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2012年辽宁省丹东市中考数学试卷
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的．每小题3分，共24分）
1．（3分）﹣0.5的绝对值是（　　）
A．0.5 B．﹣0.5 C．﹣2 D．2
2．（3分）用科学记数法表示数5230000，结果正确的是（　　）
A．523×104 B．5.23×104 C．52.3×105 D．5.23×106
3．（3分）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（　　）

A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．三棱柱
4．（3分）不等式组的解集是（　　）
A．﹣3＜x＜4 B．3＜x≤4 C．﹣3＜x≤4 D．x＜4
5．（3分）如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（　　）

A．3cm B．4cm C．2.5cm D．2cm
6．（3分）下列事件为必然事件的是（　　）
A．任意买一张电影票，座位号是偶数
B．打开电视机，正在播放动画片
C．3个人分成两组，一定有2个人分在一组
D．三根长度为2cm，2cm，4cm的木棒能摆成三角形
7．（3分）如图，点A是双曲线y＝在第二象限分支上的任意一点，点B、点C、点D分别是点A关于x轴、坐标原点、y轴的对称点．若四边形ABCD的面积是8，则k的值为（　　）

A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2
8．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AB、BC上，且AE＝BF＝1，CE、DF交于点O．下列结论：①∠DOC＝90°，②OC＝OE，③tan∠OCD＝，④S△ODC＝S四边形BEOF中，正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）如图，直线a∥b，∠1＝60°，则∠2＝　 　°．

10．（3分）分解因式：x3﹣2x2+x＝　 　．
11．（3分）一组数据﹣1，﹣2，x，1，2的平均数为0，则这组数据的方差为　 　．
12．（3分）如图，一个圆锥形零件，高为8cm底面圆的直径为12cm，则此圆锥的侧面积是　 　．

13．（3分）美丽的丹东吸引了许多外商投资，某外商向丹东连续投资3年，2010年初投资2亿元，2012年初投资3亿元．设每年投资的平均增长率为x，则列出关于x的方程为　 　．
14．（3分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，且AB⊥AE．若AB＝5，AE＝6，则梯形上下底之和为　 　．

15．（3分）将一些形状相同的小五角星如下图所示的规律摆放，据此规律，第10个图形有　 　个五角星．

16．（3分）如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P，BP＝4∠PBC＝60°，点Q为正方形边上一动点，且△PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有　 　个．

三、解答题（每小题8分，共16分）
17．（8分）先化简，再求值：，其中x＝﹣1．
18．（8分）已知：△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）
（1）画出△ABC向下平移4个单位得到的△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标；
（2）以点B为位似中心，在网格中画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似，且位似比为2：1，并直接写出C2点的坐标及△A2BC2的面积．

四、（每小题10分，共20分）
19．（10分）某小型企业实行工资与业绩挂钩制度，工人工资分为A、B、C、D四个档次．小明对该企业三月份工人工资进行调查，并根据收集到的数据，绘制了如下尚不完整的统计表与扇形统计图．
档次
工资（元）
频数（人）
频率
A
3000
20

B
2800

0.30
C
2200

D
2000
10

根据上面提供的信息，回答下列问题：
（1）求该企业共有多少人？
（2）请将统计表补充完整；
（3）扇形统计图中“C档次”的扇形所对的圆心角是　 　度．

20．（10分）某商场为了吸引顾客，设计了一种促销活动．在一个不透明的箱子里放有4个完全相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“30元”和“50元”的字样．规定：顾客在本商场同一日内，消费每满300元，就可以从箱子里先后摸出两个球（每次只摸出一个球，第一次摸出后不放回）．商场根据两个小球所标金额之和返还相应价格的购物券，可以重新在本商场消费．某顾客消费刚好满300元，则在本次消费中：
（1）该顾客至少可得　 　元购物券，至多可得　 　元购物券；
（2）请用画树状图或列表法，求出该顾客所获购物券的金额不低于50元的概率．
五、（每小题10分，共20分）
21．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，以AB为直径的⊙O经过点C．过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P．点D为圆上一点，且＝，弦AD的延长线交切线PC于点E，连接BC．
（1）判断OB和BP的数量关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，求AE的长．

22．（10分）暴雨过后，某地遭遇山体滑坡，武警总队派出一队武警战士前往抢险．半小时后，第二队前去支援，平均速度是第一队的1.5倍，结果两队同时到达．已知抢险队的出发地与灾区的距离为90千米，两队所行路线相同，问两队的平均速度分别是多少？
六、（每小题10分，共20分）
23．（10分）南中国海是中国固有领海，我渔政船经常在此海域执勤巡察．一天我渔政船停在小岛A北偏西37°方向的B处，观察A岛周边海域．据测算，渔政船距A岛的距离AB长为10海里．此时位于A岛正西方向C处的我渔船遭到某国军舰的袭扰，船长发现在其北偏东50°的方向上有我方渔政船，便发出紧急求救信号．渔政船接警后，立即沿BC航线以每小时30海里的速度前往救助，问渔政船大约需多少分钟能到达渔船所在的C处？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77）

24．（10分）甲、乙两工程队同时修筑水渠，且两队所修水渠总长度相等．如图是两队所修水渠长度y（米）与修筑时间x（时）的函数图象的一部分．请根据图中信息，解答下列问题：
（1）①直接写出甲队在0≤x≤5的时间段内，y与x之间的函数关系式　 　；
②直接写出乙队在2≤x≤5的时间段内，y与x之间的函数关系式　 　；
（2）求开修几小时后，乙队修筑的水渠长度开始超过甲队？
（3）如果甲队施工速度不变，乙队在修筑5小时后，施工速度因故减少到5米/时，结果两队同时完成任务，求乙队从开修到完工所修水渠的长度为多少米？

七、（本题12分）
25．（12分）已知：点C、A、D在同一条直线上，∠ABC＝∠ADE＝α，线段BD、CE交于点M．
（1）如图1，若AB＝AC，AD＝AE
①问线段BD与CE有怎样的数量关系？并说明理由；
②求∠BMC的大小（用α表示）；
（2）如图2，若AB＝BC＝kAC，AD＝ED＝kAE，则线段BD与CE的数量关系为　 　，∠BMC＝　 　（用α表示）；
（3）在（2）的条件下，把△ABC绕点A逆时针旋转180°，在备用图中作出旋转后的图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），连接EC并延长交BD于点M．则∠BMC＝　 　（用α表示）．

八、（本题14分）
26．（14分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，点A的坐标是（﹣1，0），O是坐标原点，且|OC|＝3|OA|
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）直接写出直线BC的函数表达式；
（3）如图1，D为y轴的负半轴上的一点，且OD＝2，以OD为边作正方形ODEF．将正方形ODEF以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向移动，在运动过程中，设正方形ODEF与△OBC重叠部分的面积为s，运动的时间为t秒（0＜t≤2）．
求：①s与t之间的函数关系式；
②在运动过程中，s是否存在最大值？如果存在，直接写出这个最大值；如果不存在，请说明理由．
（4）如图2，点P（1，k）在直线BC上，点M在x轴上，点N在抛物线上，是否存在以A、M、N、P为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由．

2012年辽宁省丹东市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的．每小题3分，共24分）
1．【分析】根据正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，即可判断．
【解答】解：|﹣0.5|＝0.5．
故选：A．
【点评】本题考查了绝对值的性质，是一个基础题．
2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：5230000＝5.23×106．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：俯视图为圆的有球，圆锥，圆柱等几何体，主视图和左视图为三角形的只有圆锥．
故选：B．
【点评】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
4．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：，
由①得，x＞﹣3；
由②得，x＜4，
故此不等式组的解集为：﹣3＜x＜4．
故选：A．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
5．【分析】先求出菱形的边长AB，再根据菱形的对角线互相平分判断出OE是△ABD的中位线，然后根据三角形的中位线等于第三边的一半解答．
【解答】解：∵菱形ABCD的周长为24cm，
∴边长AB＝24÷4＝6cm，
∵对角线AC、BD相交于O点，
∴BO＝DO，
又∵E是AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE＝AB＝×6＝3cm．
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的对角线互相平分的性质，三角形的中位线定理，是基础题，求出OE等于菱形边长的一半是解题的关键．
6．【分析】根据必然事件的定义：一定发生的事件就是必然事件，即可判断．
【解答】解：A、是随机事件，故选项错误；
B、是随机事件，故选项错误；
C、是一定发生的，是必然事件，故选项正确；
D、一定不会发生的，是不可能事件，故选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了必然事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
7．【分析】先判定出四边形ABCD是矩形，再根据反比例函数的系数的几何意义，用k表示出四边形ABCD的面积，然后求解即可．
【解答】解：∵点B、点C、点D分别是点A关于x轴、坐标原点、y轴的对称点，
∴四边形ABCD是矩形，
∵四边形ABCD的面积是8，
∴4×|﹣k|＝8，
解得|k|＝2，
又∵双曲线位于第二、四象限，
∴k＜0，
∴k＝﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数系数的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|，利用k表示出四边形的面积是解题的关键．
8．【分析】由正方形ABCD的边长为4，AE＝BF＝1，利用SAS易证得△EBC≌△FCD，然后全等三角形的对应角相等，易证得①∠DOC＝90°正确②由线段垂直平分线的性质与正方形的性质，可得②错误；易证得∠OCD＝∠DFC，即可求得③正确；由①易证得④正确．
【解答】解：∵正方形ABCD的边长为4，
∴BC＝CD＝4，∠B＝∠DCF＝90°，
∵AE＝BF＝1，
∴BE＝CF＝4﹣1＝3，
在△EBC和△FCD中，
∵，
∴△EBC≌△FCD（SAS），
∴∠CFD＝∠BEC，
∴∠BCE+∠BEC＝∠BCE+∠CFD＝90°，
∴∠DOC＝90°；
故①正确；
若OC＝OE，
∵DF⊥EC，
∴CD＝DE，
∵CD＝AD＜DE（矛盾），
故②错误；
∵∠OCD+∠CDF＝90°，∠CDF+∠DFC＝90°，
∴∠OCD＝∠DFC，
∴tan∠OCD＝tan∠DFC＝＝，
故③正确；
∵△EBC≌△FCD，
∴S△EBC＝S△FCD，
∴S△EBC﹣S△FOC＝S△FCD﹣S△FOC，
即S△ODC＝S四边形BEOF．
故④正确．
故选：C．

【点评】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由邻补角的性质即可得出∠2的度数．
【解答】解：∵直线a∥b，∠1＝60°，
∴∠3＝∠1＝60°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝﹣180°﹣60°＝120°．
故答案为：120．

【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
10．【分析】首先提取公因式x，进而利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：x3﹣2x2+x＝x（x2﹣2x+1）＝x（x﹣1）2．
故答案为：x（x﹣1）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键．
11．【分析】先根据平均数的定义确定出x的值，再根据方差公式进行计算即可求出答案．
【解答】解：由平均数的公式得：（﹣1﹣2+1+2+x）÷5＝0，
解得x＝0；
∴方差＝[（﹣1﹣0）2+（﹣2﹣0）2+（0﹣0）2+（1﹣0）2+（2﹣0）2]÷5＝2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了平均数和方差的定义．平均数是所有数据的和除以数据的个数．方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数．
12．【分析】利用圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2即可求得圆锥的侧面积．
【解答】解：底面直径为12cm，则底面周长＝12πcm，由勾股定理得，母线长＝10cm，侧面面积＝×12π×10＝60πcm2．
故答案为：60πcm2
【点评】本题利用了勾股定理，圆的周长公式和扇形面积公式求解．
13．【分析】由于某外商向丹东连续投资3年，2010年初投资2亿元，2012年初投资3亿元．设每年投资的平均增长率为x，那么2011年初投资2（1+x），2012年初投资2（1+x）2，由2012年初投资的金额不变即可列出方程．
【解答】解：由题意，有
2（1+x）2＝3．
故答案为2（1+x）2＝3．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为a（1+x）n＝b，其中n为共增长了几年，a为第一年的原始数据，x是增长率，b是增长了n年后的数据．
14．【分析】由在梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，易证得△ADE≌△FCE，即可得EF＝AE＝6，CF＝AD又由AB⊥AE，AB＝5，AE＝6，由勾股定理即可求得BF的长，继而可求得梯形上下底之和．
【解答】解：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠F＝∠DAE，∠ECF＝∠D，
∵E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在△ADE和△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴CF＝AD，EF＝AE＝6，
∴AF＝AE+EF＝12，
∵AB⊥AE，
∴∠BAF＝90°，
∵AB＝5，
∴BF＝＝13，
∴AD+BC＝BC+CF＝BF＝13．
故答案为：13．
【点评】此题考查了梯形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
15．【分析】分析数据可得：第1个图形中小五角星的个数为3；第2个图形中小五角星的个数为8；第3个图形中小五角星的个数为15；第4个图形中小五角星的个数为24；则知第n个图形中小五角星的个数为n（n+1）+n．故第10个图形中小五角星的个数为10×11+10＝120个．
【解答】解：第1个图形中小五角星的个数为3；
第2个图形中小五角星的个数为8；
第3个图形中小五角星的个数为15；
第4个图形中小五角星的个数为24；
则知第n个图形中小五角星的个数为n（n+1）+n．
故第10个图形中小五角星的个数为10×11+10＝120个．
故答案为120．
【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，并从已知的特殊个体推理得出一般规律．即可解决此类问题．
16．【分析】分别以BP为腰B为顶点、以BP为腰P为顶点和以BP为底作三角形即可得到满足条件的Q的个数．
【解答】解：如右图所示，分以下情形：
（1）以BP为腰，P为顶点时：
以P为圆心，BP长为半径作圆，分别与正方形的边交于Q1，Q2，Q3．此时⊙P与CD边相切；
（2）以BP为腰，B为顶点时：
以B为圆心，BP长为半径作圆，与正方形的边交于Q4和Q1；
（3）以BP为底时：
作BP的垂直平分线交正方形的边于Q5和Q1．
综上所述，共有5个点，
故答案为5．

【点评】本题综合考查了等腰三角形、等边三角形、圆的切线、正方形等重要知识点，解决本题的关键是分三种情况讨论，只有这样才能不重不漏．注意△PBQ1是等边三角形，因此在上述三种情形中，均有一个点重合于BC边上的点Q1．
三、解答题（每小题8分，共16分）
17．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝•x
＝x2+x，
当x＝﹣1时，
原式＝（﹣1）2+（﹣1）
＝2+1﹣2+﹣1
＝2﹣．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
18．【分析】（1）根据网格结构，找出点A、B、C向下平移4个单位的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点C1的坐标；
（2）延长BA到A2，使AA2＝AB，延长BC到C2，使CC2＝BC，然后连接A2C2即可，再根据平面直角坐标系写出C2点的坐标，利用△A2BC2所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，C1（2，﹣2）；

（2）如图，△A2BC2即为所求，C2（1，0），
△A2BC2的面积：
6×4﹣×2×6﹣×2×4﹣×2×4
＝24﹣6﹣4﹣4
＝24﹣14
＝10．

【点评】本题考查了利用位似变换作图，利用平移变换作图，以及网格内三角形的面积的求解，根据网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键，网格内的三角形的面积通常利用三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，一定要熟练掌握并灵活运用．
四、（每小题10分，共20分）
19．【分析】（1）根据档次是A的工人，在扇形统计图中对应的扇形的圆心角是72°，则A所占的比例是：，而档次是A的有20人，据此即可求得总人数；
（2）A的频率是：＝0.20，利用B的频率0.30乘以总人数即可求得B的频数，同理求得D的频率，然后根据各档次的频率的和是1，即可求得C的频率，进而求得频数；
（3）利用C的频率乘以360°，即可求解．
【解答】解：（1）20÷＝100（人）
∴该企业共有100人；

（2）填表如下：
档次
工资（元）
频数（人）
频率
A
3000
20
0.20
B
2800
30
0.30
C
2200
40
0.40
D
2000
10
0.10
（3）360×0.4＝144°．
【点评】本题考查了频数分布表以及扇形统计图，正确理解扇形的圆心角的计算方法，以及频率的公式：频率＝，是关键．
20．【分析】（1）根据题意即可求得该顾客至少可得的购物券，至多可得的购物券的金额；
（2）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与该顾客所获购物券的金额不低于50元的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）根据题意得：该顾客至少可得购物券：0+10＝10（元），至多可得购物券：30+50＝80（元）．
故答案为：10，80． …2′

（2）列表得：

0
10
30
50
0
﹣
（0，10）
（0，30）
（0，50）
10
（10，0）
﹣
（10，30）
（10，50）
30
（30，0）
（30，10）
﹣
（30，50）
50
（50，0）
（50，10）
（50，30）
﹣
∵两次摸球可能出现的结果共有12种，每种结果出现的可能性相同，而所获购物券的金额不低于50元的结果共有6种． …8′
∴该顾客所获购物券的金额不低于50元的概率是：．…10′
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意此题是不放回实验．
五、（每小题10分，共20分）
21．【分析】（1）首先连接OC，由PC切⊙O于点C，可得∠OCP＝90°，又由∠BAC＝30°，即可求得∠COP＝60°，∠P＝30°，然后根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，证得OB＝BP；
（2）由（1）可得OB＝OP，即可求得AP的长，又由＝，即可得∠CAD＝∠BAC＝30°，继而求得∠E＝90°，继而在Rt△AEP中求得答案．
【解答】解：（1）OB＝BP．
理由：连接OC，
∵PC切⊙O于点C，
∴∠OCP＝90°，
∵OA＝OC，∠OAC＝30°，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∴∠COP＝60°，
∴∠P＝30°，
在Rt△OCP中，OC＝OP＝OB＝BP；

（2）由（1）得OB＝OP，
∵⊙O的半径是2，
∴AP＝3OB＝3×2＝6
∵＝，
∴∠CAD＝∠BAC＝30°，
∴∠BAD＝60°，
∵∠P＝30°，
∴∠E＝90°，
在Rt△AEP中，AE＝AP＝×6＝3．

【点评】此题考查了切线的性质、直角三角形的性质以及圆周角定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．
22．【分析】设第一队的平均速度是x千米/时，则第二队的平均速度是1.5x千米/时．根据半小时后，第二队前去支援，结果两队同时到达，即第一队与第二队所用时间的差是小时，即可列方程求解．
【解答】解：设第一队的平均速度是x千米/时，
则第二队的平均速度是1.5x千米/时．
根据题意，得：
解这个方程，得
x＝60
经检验，x＝60是所列方程的根，
1.5x＝1.5×60＝90（千米/时）．
答：第一队的平均速度是60千米/时，第二队的平均速度是90千米/时．
【点评】本题考查了列方程解应用题，利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．
六、（每小题10分，共20分）
23．【分析】首先B点作BD⊥AC，垂足为D，根据题意，得：∠ABD＝∠BAM＝37°，∠CBD＝∠BCN＝50°，然后分别在Rt△ABD与Rt△CBD中，利用余弦函数求得BD与BC的长，继而求得答案．
【解答】解：过B点作BD⊥AC，垂足为D．
根据题意，得：∠ABD＝∠BAM＝37°，∠CBD＝∠BCN＝50°，
在Rt△ABD中，
∵cos∠ABD＝，
∴cos37°＝≈0.80，
∴BD≈10×0.8＝8（海里），
在Rt△CBD中，
∵cos∠CBD＝，
∴cos50°＝≈0.64，
∴BC≈8÷0.64＝12.5（海里），
∴12.5÷30＝（小时），
∴×60＝25（分钟）．
答：渔政船约25分钟到达渔船所在的C处．

【点评】此题考查了方向角问题．此题难度适中，解题的关键是利用方向角构造直角三角形，然后解直角三角形，注意数形结合思想的应用．
24．【分析】（1）甲的图象是过原点的直线，过（5，50），乙队在2≤x≤5的时间段内是一次函数，可以利用待定系数法求得函数的解析式；
（2）乙队修筑的水渠长度开始超过甲队，则20x﹣30＞10x，据此即可求得x的范围；
（3）乙队从开修到完工所修水渠的长度为m米，乙队在修筑5小时后，甲剩余m﹣50米，乙剩余（m﹣70）米，根据两队同时完成任务，即时间相等，即可列方程求解．
【解答】解：（1）①设函数的解析式是y＝kx，根据题意得：5k＝50，解得：k＝10，
则甲的函数解析式是：y＝10x．
②设函数的解析式是：y＝mx+b，
根据题意得：，
解得：．
则函数解析式是：y＝20x﹣30．

（2）根据题意得：20x﹣30＞10x，
20x﹣10x＞30，
解得：x＞3．
故开修3小时后，乙队修筑的水渠长度开始超过甲队．

（3）由图象得，甲队的速度是50÷5＝10（米/时）
设：乙队从开修到完工所修水渠的长度为m米．
根据题意得：＝，
解得：m＝90．
答：乙队从开修到完工所修水渠的长度为90米．

【点评】本题考查的是用一次函数解决实际问题，待定系数法求函数的解析式，以及列方程解应用题，此类题是近年中考中的热点问题．
七、（本题12分）
25．【分析】（1）①先根据等腰三角形等角对等边的性质及三角形内角和定理得出∠DAE＝∠BAC，则∠BAD＝∠CAE，再根据SAS证明△ABD≌△ACE，从而得出BD＝CE；
②先由全等三角形的对应角相等得出∠BDA＝∠CEA，再根据三角形的外角性质即可得出∠BMC＝∠DAE＝180°﹣2α；
（2）先根据等腰三角形等角对等边的性质及三角形内角和定理得出∠DAE＝∠BAC＝90°﹣α，则∠BAD＝∠CAE，再由AB＝kAC，AD＝kAE，得出AB：AC＝AD：AE＝k，则根据两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似证出△ABD∽△ACE，得出BD＝kCE，∠BDA＝∠CEA，然后根据三角形的外角性质即可得出∠BMC＝∠DAE＝90°﹣α；
（3）先在备用图中利用SSS作出旋转后的图形，再根据等腰三角形等角对等边的性质及三角形内角和定理得出∠DAE＝∠BAC＝90°﹣α，由AB＝kAC，AD＝kAE，得出AB：AC＝AD：AE＝k，从而证出△ABD∽△ACE，得出∠BDA＝∠CEA，然后根据三角形的外角性质即可得出∠BMC＝90°+α．
【解答】解：（1）如图1．
①BD＝CE，理由如下：
∵AD＝AE，∠ADE＝α，
∴∠AED＝∠ADE＝α，
∴∠DAE＝180°﹣2∠ADE＝180°﹣2α，
同理可得：∠BAC＝180°﹣2α，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE+∠BAE＝∠BAC+∠BAE，

即：∠BAD＝∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
∵，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
②∵△ABD≌△ACE，
∴∠BDA＝∠CEA，
∵∠BMC＝∠MCD+∠MDC，
∴∠BMC＝∠MCD+∠CEA＝∠DAE＝180°﹣2α；

（2）如图2．
∵AD＝ED，∠ADE＝α，
∴∠DAE＝＝90°﹣α，
同理可得：∠BAC＝90°﹣α，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE+∠BAE＝∠BAC+∠BAE，
即：∠BAD＝∠CAE．
∵AB＝kAC，AD＝kAE，
∴AB：AC＝AD：AE＝k．
在△ABD与△ACE中，
∵AB：AC＝AD：AE＝k，∠BDA＝∠CEA，
∴△ABD∽△ACE，
∴BD：CE＝AB：AC＝AD：AE＝k，∠BDA＝∠CEA，
∴BD＝kCE；
∵∠BMC＝∠MCD+∠MDC，
∴∠BMC＝∠MCD+∠CEA＝∠DAE＝90°﹣α．
故答案为：BD＝kCE，90°﹣α；

（3）如右图．
∵AD＝ED，∠ADE＝α，
∴∠DAE＝∠AED＝＝90°﹣α，
同理可得：∠BAC＝90°﹣α，
∴∠DAE＝∠BAC，即∠BAD＝∠CAE．
∵AB＝kAC，AD＝kAE，
∴AB：AC＝AD：AE＝k．
在△ABD与△ACE中，
∵AB：AC＝AD：AE＝k，∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△ACE，
∴∠BDA＝∠CEA，
∵∠BMC＝∠MCD+∠MDC，∠MCD＝∠CED+∠ADE＝∠CED+α，
∴∠BMC＝∠CED+α+∠CEA＝∠AED+α＝90°﹣α+α＝90°+α．
故答案为：90°+α．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，相似三角形的判定与性质，作图﹣旋转变换，综合性较强，有一定难度．由于全等是相似的特殊情况，所以做第二问可以借助第一问的思路及方法，做第三问又可以遵照第二问的做法，本题三问由浅入深，层层递进，做好第一问是关键．
八、（本题14分）
26．【分析】（1）首先由OC、OA的数量关系确定点C的坐标，即可利用待定系数法求出抛物线的解析式．
（2）由（1）的抛物线解析式可得点B的坐标，而点C的坐标已经求得，由待定系数法求解即可．
（3）①首先要明确正方形ODEF和△OBC重合部分的形状：当点D在△OBC内部时，两者的重合部分是矩形；当点D在△OBC外部时，两者的重合部分是五边形，其面积可由正方形的面积减去△DGH的面积（G、H分别为ED、OD和线段BC的交点）．在判断t的取值范围时，要注意一个“关键点”：点D位于线段BC上时．
②根据①的函数性质即可得到答案，要注意未知数的取值范围．
（4）若存在以A、M、N、P为顶点的平行四边形，那么应分：AMPN或ANPM两种情况，由于AM在x轴上，结合平行四边形的特点可知：无论哪种情况，点N到x轴的距离都等于点P到x轴的距离，根据这个特点可确定点M、N的坐标．
【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），|OC|＝3|OA|
∴C（0，﹣3）
∵抛物线经过A（﹣1，0），
C（0，﹣3）
∴
∴
∴y＝x2﹣2x﹣3．

（2）由（1）的抛物线知：点B（3，0）；
设直线BC的解析式为：y＝kx﹣3，代入B点坐标，得：
3k﹣3＝0，解得 k＝1
∴直线BC的函数表达式为y＝x﹣3．

（3）当正方形ODEF的顶点D运动到直线BC上时，设D点的坐标为（m，﹣2），
根据题意得：﹣2＝m﹣3，∴m＝1．
①当0＜t≤1时，正方形和△OBC的重合部分是矩形；
∵OO1＝t，OD＝2
∴S1＝2t；
当1＜t≤2时，正方形和△OBC的重合部分是五边形，如右图；
∵OB＝OC＝3，∴△OBC、△D1GH都是等腰直角三角形，∴D1G＝D1H＝t﹣1；
S2＝S矩形DD1O1O﹣S△D1HG＝2t﹣×（t﹣1）2＝﹣t2+3t﹣．
②由①知：
当0＜t≤1时，S＝2t的最大值为2；
当1＜t≤2时，S＝﹣t2+3t﹣＝﹣（t﹣3）2+4，由于未知数的取值范围在对称轴左侧，且抛物线的开口向下；
∴当t＝2时，函数有最大值，且值为 S＝﹣+4＝＞2．
综上，当t＝2秒时，S有最大值，最大值为 ．

（4）由（2）知：点P（1，﹣2）．假设存在符合条件的点M；
①当AMPN时，点N、P的纵坐标相同，即点N的纵坐标为﹣2，代入抛物线的解析式中有：
x2﹣2x﹣3＝﹣2，解得 x＝1±；
∴AM＝NP＝，
∴M1（﹣﹣1，0）、M2（﹣1，0）．
②当ANPM时，平行四边形的对角线PN、AM互相平分；
设M（m，0），则 N（m﹣2，2），代入抛物线的解析式中，有：
（m﹣2）2﹣2（m﹣2）﹣3＝2，解得 m＝3±；
∴M3（3﹣，0）、M4（3+，0）．
综上，存在符合条件的M点，且坐标为：
M1（﹣﹣1，0）、M2（﹣1，0）、M3（3﹣，0）、M4（3+，0）．

【点评】该题是难度较大的二次函数综合题，包涵了：函数解析式的确定、图形面积的解法、平行四边形的性质等重要知识．（3）题是图形的动点问题，要把握住“关键点”，本着“不重不漏”的原则分段讨论．（4）题虽然难度不大，但涉及的情况较多，要结合图形分类讨论，争取做到不漏解．
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