浅谈函数的凹凸性与泛函分析中重要不等式的证明.doc

西北师范大学2008级数学与应用数学专业学年论文

学 年 论 文

题目：浅谈函数的凹凸性与泛函分析中重要不等式的证明

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8

浅谈函数的凹凸性与泛函分析中重要不等式的证明
摘要：本文从函数的凹凸性质出发，推证了几个在泛函分析中应用特别广泛的不等式.
关键词：凹凸性 泛函分析 不等式 证明
函数在数学的学习中占有重要的地位，其精髓在于利用函数的性质讨论和解决实际问题，函数的凹凸性就是函数的一种特殊性质，利用此性质我们可以证明一些较为复杂的不等式，同时可以降低证明的难度。在学习泛函分析过程中，我们遇到了几个特别复杂的不等式，而且应用特别广泛，本文试用凸函数方法推证之。
1. 凹凸函数的定义与性质
1.1 定义
设是在区间上有定义的连续的函数，如果对中的任意两点与和非负实数与，且 ，成立不等式
. （1）
则称函数区间上的凸函数；反之若有
. （2）
则称函数区间上的凹函数。
注：若将（1）式中的“”改为“<”,则称函数区间上的严格凸函数；
若将（2）式中的“”改为“>”,则称函数区间上的严格凹函数.
显然，若是凸（凹）的，则是凹（凸）的，这一说明可使我们在许多情下只讨论凸函数就够了.
1.2 几何图像上的直观反映

（图1.2a） （图1.2b）
图1.2a就是凸函数的几何形状；图1.2b是凹函数的几何形状.
1.3 性质
性质1 ：若为凸函数，则有：
. （3）
若为凹函数，则有：
. （4）
很显然，我们分别在（1），（2）式中令，就可得到上述性质。
性质2：若为凸函数，则如下不等式成立
（5）
此不等式被称为詹森不等式。
依照凸函数定义[参看（1）式]，显然（5）式是（1）的更一般情形，我们用数学归纳法即可证明，由于现行的数学分析教材中都有其（5）式的证明，在此省略证明。
1.4 凹凸函数的判定定理
引理：为区间上的凸函数的充要条件是：对于，若，总有
. （6）
此引理在书目[1]中有详细的证明，在此不予重复。
定理1：设是区间上的可导函数，为凸函数的充要条件是：对于 ，若，有
.
证明：必要性 假定是凸的，对于，设，由（6）式得：
. （7）
令趋向于或并且求极限，我们将分别得到

和
.
由此得
.
充分性 假定后面的条件被满足即是常增的，为了证明（7）式成立，我们对它两边应用有限增量公式，即
， .
其中，由于依照假定，则（7）式成立，有引理得是凸的.
定理2：设为区间上的二阶可导函数，则为凸（凹）函数的充要条件是
（），.

证明略。
特别指出：如果指的是狭义（严格）的凹凸性，那么把等号出去即可。

2. 利用函数凹凸性质证明泛函分析中的重要不等式

例1 ：证明不等式：

证明：令由于，则在区间上为凹函数，直线的方程为
.
取

则

如取
由（4）式得 .
即

又因为在定义域上为严格增函数，所以有
.
特别的，此不等式在泛函分析一些证明中经常用到，有时也会用它的积分形式：
.

例2： 不等式
设 ，若 则

证明：设由于，故在区间上是凸的；
令 .
由性质2得，詹森不等式成立：
. （8）
对于，令.
代入（8）式得
. （9）
把（9）式代入中可得
.
即：
.
将换成，换成 可得
.
令 得
. （10）
证毕.
注意：在（10）式中，令 得
.
这就是我们在数学分析中学的柯西不等式。
其实（10）式是不等式的离散形式，运用很广，好多复杂不等式就是通过它得到的；在泛函分析中我们通常用到它的积分（范数）形式来讨论和研究问题。不等式的积分形式为：
设，，，则有：
.

例3 设，证明下列不等式：
（1）当时，成立：.
（2）当 时， 成立：.
证明：设，由于

（1） 当时，，则有，有定理2知：在区间上是凹的.则当时，有不等式（4）得
.
即
.
可写做 .
（2） 当，对于，则有，有定理2知：在区间上是凸的.则当时，有不等式（3）得
.
即
.
证毕.
注：利用函数凹凸性证明的此不等式在泛函分析中也有一定的用处.
例4
设，当，成立不等式：
.
证明：由于
（11）
例2中的不等式可得：

（12）
（13）
把（12），（13）代入（11）式中得

.
证毕.
特别的，以上不等式为不等式的离散形式，后来将其推广到积分（范数）形式：设，，则成立不等式.总之不等式现已成为建立泛函分析中空间的基本理论工具，在泛函分析学习过程中随处可见，其意义深远，影响广泛，而且在许多领域成为最常用的不等式.

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析.第三版.高等教育出版社.
[2]菲赫金哥尔茨.微积分学教程.第一卷第8版.高等教育出版社.
[3]匡继昌.常用不等式.第三版.山东科学技术出版社.
[4]程其襄等.实变函数与泛函分析基础.第二版. 高等教育出版社.