连续函数的四则运算公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件.pptx

1.连续函数四则运算连续函数四则运算2.反函数与复合函数连续性反函数与复合函数连续性3.初等函数连续性初等函数连续性基本初等函数在各自定义域上都连续基本初等函数在各自定义域上都连续.初等函数在其各自定义域上都连续初等函数在其各自定义域上都连续.这里定义这里定义区间指包括在其定义域内区间区间指包括在其定义域内区间.4.闭区间上连续函数性质闭区间上连续函数性质1.11 连续函数运算与性质连续函数运算与性质第1页第1页一、连续函数算术运算一、连续函数算术运算定理定理1若函数若函数在点在点处连续处连续,则则在点在点处也连续处也连续.比如比如,在在内连续内连续,故故在其定义域内连续在其定义域内连续.第2页第2页二、复合函数连续性二、复合函数连续性定理定理2若若函数函数在点在点处处连续连续,则有则有证证在点在点处连续处连续,当当时时,恒有恒有又又对上述对上述当当时时,恒有恒有结合上述两步得结合上述两步得,当当第3页第3页时时,恒有恒有意义意义1.2.极限符号能够与连续函数符号互换极限符号能够与连续函数符号互换;理论依据理论依据.定理定理2给出了变量代换给出了变量代换第4页第4页定理定理3设函数设函数在点在点处连续处连续,且且而函数而函数在点在点处连续处连续,则复合函数则复合函数在点在点处也连续处也连续.注意注意定理定理4是定理是定理3特殊情况特殊情况.比如比如,在在内连续内连续,在在内连续内连续,在在内连续内连续.第5页第5页例例 1完完求求解解第6页第6页例例 完完求求解解第7页第7页例例 2完完求求解解由于由于因此因此第8页第8页三、初等函数连续性三、初等函数连续性三角函数及反三角函数三角函数及反三角函数;指数函数指数函数在在内单调内单调且连续且连续;对数函数对数函数在在内单内单调且连续调且连续;在在内连续内连续.讨论讨论不同值(均在其定义域内连续).在它们定义域内是连续在它们定义域内是连续第9页第9页初等函数连续性初等函数连续性讨论讨论不同值(均在其定义域内连续).定理定理4基本初级函数基本初级函数定理定理5一切初级函数一切初级函数定义区间定义区间是指是指注意注意1.但在其但在其定义域内不一定连续定义域内不一定连续.比如比如,在这些孤立点领域内没有定义在这些孤立点领域内没有定义.及及在定义域内是连续在定义域内是连续.在其定义区间内都是连续在其定义区间内都是连续.包括在定义域内区间包括在定义域内区间.初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续,第10页第10页在这些孤立点领域内没有定义在这些孤立点领域内没有定义.及及在在0点领域内没有定义点领域内没有定义,函数在区间函数在区间上上2.定义区间定义区间).连续连续.初等函数求极限办法初等函数求极限办法(代入法代入法)完完第11页第11页例例 3完完求求解解由于由于是初等函数是初等函数,且且是其定义区间内点是其定义区间内点,因此因此在点在点处连续处连续,于是于是第12页第12页幂指函数幂指函数由于由于故幂指函数可化为复合函数故幂指函数可化为复合函数.易见易见:若若则则即即注意公式成立条件注意公式成立条件例例6求求称为称为幂指函数幂指函数.解解完完形如形如函数函数第13页第13页定义定义对于在区间对于在区间上有定义函数上有定义函数假如假如有有使得对于任一使得对于任一都有都有则称则称是函数是函数在区间在区间 上最大上最大(小小)值值.比如比如,在在上上,在在上上,四、闭区间上连续函数性质四、闭区间上连续函数性质第14页第14页定理定理6 最大值和最小值定理最大值和最小值定理在闭区间上连续函数在闭区间上连续函数一定有最大值和最小值一定有最大值和最小值.定理定理7 有界性定理有界性定理在闭区间上连续函数在闭区间上连续函数证证设函数设函数在在上连续上连续,于是存在于是存在、使得使得有有取取故函数故函数在在上有界上有界.完完一定在该区间上有界一定在该区间上有界.第15页第15页定义定义假如假如使使则则称为函数称为函数零点零点.定理定理8零点定理零点定理 设函数设函数在闭区间在闭区间上连续上连续,且且与与异号异号(即即即至少有即至少有一点一点使使那么在开区那么在开区内至少有函数内至少有函数间间一个零点一个零点,即方程即方程在在内至少存在一个实根内至少存在一个实根.定理定理9介值定理介值定理设函数设函数在闭区间在闭区间上连续上连续,且且在这区间端点取不同函数值第16页第16页推论推论1在闭区间上连续函数在闭区间上连续函数与最小值与最小值之间任何值之间任何值.必取得介于最大值必取得介于最大值第17页第17页例例 5完完证证证实方程证实方程少有一个实根少有一个实根.令令则则在在上连续上连续.又又由零点定理由零点定理,使使即即方程方程根根在区间在区间内至内至在在内至少有一个实内至少有一个实第18页第18页例例 6完完证证设函数设函数在区间在区间上连续上连续,且且证实证实:使得使得令令则则在在上连续上连续.而而由零点定理由零点定理,使使即即第19页第19页1.设设试研究复合函数试研究复合函数与与连续性连续性.2.预计方程预计方程根位置根位置.课堂练习课堂练习第20页第20页1.设设试研究复合函数试研究复合函数与与连续性连续性.解解在在上处处连续上处处连续.又又第21页第21页在在上处处连续，上处处连续，故故是它可去间断点是它可去间断点.第22页第22页2.预计方程预计方程根位置根位置.解解 设设则则在在内连续内连续.由于由于依据介值定理推论可知，依据介值定理推论可知，在在和和内至少各有一个根内至少各有一个根.因此该方程在因此该方程在和和内各有一个根内各有一个根.完完又由于三次方程根最多有三个，又由于三次方程根最多有三个，第23页第23页内容小结内容小结1.连续函数四则运算连续函数四则运算2.反函数与复合函数连续性反函数与复合函数连续性3.初等函数连续性初等函数连续性基本初等函数在各自定义域上都连续基本初等函数在各自定义域上都连续.初等函数在其各自定义域上都连续初等函数在其各自定义域上都连续.这里定义这里定义区间指包括在其定义域内区间区间指包括在其定义域内区间.4.闭区间上连续函数性质闭区间上连续函数性质第24页第24页