圆锥曲线高考大题汇编.doc

1.（辽宁） （本小题满分12分）
圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线过点P且离心率为.
（1）求的方程；
（2）椭圆过点P且与有相同的焦点，直线过的右焦点且与交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆心过点P，求的方程.
2.（福建）（本小题满分13分）
已知双曲线的两条渐近线分别为.
（1）求双曲线的离心率；
（2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一， 四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由。
3.（天津）本小题满分13分）
设椭圆（）的左、右焦点为，右顶点为，上顶点为.已知.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设为椭圆上异于其顶点的一点，以线段为直径的圆经过点，经过原点的直线与该圆相切. 求直线的斜率.
4.（江苏）(本小题满分14分)
F1
F2
O
x
y
B
C
A
(第17题)
如图,在平面直角坐标系中,分别是椭圆的左、右焦点，顶点的坐标为，连结并延长交椭圆于点A，过点A作轴的垂线交椭圆于另一点C，连结.
(1)若点C的坐标为,且,求椭圆的方程；
(2)若求椭圆离心率e的值.
5（陕西）（本小题满分13分）
如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，的公共点为，其中的离心率为.
（1） 求的值；
（2） 过点的直线与分别交于（均异于点），若，求直线的方程.
6.（新课标二20.）（本小题满分12分）
设,分别是椭圆的左右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N.
（Ⅰ）若直线MN的斜率为，求C的离心率；
（Ⅱ）若直线MN在y轴上的截距为2，且，求a,b.
7.（北京19）（本小题14分）
已知椭圆，
（1） 求椭圆的离心率.
（2） 设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，求直线与圆的位置关系，并证明你的结论.
8.（重庆21）如题（21）图，设椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，，，的面积为.
（1） 求该椭圆的标准方程；
（2） 是否存在圆心在轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径..
9.（广东20）（14分）已知椭圆的一个焦点为，离心率为，
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若动点为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.
10.（湖北）（满分14分）在平面直角坐标系中，点M到点的距离比它到轴的距离多1，记点M的轨迹为C.
(1) 求轨迹为C的方程
(2) 设斜率为k的直线过定点，求直线与轨迹C恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k的相应取值范围。
参考答案
1.解：（Ⅰ）设切点坐标为，则切线斜率为，切线方程为，即，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为.由知当且仅当时有最大值，即S有最小值，因此点P得坐标为 ，
由题意知
解得，故方程为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知的焦点坐标为，由此的方程为，其中.
由在上，得，
解得b12=3，因此C2方程为
显然，l不是直线y=0.设l的方程为x=my+，点
由 得，又是方程的根，因此 ，由得
因由题意知，所以 ，将①，②，③，④代入⑤式整理得，解得或，因此直线l的方程为，或.
2.解法一：(1)因为双曲线E的渐近线分别为和.
所以,
从而双曲线E的离心率.
(2)由(1)知,双曲线E的方程为.
设直线与x轴相交于点C.
当轴时,若直线与双曲线E有且只有一个公共点,
则,
又因为的面积为8,
所以.
此时双曲线E的方程为.
若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为.
以下证明:当直线不与x轴垂直时，双曲线E：也满足条件.
设直线的方程为,依题意,得k>2或k<-2.
则，记.
由,得,同理得.由得, 即.
由得, .因为,
所以,
又因为.所以,即与双曲线E有且只有一个公共点.
因此,存在总与有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为.
3.解：（Ⅰ）解：设椭圆的右焦点的坐标为.由，可得，又，则.所以，椭圆的离心率.
，所以，解得，.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，.故椭圆方程为.
设.由，，有，.
由已知，有，即.又，故有
又因为点在椭圆上，故
由①和②可得.而点不是椭圆的顶点，故，代入①得，即点的坐标为.
设圆的圆心为，则，，进而圆的半径.
设直线的斜率为，依题意，直线的方程为.
由与圆相切，可得，即，
整理得，解得.
所以，直线的斜率为或.
4
5.【解析】（1）
（2）
6.解：（1）
（2）
8.解：（Ⅰ）设，其中，
由得
从而故.
从而，由得，因此.
所以，故
因此，所求椭圆的标准方程为：
（Ⅱ）如答（21）图，设圆心在轴上的圆与椭圆相交，是两个交点，，,是圆的切线，且由圆和椭圆的对称性，易知
由（Ⅰ）知，所以，再由得，由椭圆方程得，即，解得或.
当时，重合，此时题设要求的圆不存在.
当时，过分别与,垂直的直线的交点即为圆心.
由,是圆的切线，且，知，又故圆的半径
10.解：（I）设点，依题意，，即，
整理的，
所以点的轨迹的方程为.
（II）在点的轨迹中，记，，
依题意，设直线的方程为，
由方程组得 ①
当时，此时，把代入轨迹的方程得，
所以此时直线与轨迹恰有一个公共点.
当时，方程①的判别式为 ②
设直线与轴的交点为，则由，令，得③
（i）若，由②③解得或.
即当时，直线与没有公共点，与有一个公共点，
故此时直线与轨迹恰有一个公共点.
（ii）若或，由②③解得或，
即当时，直线与有一个共点，与有一个公共点.
当时 ，直线与有两个共点，与没有公共点.
故当时，故此时直线与轨迹恰有两个公共点.
（iii）若，由②③解得或，
即当时，直线与有两个共点，与有一个公共点.
故此时直线与轨迹恰有三个公共点.
综上所述，当时直线与轨迹恰有一个公共点；
当时，故此时直线与轨迹恰有两个公共点；
当时，故此时直线与轨迹恰有三个公共点.