3000人；

（2）关心“道路交通”部分的人数所占的百分比是：
1﹣30%﹣25%﹣20%﹣5%＝20%，
则关心“道路交通”部分的人数是：3000×20%＝600（人）．
补全条形统计图如下：

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22．【分析】（1）首先由已知AB＝6m，∠ABC＝45°求出AC和BC，再由∠ADC＝30°求出AD＝2AC；
（2）根据勾股定理求出CD后与3m比较后即可得到答案．
【解答】解：（1）已知AB＝2m，∠ABC＝45°，
∴AC＝BC＝AB•sin45°＝2×＝，
答：舞台的高为米；

（2）已知∠ADC＝30°．
∴AD＝2AC＝2．
CD＝AD•cos30°＝2×＝＜3
答：修新楼梯AD时底端D不会触到大树．
【点评】此题考查的是解直角三角形的应用，关键是运用锐角三角形函数求解．
23．【分析】（1）证明△ADP≌△CDQ，即可得到结论：DP＝DQ；
（2）证明△DEP≌△DEQ，即可得到结论：PE＝QE；
（3）与（1）（2）同理，可以分别证明△ADP≌△CDQ、△DEP≌△DEQ．在Rt△BPE中，利用勾股定理求出PE（或QE）的长度，从而可求得S△DEQ＝，而△DEP≌△DEQ，所以S△DEP＝S△DEQ＝．
【解答】（1）证明：∵∠ADC＝∠PDQ＝90°，
∴∠ADP＝∠CDQ．
在△ADP与△CDQ中，

∴△ADP≌△CDQ（ASA），
∴DP＝DQ．

（2）猜测：PE＝QE．
证明：由（1）可知，DP＝DQ．
在△DEP与△DEQ中，

∴△DEP≌△DEQ（SAS），
∴PE＝QE．

（3）解：∵AB：AP＝3：4，AB＝6，
∴AP＝8，BP＝2．
与（1）同理，可以证明△ADP≌△CDQ，
∴CQ＝AP＝8．
与（2）同理，可以证明△DEP≌△DEQ，
∴PE＝QE．
设QE＝PE＝x，则BE＝BC+CQ﹣QE＝14﹣x．
在Rt△BPE中，由勾股定理得：BP2+BE2＝PE2，
即：22+（14﹣x）2＝x2，
解得：x＝，即QE＝．
∴S△DEQ＝QE•CD＝××6＝．
∵△DEP≌△DEQ，
∴S△DEP＝S△DEQ＝．
【点评】本题是几何综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．试题难度不大，但要注意认真计算，避免出错．
24．【分析】（1）由题意可直接得到点A、B的坐标，连接CE，在Rt△OCE中，利用勾股定理求出OC的长，则得到点C的坐标；
（2）已知点A、B、C的坐标，利用交点式与待定系数法求出抛物线的解析式，由解析式得到顶点F的坐标；
（3）①△ABC中，底边AB上的高OC＝4，若△ABC与△ABM面积相等，则抛物线上的点M须满足条件：|yM|＝4．因此解方程yM＝4和yM＝﹣4，可求得点M的坐标；
②如解答图，作辅助线，可求得EM＝5，因此点M在⊙E上；再利用勾股定理求出MF的长度，则利用勾股定理的逆定理可判定△EMF为直角三角形，∠EMF＝90°，所以直线MF与⊙E相切．
【解答】解：（1）∵以E（3，0）为圆心，以5为半径的⊙E与x轴交于A，B两点，
∴A（﹣2，0），B（8，0）．
如解答图所示，连接CE．
在Rt△OCE中，OE＝AE﹣OA＝5﹣2＝3，CE＝5，
由勾股定理得：OC＝＝＝4．
∴C（0，﹣4）．

（2）∵点A（﹣2，0），B（8，0）在抛物线上，
∴可设抛物线的解析式为：y＝a（x+2）（x﹣8）．
∵点C（0，﹣4）在抛物线上，
∴﹣4＝a×2×﹣8，解得a＝．
∴抛物线的解析式为：y＝（x+2）（x﹣8）＝x2﹣x﹣4＝（x﹣3）2﹣
∴顶点F的坐标为（3，﹣）．

（3）①∵△ABC中，底边AB上的高OC＝4，
∴若△ABC与△ABM面积相等，则抛物线上的点M须满足条件：|yM|＝4．
（I）若yM＝4，则x2﹣x﹣4＝4，
整理得：x2﹣6x﹣32＝0，解得x＝3+或x＝3﹣．
∴点M的坐标为（3+，4）或（3﹣，4）；
（II）若yM＝﹣4，则x2﹣x﹣4＝﹣4，
整理得：x2﹣6x＝0，解得x＝6或x＝0（与点C重合，故舍去）．
∴点M的坐标为（6，﹣4）．
综上所述，满足条件的点M的坐标为：（3+，4），（3﹣，4）或（6，﹣4）．
②直线MF与⊙E相切．理由如下：
由题意可知，M（6，﹣4）．
如解答图所示，连接EM，MF，过点M作MG⊥对称轴EF于点G，
则MG＝3，EG＝4．
在Rt△MEG中，由勾股定理得：ME＝＝＝5，
∴点M在⊙E上．
由（2）知，顶点F的坐标（3，﹣），∴EF＝，
∴FG＝EF﹣EG＝．
在Rt△MGF中，由勾股定理得：MF＝＝＝．
在△EFM中，∵EM2+MF2＝52+（）2＝（）2＝EF2，
∴△EFM为直角三角形，∠EMF＝90°．
∵点M在⊙E上，且∠EMF＝90°，
∴直线MF与⊙E相切．

【点评】本题是代数几何综合题，主要考查了抛物线与圆的相关知识，涉及到的考点有二次函数的图象与性质、勾股定理及其逆定理、切线的判定、解一元二次方程等．第（3）①问中，点M在x轴上方或下方均可能存在，注意不要漏解．
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