1、利用点差法巧解圆锥曲线利用点差法巧解圆锥曲线中点弦问题中点弦问题高中数学教师欧阳文丰制作第1页第1页 导导 言言 圆锥曲线综合题是每年高考必考题目，这些题目的解法灵活圆锥曲线综合题是每年高考必考题目，这些题目的解法灵活多变，其中涉及圆锥曲线中点弦相关问题，我们称之为圆锥曲线多变，其中涉及圆锥曲线中点弦相关问题，我们称之为圆锥曲线中点弦问题。用点差法求解这类问题，含有构思精致，简便易行中点弦问题。用点差法求解这类问题，含有构思精致，简便易行长处。长处。若若设设直直线线与与圆锥圆锥曲曲线线交点（弦端点）坐交点（弦端点）坐标为标为、，将将这这两点代入两点代入圆锥圆锥曲曲线线方程并方程并对对所得两式作
2、差，得到一所得两式作差，得到一个与弦个与弦中点和斜率相关式子，能够大大减少运算量。我们称中点和斜率相关式子，能够大大减少运算量。我们称这种代点作差办法为这种代点作差办法为“点差法点差法”。第2页第2页 过椭圆过椭圆 内一点内一点 引一引一条弦，使弦被点条弦，使弦被点 平分，求这条弦所在平分，求这条弦所在直线方程直线方程A（x2,y2）Mx xyo（x1,y1）B一一.问题引入问题引入第3页第3页例例1：已知椭圆：已知椭圆 过点过点P(2，1)引一弦，使弦在引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线方程这点被平分，求此弦所在直线方程.解法一：解法一：韦达定理韦达定理斜率斜率韦达定理法：利用韦达定理
3、及中点坐标公式来结构韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来结构二、例题解说二、例题解说第4页第4页例例1：已知椭圆：已知椭圆 过点过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线方程平分，求此弦所在直线方程.点差法：点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差结利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差结构出中点坐标和斜率构出中点坐标和斜率点点作差作差二、例题解说二、例题解说第5页第5页小结：小结：弦中点、弦斜率问题弦中点、弦斜率问题两种处理办法两种处理办法 1.联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理解决.2.点差法点差法:设弦两端点坐标设弦两端点坐标,代入曲线方程
4、相减后分解代入曲线方程相减后分解 因式因式,便可与弦所在直线斜率及弦中点联系起来便可与弦所在直线斜率及弦中点联系起来.第6页第6页xyo.NM点差法例2二、例题解说二、例题解说第7页第7页xyo.NM二、例题解说二、例题解说第8页第8页例3、已知椭圆,求它斜率为3弦中点轨迹方程。解：设弦端点、，弦中点，则，又 ，两式相减得即，即 ，即由，得弦中点轨迹方程为：二、例题解说二、例题解说第9页第9页例4 已知椭圆一条准线方程是，有一条倾斜角为直线交椭圆于A、B两点，若AB中点为，则求椭圆方程。二、例题解说二、例题解说第10页第10页解设，则，且，（1），（2）得：，（3），（4），（5）由（3），（
5、4），（5）可得，所求椭圆方程为.二、例题解说二、例题解说第11页第11页注：凡关于中点弦和弦中点问题，可采用点差法求解。三、变式练习三、变式练习第12页第12页三、变式练习三、变式练习第13页第13页2.弦中点问题弦中点问题两种处理办法两种处理办法 课堂小结课堂小结（1）联立方程组,消去一个未知数,利用韦达定理；（2）设两端点坐标,代入曲线方程相减可求出弦斜率和弦中点坐标（点差法点差法）。1、利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题，办法简捷明快，结构精致，较好地表达了数学美，并且应用特性明显，是训练思维、熏陶数学情感一个较好材料，利于培养学生解题能力和解题兴趣。第14页第14页作业：qq已知椭圆已
6、知椭圆x x2 2+2y+2y2 2=2,=2,(1)(1)求被点求被点P P（,）平分弦所在直线方程；）平分弦所在直线方程；(2)(2)求斜率为求斜率为2 2平行弦中点轨迹。平行弦中点轨迹。(3)(3)过过A(2,1)A(2,1)引椭圆割线，求截得弦中点轨迹引椭圆割线，求截得弦中点轨迹。1 12 21 12 2qq抛物线抛物线y=xy=x2 2-2x+2-2x+2与直线与直线y=mxy=mx交于交于P P1 1、P P2 2两两点点(1)(1)求线段求线段P P1 1P P2 2中点中点QQ轨迹方程；轨迹方程；(2)0 x2(2)0 x2求线段求线段P P1 1P P2 2中点中点QQ最高点和最低点坐最高点和最低点坐标。标。第15页第15页
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