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2014年广西柳州市中考数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）如图，李师傅做了一个零件，请你告诉他这个零件的主视图是（　　）

A． B． C． D．
2．（3分）在所给的，0，﹣1，3这四个数中，最小的数是（　　）
A． B．0 C．﹣1 D．3
3．（3分）下列选项中，属于无理数的是（　　）
A．2 B．π C． D．﹣2
4．（3分）如图，直线l∥OB，则∠1的度数是（　　）

A．120° B．30° C．40° D．60°
5．（3分）下列计算正确的选项是（　　）
A．﹣1＝ B．（）2＝5 C．2a﹣b＝ab D．＝

6．（3分）如图，直角坐标系中的五角星关于y轴对称的图形在（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（3分）学校“清洁校园”环境爱护志愿者的年龄分布如图，那么这些志愿者年龄的众数是（　　）

A．12岁 B．13岁 C．14岁 D．15岁
8．（3分）如图，当半径分别是5和r的两圆⊙O1和⊙O2外切时，它们的圆心距O1O2＝8，则⊙O2的半径r为（　　）

A．12 B．8 C．5 D．3
9．（3分）在下列所给出的4个图形中，对角线一定互相垂直的是（　　）
A．长方形 B．平行四边形
C．菱形 D．直角梯形
10．（3分）如图，正六边形的每一个内角都相等，则其中一个内角α的度数是（　　）

A．240° B．120° C．60° D．30°
11．（3分）小兰画了一个函数y＝x2+ax+b的图象如图，则关于x的方程x2+ax+b＝0的解是（　　）

A．无解 B．x＝1 C．x＝﹣4 D．x＝﹣1或x＝4
12．（3分）如图，每个灯泡能否通电发光的概率都是0.5，当合上开关时，至少有一个灯泡发光的概率是（　　）

A．0.25 B．0.5 C．0.75 D．0.95
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）3的相反数为　 　．
14．（3分）如图，身高为xcm的1号同学与身高为ycm的2号同学站在一起时，如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成x　 　y（用“＞”或“＜”填空）．

15．（3分）如图，等腰梯形ABCD的周长为16，BC＝4，CD＝3，则AB＝　 　．

16．（3分）方程﹣1＝0的解是x＝　 　．
17．（3分）将直线y＝x向上平移　 　个单位后得到直线y＝x+7．
18．（3分）如图，在△ABC中，分别以AC，BC为边作等边△ACD和等边△BCE．设△ACD、△BCE、△ABC的面积分别是S1、S2、S3，现有如下结论：
①S1：S2＝AC2：BC2；
②连接AE，BD，则△BCD≌△ECA；

③若AC⊥BC，则S1•S2＝S32．
其中结论正确的序号是　 　．

三、解答题（共8小题，满分66分）
19．（6分）计算：2×（﹣5）+3．
20．（6分）一位射击运动员在10次射击训练中，命中靶的环数如图．
请你根据图表，完成下列问题：
（1）补充完成下面成绩表单的填写：
射击序次
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
成绩/环

8
10
7
9
10
7
10
（2）求该运动员这10次射击训练的平均成绩．

21．（6分）小张把两个大小不同的苹果放到天平上称，当天平保持平衡时的砝码重量如图所示．问：这两个苹果的重量分别为多少g？

22．（8分）如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB＝6，AC＝5，∠A＝30°．
①求BD和AD的长；
②求tanC的值．

23．（8分）如图，函数y＝的图象过点A（1，2）．
（1）求该函数的解析式；
（2）过点A分别向x轴和y轴作垂线，垂足为B和C，求四边形ABOC的面积；
（3）求证：过此函数图象上任意一点分别向x轴和y轴作垂线，这两条垂线与两坐标轴所围成矩形的面积为定值．

24．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于E，交△ABC的外接圆⊙O于D．
（1）求证：△ABE∽△ADC；
（2）请连接BD，OB，OC，OD，且OD交BC于点F，若点F恰好是OD的中点．求证：四边形OBDC是菱形．

25．（10分）如图，正方形ABCD的边长为1，AB边上有一动点P，连接PD，线段PD绕点P顺时针旋转90°后，得到线段PE，且PE交BC于F，连接DF，过点E作EQ⊥AB的延长线于点Q．
（1）求线段PQ的长；
（2）问：点P在何处时，△PFD∽△BFP，并说明理由．

26．（12分）已知二次函数图象的顶点坐标为（0，1），且过点（﹣1，），直线y＝kx+2与y轴相交于点P，与二次函数图象交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）．
（1）求该二次函数的解析式．
（2）对（1）中的二次函数，当自变量x取值范围在﹣1＜x＜3时，请写出其函数值y的取值范围；（不必说明理由）
（3）求证：在此二次函数图象下方的y轴上，必存在定点G，使△ABG的内切圆的圆心落在y轴上，并求△GAB面积的最小值．
（注：在解题过程中，你也可以阅读后面的材料）
附：阅读材料
任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比．
即：设一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为x1，x2，
则：x1+x2＝﹣，x1•x2＝
能灵活运用这种关系，有时可以使解题更为简单．
例：不解方程，求方程x2﹣3x＝15两根的和与积．
解：原方程变为：x2﹣3x﹣15＝0
∵一元二次方程的根与系数有关系：x1+x2＝﹣，x1•x2＝
∴原方程两根之和＝﹣＝3，两根之积＝＝﹣15．

2014年广西柳州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看，左边是个正方形，右边是个矩形．
故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
2．【分析】要解答本题可根据正数大于0，0大于负数，可得答案．
【解答】解：﹣1＜0＜＜3．
故选：C．
【点评】本题考查了有理数比较大小，正数大于0，0大于负数是解题关键．
3．【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
【解答】解：π是无限不循环小数，
故选：B．
【点评】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，属于基础题．
4．【分析】根据两直线平行，同位角相等解答．
【解答】解：∵直线l∥OB，
∴∠1＝60°．
故选：D．
【点评】本题考查平行线的性质，熟记性质是解题的关键．
5．【分析】A、原式利用平方根定义化简，计算即可得到结果；
B、原式利用平方根定义化简，计算即可得到结果；
C、原式不能合并，错误；
D、原式利用同分母分式的加法法则计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、原式＝2﹣1＝1，故A错误；
B、原式＝5，故B正确；
C、原式不能合并，故C错误；
D、原式＝，故D错误．
故选：B．
【点评】此题考查了分式的加减法，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．【分析】根据轴对称的性质作出选择．
【解答】解：如图所示，直角坐标系中的五角星关于y轴对称的图形在第一象限．
故选：A．

【点评】本题考查了轴对称的性质．此题难度不大，采用了“数形结合”的数学思想．
7．【分析】根据众数的定义，就是出现次数最多的数，据此即可判断．

【解答】解：众数是14岁．
故选：C．
【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
8．【分析】根据两圆外切时，圆心距＝两圆半径的和求解．
【解答】解：根据两圆外切，圆心距等于两圆半径之和，得该圆的半径是8﹣5＝3．
故选：D．
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，注意：两圆外切，圆心距等于两圆半径之和．
9．【分析】根据菱形的对角线互相垂直即可判断．
【解答】解：菱形的对角线互相垂直，而长方形、平行四边形、直角梯形的对角线不一定互相垂直．
故选：C．
【点评】本题考查了长方形、平行四边形、菱形、直角梯形的性质．常见四边形中，菱形与正方形的对角线互相垂直．
10．【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，因为所给多边形的每个内角均相等，可设这个正六边形的每一个内角的度数为x，故又可表示成6x，列方程可求解．
【解答】解：设这个正六边形的每一个内角的度数为x，
则6x＝（6﹣2）•180°，
解得x＝120°．
故这个正六边形的每一个内角的度数为120°．
故选：B．
【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的内角的度数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
11．【分析】关于x的方程x2+ax+b＝0的解是抛物线y＝x2+ax+b与x轴交点的横坐标．
【解答】解：如图，∵函数y＝x2+ax+b的图象与x轴交点坐标分别是（﹣1，0），（4，0），
∴关于x的方程x2+ax+b＝0的解是x＝﹣1或x＝4．
故选：D．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
12．【分析】根据题意列出表格，得出所有等可能的情况数，找出至少有一个灯泡发光的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：列表如下：

灯泡1发光
灯泡1不发光
灯泡2发光
（发光发光）
（不发光，发光）
灯泡2不发光
（发光，不发光）
（不发光，不发光）
所有等可能的情况有4种，其中至少有一个灯泡发光的情况有3种，
则P＝＝0.75．
故选：C．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
13．【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
【解答】解：3的相反数为﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
14．【分析】由图知1号同学比2号同学矮，据此可解答．
【解答】解：如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成x＜y，
故答案为：＜．
【点评】本题主要考查了不等式的定义，仔细看图是解题的关键．
15．【分析】根据等腰梯形的性质可得出AD＝BC，再由BC＝4，CD＝3，得出AB的长．
【解答】解：∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴AD＝BC，
∵BC＝4，
∴AD＝4，
∵CD＝3，等腰梯形ABCD的周长为16，
∴AB＝16﹣3﹣4﹣4＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了等腰梯形的性质，是基础知识要熟练掌握．
16．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2﹣x＝0，
解得：x＝2，
经检验x＝2是分式方程的解．
故答案为：2．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
17．【分析】直接根据“上加下减”的原则进行解答．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将直线y＝x向上平移7个单位所得直线的解析式为：y＝x+7．
故答案为：7．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．
18．【分析】①根据相似三角形面积的比等于相似比的平方判断；
②根据SAS即可求得全等；
③根据面积公式即可判断．
【解答】①S1：S2＝AC2：BC2正确，
解：∵△ADC与△BCE是等边三角形，
∴△ADC∽△BCE，
∴S1：S2＝AC2：BC2．

②△BCD≌△ECA正确，
证明：∵△ADC与△BCE是等边三角形，
∴∠ACD＝∠BCE＝60°
∴∠ACD+∠ACB＝∠BCE+∠ACD，
即∠ACE＝∠DCB，
在△ACE与△DCB中，
，
∴△BCD≌△ECA（SAS）．

③若AC⊥BC，则S1•S2＝S32正确，
解：设等边三角形ADC的边长＝a，等边三角形BCE边长＝b，则△ADC的高＝a，△BCE的高＝b，
∴S1＝aa＝a2，S2＝bb＝b2，
∴S1•S2＝a2b2＝a2b2，
∵S3＝ab，
∴S32＝a2b2，
∴S1•S2＝S32．
【点评】本题考查了三角形全等的判定，等边三角形的性质，面积公式以及相似三角形面积的比等于相似比的平方，熟知各性质是解题的关键．
三、解答题（共8小题，满分66分）
19．【分析】根据异号两数相乘得负，并把绝对值相乘，可得积，再根据有理数的加法，可得答案．
【解答】解：原式＝﹣10+3
＝﹣7．
【点评】本题考查了有理数的乘法，先算有理数的乘法，再算有理数的加法，注意运算符号．
20．【分析】根据折线统计图中提供的信息，补全统计表；
（2）求出该运动员射击总环数除以10即可．
【解答】解：（1）由折线统计图得出第一次射击环数为：8，第二次射击环数为：9，第三次射击环数为：7，
故答案为：8，9，7．

（2）运动员这10次射击训练的平均成绩：（8+9+7+8+10+7+9+10+7+10）÷10＝8.5（环）．
【点评】本题主要考查了折线统计图及统计表和平均数，解题的关键是能从折线统计图中正确找出数据．
21．【分析】设大苹果的重量为x（g），小苹果的重量为y（g），根据图示可得：大苹果的重量＝小苹果+50g，大苹果+小苹果＝300g+50g，据此列方程组求解．
【解答】解：设大苹果的重量为x（g），小苹果的重量为y（g），
由题意得，，
解得：．
答：大苹果的重量为200g，小苹果的重量为150g．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是根据图形，找出等量关系，列方程组求解．
22．【分析】（1）由BD⊥AC得到∠ADB＝90°，在Rt△ADB中，根据含30度的直角三角形三边的关系先得到BD＝AB＝3，再得到AD＝BD＝3；
（2）先计算出CD＝2，然后在Rt△BCD中，利用正切的定义求解．
【解答】解：（1）∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ADB中，AB＝6，∠A＝30°，
∴BD＝AB＝3，
∴AD＝BD＝3；

（2）CD＝AC﹣AD＝5﹣3＝2，
在Rt△BCD中tan∠C＝＝＝．
【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．
23．【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式，即可求出k值；
（2）由于点A是反比例函数上一点，矩形ABOC的面积S＝|k|．
（3）设图象上任一点的坐标（x，y），根据矩形的面积公式，可得出结论．
【解答】解：（1）∵函数y＝的图象过点A（1，2），
∴将点A的坐标代入反比例函数解析式，
得2＝，解得：k＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝；

（2）∵点A是反比例函数上一点，
∴矩形ABOC的面积S＝AC•AB＝|xy|＝|k|＝2．

（3）设图象上任一点的坐标（x，y），
∴过这点分别向x轴和y轴作垂线，矩形面积为|xy|＝|k|＝2，
∴矩形的面积为定值．
【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式和反比例函数y＝中k的几何意义，注意掌握过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．
24．【分析】（1）根据圆周角定理求出∠B＝∠D，根据相似三角形的判定推出即可；
（2）根据垂径定理求出OD⊥BC，根据线段垂直平分线性质得出OB＝BD，OC＝CD，根据菱形的判定推出即可．
【解答】证明：（1）∵∠BAC的角平分线AD，
∴∠BAE＝∠CAD，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴△ABE∽△ADC；

（2）
∵∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∵OD为半径，
∴DO⊥BC（垂径定理），
∵F为OD的中点，
∴OB＝BD，OC＝CD，
∵OB＝OC，
∴OB＝BD＝CD＝OC，
∴四边形OBDC是菱形．

【点评】本题考查了相似三角形的判定，圆周角定理，垂径定理，菱形的判定，线段垂直平分线性质的应用，主要考查学生的推理能力．
25．【分析】（1）由题意得：PD＝PE，∠DPE＝90°，又由正方形ABCD的边长为1，易证得△ADP≌△QPE，然后由全等三角形的性质，求得线段PQ的长；
（2）易证得△DAP∽△PBF，又由△PFD∽△BFP，根据相似三角形的对应边成比例，可得证得PA＝PB，则可求得答案．
【解答】解：（1）根据题意得：PD＝PE，∠DPE＝90°，
∴∠APD+∠QPE＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，
∴∠ADP+∠APD＝90°，
∴∠ADP＝∠QPE，
∵EQ⊥AB，
∴∠A＝∠Q＝90°，
在△ADP和△QPE中，
，
∴△ADP≌△QPE（AAS），
∴PQ＝AD＝1；

（2）∵△PFD∽△BFP，
∴，
∵∠ADP＝∠EPB，∠CBP＝∠A，
∴△DAP∽△PBF，
∴，
∴＝，
∴PA＝PB，
∴PA＝AB＝
∴当PA＝，即点P是AB的中点时，△PFD∽△BFP．

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
26．【分析】（1）设二次函数解析式为y＝ax2+1，由于点（﹣1，）在二次函数图象上，把该点的坐标代入y＝ax2+1，即可求出a，从而求出二次函数的解析式．
（2）先分别求出x＝﹣1，x＝0，x＝3时y的值，然后结合图象就可得到y的取值范围．
（3）过点A作y轴的对称点A′，连接BA′并延长，交y轴于点G，连接AG，如图2，则点A′必在抛物线上，且∠AGP＝∠BGP，由此可得△ABG的内切圆的圆心落在y轴上．由于点A（x1，y1）、B（x2，y2）在直线y＝kx+2上，从而可以得到点A的坐标为（x1，kx1+2）、A′的坐标为（﹣x1，kx1+2）、B的坐标为（x2，kx2+2）．设直线BG的解析式为y＝mx+n，则点G的坐标为（0，n）．由于点A′（﹣x1，kx1+2）、B（x2，kx2+2）在直线BG上，可用含有k、x1、x2的代数式表示n．由于A、B是直线y＝kx+2与抛物线y＝x2+1的交点，由根与系数的关系可得：x1+x2＝4k，x1•x2＝﹣4．从而求出n＝0，即可证出：在此二次函数图象下方的y轴上，存在定点G（0，0），使△ABG的内切圆的圆心落在y轴上．由S△ABG＝S△APG+S△BPG，可以得到S△ABG＝x2﹣x1＝＝4，所以当k＝0时，S△ABG最小，最小值为4．
【解答】（1）解：由于二次函数图象的顶点坐标为（0，1），
因此二次函数的解析式可设为y＝ax2+1．
∵抛物线y＝ax2+1过点（﹣1，），
∴＝a+1．
解得：a＝．
∴二次函数的解析式为：y＝x2+1．

（2）解：当x＝﹣1时，y＝，
当x＝0时，y＝1，
当x＝3时，y＝×32+1＝，
结合图1可得：当﹣1＜x＜3时，y的取值范围是1≤y＜．

（3）①证明：当k≠0时，过点A作y轴的对称点A′，连接BA′并延长，交y轴于点G，连接AG，如图2，
则点A′必在抛物线上，且∠AGP＝∠BGP，
∴△ABG的内切圆的圆心落在y轴上．
∵点A的坐标为（x1，y1），
∴点A′的坐标为（﹣x1，y1）．
∵点A（x1，y1）、B（x2，y2）在直线y＝kx+2上，
∴y1＝kx1+2，y2＝kx2+2．
∴点A′的坐标为（﹣x1，kx1+2）、点B的坐标为（x2，kx2+2）．
设直线BG的解析式为y＝mx+n，则点G的坐标为（0，n）．
∵点A′（﹣x1，kx1+2）、B（x2，kx2+2）在直线BG上，
∴．
解得：．
∵A（x1，y1），B（x2，y2）是直线y＝kx+2与抛物线y＝x2+1的交点，
∴x1、x2是方程kx+2＝x2+1即x2﹣4kx﹣4＝0的两个实数根．
∴由根与系数的关系可得；x1+x2＝4k，x1•x2＝﹣4．
∴n＝＝﹣2+2＝0．
∴点G的坐标为（0，0）．
k＝0时，点G（0，0）也符合条件．
∴在此二次函数图象下方的y轴上，存在定点G（0，0），使△ABG的内切圆的圆心落在y轴上．
②解：过点A作AC⊥OP，垂足为C，过点B作BD⊥OP，垂足为D，如图2，
∵直线y＝kx+2与y轴相交于点P，
∴点P的坐标为（0，2）．
∴PG＝2．
∴S△ABG＝S△APG+S△BPG
＝PG•AC+PG•BD
＝PG•（AC+BD）
＝×2×（﹣x1+x2）
＝x2﹣x1
＝
＝
＝
＝4．
∴当k＝0时，S△ABG最小，最小值为4．
∴△GAB面积的最小值为4．

【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式、二次函数的图象、三角形的内切圆、根与系数的关系、完全平方公式等知识，综合性比较强，有一定的难度．
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