数字图像边缘检测算法的研究和实现.doc

毕业论文 毕 业 设 计 题 目： 数字图像边缘检测算法的研究和实现 学院： 计算机与通信学院 数字图像边缘检测算法的研究和实现毕业设计（论文）任务书 题目： 数字图像边缘检测算法的研究和实现 一、基本任务及要求：（1）撰写开题报告。（2）研究方案：首先了解数字图像处理的主要技术及其应用；然后，熟悉和掌握数字图像边缘检测算法的基本原理和实现方法，并在此基础上掌握用MATLAB实现该算法。（3）主要任务：a学习和掌握数字图像边缘检测算法的基本原理和技术方案 b熟练掌握MATLAB软件在通信中的应用c使用MATLAB软件对数字图像边缘检测算法进行防真与分析二、进度安排及完成时间：第1周 老师集中指导，分析并明确课题任务与要求，学习资料收集检索方法，并搜索收集所需中英文资料。第23周 阅读资料、书籍，学习所需知识，撰写文献综述。第45周 毕业实习、完成毕业实习报告撰写。第6 周 建立毕业设计实验环境；初步拟订设计方案；完成开题报告。第7 周 完成总体设计。第813周 具体设计、调试、修改、实现。第1415周 撰写毕业论文（说明书），完成毕业答辩资格审查、毕业答辩准备。第16周 完成毕业答辩资格审查、毕业答辩准备。第17周 毕业答辩。目 录前 言3第1章 绪论51.1 数字图像的相关定义51.2 数字图像边缘检测的相关分析71.2.1“边缘点”定义71.2.2 边缘检测“两难”问题81.2.3 边缘分类及性能分析81.3 数字图像中的滤波111.3.1 中值滤波111.3.2 维纳滤波121.4 数字图像边缘检测的主要应用131.5 数字图像边缘检测的发展前景13第2章 边缘检测的经典方法152.1 基于一阶微分的边缘检测算法152.1.1 Roberts算子152.1.2 Prewitt算子162.1.3 Kirsch算子172.1.4 Sobel算子182.2 基于二阶微分的边缘检测算法192.2.1 Laplacian算子192.2.2 LoG算子212.2.3 Canny算子23第3章 一种改进的Sobel边缘检测算法253.1 MATLAB概述253.2 边缘检测中的形态学操作263.3 一种Sobel 改进算法283.4 边缘检测算法的仿真293.5 边缘检测算法的分析45第4章 总结和展望48参考文献50致谢52数字图像边缘检测算法的研究和实现摘 要：数字图像边缘检测技术是图像分割、目标识别、区域形态提取等图像分析领域中十分重要的基础。本文首先讲述了数字图像处理的相关概念及边缘检测研究的背景、意义、应用等。然后对各种经典边缘检测算法进行了分析与实现，研究了各算子的特点。最后针对Sobel算子对噪声抑制力不足的缺点提出了一种Sobel改进算法，结合图像滤波和形态学处理，并通过仿真实验比较了改进算法与传统算法各自的优缺点及适用性，进而完成了数字图像边缘检测算法的分析实现。关键词：数字图像处理；边缘检测；Sobel改进算子；滤波；形态学Research and implementation of the digital image edge detection algorithmAbstract：Digital image edge detection is image segmentation, target recognition, regional shape extraction is very important in the field of image analysis.This paper tells the story of the related concepts of digital image processing and edge detection research background, significance, application and so on.Then analyses all kinds of classical edge detection algorithm and implementation, study the characteristics of each operator.Finally based on Sobel operator for noise suppression of disadvantages put forward an improved algorithm of Sobel, combining with the image filter and morphological processing, and through the simulation experiment compares the merits and demerits of the improved algorithm and traditional algorithm and applicability, and then complete the analysis of the implementation of digital image edge detection algorithm.Keywords：Digital image processing;Edge detection;Mprove Sobel operator; Filtering; Morphology.前 言图像是人类获取和交换信息的主要来源。因此，图像处理的应用领域必然涉及到人类生活和工作的方方面面。近几年来，图像处理和识别技术得到了迅速的发一展。边缘是图像的重要特征之一，早在1959年Julez5就曾提及边缘检测技术，Roberts则于1965年开始了最早期的系统研究，从此有关边缘检测的理论方法不断涌现并推陈出新。边缘检测作为图像分割、目标区域识别等图像分析领域的重要基础而受到人们的广泛关注，自从边缘检测的提出年到现在，在五十多年的发展中，国内外的众多专家学者都致力于边缘检测的研究，并相继提出了成百上千种不同类型的边缘检测算法。最开始都是使用一些经验性的方法，如利用梯度等微分算子或特征模板对图像进行卷积运算，然而由于这些方法普遍存在一些明显的缺陷，导致其检测结果并不尽如人意。20世纪80年代，Marr和Canny相继提出了一些更为系统的理论和方法，逐渐使人们认识到边缘检测的重要研究意义。但由于以下原因:(1)图像自身的复杂性；(2)边缘与噪声难以区分；(3)阴影纹理等干扰因素同样表现出边缘的性质；(4)不同的研究者对边缘的定义也不尽相同等等。使得边缘检测直到现在仍然难以很好的得到解决。另外，由于边缘本身就是一个很模糊的定义，理想化的边缘模型与实际情形相差甚远，因此也很难找到具有普遍适应性的检测方法。虽然现在边缘检测技术已经得到了长足的发展，出现了很多活跃的新兴方法，如基于形态学、统计学、神经网络、模糊理论、遗传算法及特征分形的边缘检测方法等等，但是20世纪70年代到80年代提出的基于梯度的方法仍然还保持着一定的竞争力。总的说来，在众多科研工作者的努力下，取得了很好的效果。尽管如此，边缘检测的研究一直是图像技术研究中热点和焦点，而且人们对其的关注和投入不断提高。因此，本课题首先了解数字图像处理的主要技术及其应用；然后，熟悉和掌握数字图像边缘检测算法的基本原理和实现方法，并在此基础上掌握用MATLAB实现该算法。本课题的详细工作如下：(1)本文对图像边缘检测做了一个概要的说明，并说明了进行图像边缘检测的重要意义。(2)系统的介绍了比较经典的基于一阶微分的图像边缘检测算子及其具体的实现原理，为介绍基于二阶微分的图像边缘检测算子做铺垫，以便于大家的理解。(3)系统介绍了比较经典的基于二阶微分的图像边缘检测算子及其具体的实现原理。(4)介绍了一种基于Sobel算子的改进型算法，此方法的最大优点是：在去噪的同时有效地保留了图像的真实边缘，即给出了边缘检测的最佳结果。(5)对上述的算法用Matlab为工具进行仿真，并对其仿真结果进行分析，分析各种算法的特点。因此，针对本课题的研究内容，主要解决了Sobel算子抗造能力差，方向模板少使得对边缘的干扰大，检测不精确的问题，并取得了优异的效果。第1章 绪论1.1 数字图像的相关定义 一幅照片、一张海报、一幅画都是图像。 然而“图像”一词主要来自西方艺术史译著5，通常指image、icon、picture和它们的衍生词，也指人对视觉感知的物质再现。图像可以由光学设备获取，如照相机、镜子、望远镜、显微镜等；也可以人为创作，如手工绘画。图像可以记录与保存在纸质媒介、胶片等对光信号敏感的介质上。随着数字采集技术和信号处理理论的发展，越来越多的图像以数字形式存储。因而，有些情况下，“图像”一词实际上是指数字图像5。数字图像（或称数码图像）是指以数字方式存储的图像。将图像在空间上离散，量化存储每一个离散位置的信息，这样就可以得到最简单的数字图像。这种数字图像一般数据量很大，需要采用图像压缩技术以便能更有效地存储在数字介质上。数字图像的载体是计算机的硬盘、光盘、U盘等数字存储器1。每个图像的像素通常对应于二维空间中一个特定的“位置”，并且有一个或者多个与那个点相关的采样值组成数值2。根据这些采样数目及特性的不同数字图像可以划分为：(1) 二值图像 (Binary Image)： 图像中每个像素的亮度值(Intensity)仅可以取自0到1的图像，如图1-1所示：图1-1 二值图像(2) 灰度图像 (Gray Scale Image)，也称为灰阶图像：图像中每个像素可以由0(黑)到255(白)的亮度值表示。0-255之间表示不同的灰度级。如图1-2所示： 图1-2 灰度图像(3) 彩色图像 (Color Image)：每幅彩色图像是由三幅不同颜色的灰度图像组合而成，一个为红色，一个为绿色，另一个为蓝色，如图1-3所示：图1-3 彩色图像(4) 伪彩色图像(false-color) ：图像的每个像素值实际上是一个索引值或代码，该代码值作为色彩查找表CLUT(Color Look-Up Table)中某一项的入口地址，根据该地址可查找出包含实际R、G、B的强度值。(5) 立体图像 (Stereo Image)：立体图像是一物体由不同角度拍摄的一对图像，通常情况下我们可以用立体像计算出图像的深度信息，如图1-4所示：图1-4 立体图像(6) 三维图像 (3D Image)：三维图像是由一组堆栈的二维图像组成。每一幅图像表示该物体的一个横截面。 1.2 数字图像边缘检测的相关分析1.2.1“边缘点”定义平滑后图像的边缘检测通常通过求导数来实现。这里，以一维信号为例，来讨论边缘点的定义。设为经高斯函数平滑后的信号，将在处做Taylor级数展开4：(1-1)其中，与分别是信号在x=a处的一阶导数和二阶导数，当时，信号在x=a处存在极值点，当在x=a处改变符号时，则x=a为信号的拐点。对于一维信号： 当=0，边缘点定义为局部极小值点； 当=0，边缘点定义为局部极大值点；当，边缘点定义为拐点。图1-5 边缘与导数（微分）的关系1.2.2 边缘检测“两难”问题边缘是灰度不连续的结果，是图像中灰度的急剧变化。边缘检测的定义有很多种，其中最常用的一种定义为6：边缘检测是根据引起图像灰度变化的物理过程来描述图像中灰度变化的过程。引起图像灰度不连续的物理过程可能是几何方面的，也可能是光学方面的，比如表面反射，非目标物体产生的阴影以及内部倒影等5。这些景物特性混在一起会使随后的解释变得非常困难。而且，在实际场合中，图像数据往往被噪声污染。因此边缘检测方法要求既能检测到边缘的精确位置，又可以抑制无关细节和噪声。由于边缘检测是定位灰度级的变化，因此通常使用微分法来定位边缘。信号的数值微分是一个“病态”问题6。输入信号的一个很小的变化就会引起输出信号大的变化。令为输入信号，假设由于噪声的影响，使发生了一个很小的变动： (1-2)其中，对式 (1-2)两边求导数，则： (1-3) 由式(1-3)可以看到，若w足够大，即噪声为高频噪声时，会严重影响信号的微分输出，进而影响边缘检测的结果，为了使微分正规化，则需要先对图像进行平滑。 然而，图像平滑会引起信息丢失，并且会使图像平面的结构发生移位。另外，若使用的微分算子不同，则同一幅图像会产生不同的边缘，因此噪声消除与边缘定位是两个相互矛盾的部分，这就是边缘检测中的“两难”问题。在实际应用中，应根据具体的要求对这两个方面进行最佳折中。图像的平滑通过图像与一个滤波器卷积来实现，滤波器可以取为立方样条函数，格林函数，高斯函数等，平滑的结果由正规化参数来确定7。在滤波器理论中，正规化参数又称为“尺度”。以高斯函数为例： (1-4) 其中为滤波尺度。不同尺度下的高斯函数，尺度决定了噪声消除与边缘定位的折衷程度。1.2.3 边缘分类及性能分析图像中的边缘通常分为：阶跃边缘、斜坡边缘、三角型屋脊边缘、方波型屋脊边缘、楼梯边缘、双阶跃边缘和双屋脊边缘等几种类型1。下面分别对这几种边缘模型进行分析。(1)阶跃边缘 模型为：，其中 c0为边缘幅度，为阶跃函数。若存在噪声，可以选用大尺度的模板平滑图像，不会影响边缘的定位。(2)斜坡边缘理想的斜坡边缘模型为： (1-5)其中S为边缘幅度，d为边缘宽度。一阶导数的最大值点和二阶导数的过零点都对应着实际边缘的位置。当时，平滑边缘的一阶导数没有极值点而二阶导数的过零点有一定的宽度。因此在这种情况下，不能检测到边缘的位置；当时，则可准确定位一阶导数的极值点和二阶导数的过零点。由此可得出结论：斜坡边缘的检测不仅跟尺度有关，还与边缘本身的宽度有关，若边缘宽度比较小，则在小的平滑尺度下也能检测到边缘。无论是检测极值点还是过零点，边缘的定位都没有随着尺度的变化而变化。因此，对于斜坡边缘若存在噪声，可以选用大尺度的模板平滑图像。而不会影响到边缘定位。(3)三角型屋脊边缘模型为： (1-6)其中S为边缘幅度，d为边缘宽度。当尺度增大或缩小时，无论是检测极值点还是检测过零点，边缘的定位都没有随着尺度的变化而变化。由此可见，对于三角型屋脊边缘，若存在噪声，可以选用大尺度的平滑模板，而不会影响边缘的定位。(4)方波型屋脊边缘方波型屋脊边缘的模型为： (1-7)其中S为边缘幅度，d为边缘宽度。此时一阶导数的过零点和二阶导数的极小值点都对应着实际边缘的位置。可以看到方波型屋脊边缘出现了与斜坡边缘相同的情况：对于一阶导数，当边缘宽度d=2，尺度时，过零点出现了一定的宽度；当边缘宽度，尺度时，则可以检测到一阶导数的过零点。对于二阶导数，当边缘宽度d=2，尺度时存在两个极小值点；尺度时极小值点变为一个，但有一定的宽度。当边缘宽度d=1，时，二阶导数存在两个极小值点；当边缘宽度d=0.5，尺度时，二阶导数有一个极小值点，能准确定位边缘的位置。由此可得出结论：对于方波型屋脊边缘检测，不仅与平滑尺度有关，还与边缘宽度有关。当边缘宽度很小时，即趋向于脉冲边缘时，在很小的平滑尺度，仍能检测到边缘点。当尺度增大时，边缘的位置不随尺度的变化而变化，因此对于方波形屋脊边缘，若存在噪声，可以选用大尺度的平滑模板，而不会影响边缘的定位。 (5)楼梯边缘楼梯边缘模型为： (1-8)其中c1、c2、l均为常数。这种检测的特点是平滑后的楼梯边缘不能准确定位，必须对检测到的边缘位置进行移位校正。(6)双阶跃边缘双阶跃边缘与方波型屋脊边缘相同，不同之处为：双阶跃边缘的边缘点为x=-d/2与 x=d/2，而方波型屋脊边缘的边缘点为 x=0。双阶跃边缘的两个边缘点通过检测一阶导数的两个极值点和二阶导数的两个过零点获得。因此对于双阶跃边缘大尺度下不能准确定位，必须对检测到的边缘位置进行移位校正。(7) 双屋脊边缘模型为： (1-9)其中： (1-10)S为边缘幅度，l为屋脊边缘的宽度，d为两个屋脊边缘间距。实际应用中可根据具体要求进行建模，选取合适的平滑尺度，尽可能解决“两难”问题。如果已知目标物体的边缘类型，则可以根据该边缘类型一阶倒数和二阶倒数的特性以及与平滑尺度的关系只检测出目标物体所属的边缘类型，滤掉其他的边缘类型。1.3 数字图像中的滤波数字图像滤波，即在尽量保留数字图像细节特征的条件下对目标数字图像的噪声进行抑制10，是数字图像预处理中不可缺少的操作，其处理效果的好坏将直接影响到后续数字图像处理和分析的有效性和可靠性。由于成像系统、传输介质和记录设备等的不完善，数字图像在其形成、传输记录过程中往往会受到多种噪声的污染。另外，在数字图像处理的某些环节当输入的对象并不如预想时也会在结果图像中引入噪声。这些噪声在数字图像上常表现为一引起较强视觉效果的孤立象素点或象素块。一般，噪声信号与要研究的对象不相关它以无用的信息形式出现，扰乱数字图像的可观测信息9。对于数字图像信号，噪声表为或大或小的极值，这些极值通过加减作用于数字图像象素的真实灰度值上，在图像造成亮、暗点干扰，极大降低了图像质量，影响图像复原、分割、特征提取、图识别等后继工作的进行11。要构造一种有效抑制噪声的滤波器必须考虑两个基本问题：能有效地去除目标和背景中的噪声；同时，能很好地保护数字图像目标的形状、大小及特定的几何和拓扑结构特征10。1.3.1 中值滤波中值滤波由Turky10在1971年提出，最初用于时间序列分析，后来被用于图像处理，并在去噪复原中取得了较好的效果。中值滤波法是一种非线性平滑技术，它将每一像素点的灰度值设置为该点某邻域窗口内的所有像素点灰度值的中值12。它是基于排序统计理论的一种能有效抑制噪声的非线性信号处理技术，中值滤波的基本原理是把数字图像或数字序列中一点的值用该点的一个邻域中各点值的中值代替，让周围的像素值接近的真实值，从而消除孤立的噪声点。方法是用某种结构的二维滑动模板，将板内像素按照像素值的大小进行排序，生成单调上升（或下降）的为二维数据序列。二维中值滤波输出为： g(x,y)=medf(x-k,y-l),(k,lW) (1-11)其中，f(x,y)，g(x,y)分别为原始图像和处理后图像。W为二维模板，通常为33，55区域，也可以是不同的的形状，如线状，圆形，十字形，圆环形等。在实际应用中，随着所选用窗口长度的增加，滤波的计算量将会迅速增加。因此，寻求中值滤波的快速算法，是中值滤波理论的一个重要研究内容。中值滤波的快速算法，一般采用下述三种方式：直方图数据修正法；样本值二进制表示逻辑判断法；数字和模拟的选择网络法12。中值滤波法对消除椒盐噪声非常有效，在光学测量条纹图象的相位分析处理方法中有特殊作用，但在条纹中心分析方法中作用不大。中值滤波在图像处理中，常用于保护边缘信息，是经典的平滑噪声的方法。1.3.2 维纳滤波维纳滤波理论是由数学家N维纳(Norbert Wiener ，18941964)13于第二次世界大战期间提出的。这一科研成果是这一时期重大科学发现之一，他提出了线性滤波的理论和线性预测的理论，对通信工程理论和应用的发展起了重要的作用。维纳滤波就是为纪念他的重要贡献而命名的。维纳滤波一种基于最小均方误差准则、对平稳过程的最优估计器。这种滤波器的输出与期望输出之间的均方误差为最小，因此，它是一个最佳滤波系统。它可用于提取被平稳噪声所污染的信号。维纳滤波的基本原理是：设观察信号y(t)含有彼此统计独立的期望信号x(t)和白噪声(t)可用维纳滤波从观察信号y(t)中恢复期望信号x(t)。设线性滤波器的冲击响应为h(t)，此时其输入y(t)为 y(t)=x(t)+(t) (1-12)输出为 (1-13)从而，可以得到输出对x(t)期望信号的误差为 (1-14)其均方误差为 (1-15)E 表示数学期望。维纳滤波器的优点很明显，噪声滤除效果好，滤波器的使用范围很广，只要噪声的输入过程是平稳随机的，无论是离散的还是连续的均可使用维纳滤波。但是其缺点也很明显：要求输入图像信号和干扰噪声信号是平稳随机且频谱特性是已知的。然而实际应用中受噪声干扰的图像的特性往往不可知，难以满足维纳滤波器的前提，因此维纳滤波器并不能达到其最佳滤波的目的并受到很大的局限。由于维纳滤波的自身缺陷，就促使人们研究自适应滤波器，可以在不知道输入特性的前提下对图像进行滤波去噪，其中之一就是自适应维纳滤波器。自适应维纳滤波器通过调整局部方差来实时的调整滤波器参数，以便自适应的计算信号随时间而变化的统计特性，从而调整滤波器的输出。局部方差越大，滤波器的去噪作用越强。自适应维纳滤波的噪声滤除效果好，适应范围广，较一般线性滤波器而言有更好的选择性，且对保存图像高频边缘细节很有效，但计算量较大14。1.4 数字图像边缘检测的主要应用图像是人类获取信息与交换信息的主要来源。因此，图像处理的应用领域涉及到人类生活和工作的每一处。数字图像边缘检测(Digital Image Processing)又称为计算机图像边缘检测9 ，也就是将图像信号转换成数字信号并利用计算机对其进行处理的过程。数字图像边缘检测最早出现于20世纪50年代，那时候人们已经开始利用计算机来处理图形和提取图像信息。数字图像处理技术的主要应用领域有8：(1) 遥感航天中的应用：可应用于对月球、火星照片的处理等多光谱卫星图像分析，地形、地图、国土普查；军事侦察、定位、引导指挥；森林资源探查、分类、防火；水力资源的勘察；气象、天气预报图的合成分析预测；交通管理、铁路选线等。(2) 生物医学工程方面的应用，数字图像边缘检测在生物医学工程方面的应用十分广泛，成效显著。主要应用于以下方面：显微图像处理，DNA显示分析，癌细胞识别，CT、MRI、r射线照相机和质子CT，生物进化的图像分析，X光照片增强、冻结及伪彩色增强，专家系统，心脏活动分析判断，红、白血细胞分析计数，内脏大小及形状检查等。显然这一技术已涉及到医学的各个领域，对生物医学的发展应用有着极其重大的意义10。(3) 公安军事领域的应用：在公安业务方面数字图像边缘检测技术对图片的判读分析，指纹识别，人脸鉴别，不完整图片的复原，以及交通监控、事故分析，手迹、印章的鉴定识别等有重要应用价值。在军事应用上可应用于雷达地形侦察，遥控飞行器的引导，巡航导弹地形识别，反伪装侦察等。目前一些常见的图像边缘检测技术成功应用的例子有己投入运行的高速公路不停车自动收费系统中的车辆和车牌的自动识别等。可见这一技术与一个国家的军事力量国防力量的强大与否有重要的关系，更与社会生活中的管理息息相关。(4) 工业应用：CAD、CAM技术用于模具、零件制造，零件产品的无损检测，邮件自动分拣、包裹识别，交通管制、机场监控，密封元件内部质量检测，支票、签名、文件识别及辨伪，运动车的视觉反馈控制等。统应用等10。1.5 数字图像边缘检测的发展前景 计算机问世以来，数字图像边缘检测技术飞速发展，计算机技术也飞速发展，计算机在运算速度和存储能力两方面明显增加。千兆字节磁盘的诞生使复杂的难以实现的方法得以实现，并可付诸应用。 早期的边缘检测技术更多的应用于单个图像的检测分析应用，而今更多用于多模图像的检测分析。多谱成像能融合来自不同成像模式的信息，在医学中X线核磁共振成像的融合就是应用了多普成像。 图像生成技术发展至今已有成百上千中技术了。在图像处理技术中图像边缘检测技术很大程度上与图像形成的过程无关。当图像被采集且已对获取过程中产生的失真进行了校正那么一切可用图像边缘检测技术本质上都是通用的。经过漫长的的发展后，现代社会的许多领域的发展，包括工业、航空、国防军事、交通、生物医学，都离不开图像边缘检测技术。 随着计算机技术、思维科学研究、人工智能的迅速发展，数字图像边缘检测已向更高、更深层次发展研究。从边缘检测技术的发展的历史与现状看，可以预见它的发展趋势将有9： (1)对已有的方法的改进和完善； (2)其它领域学科理论的引入、新理论方法的提出以及多种方法的有效结合； (3)对特殊图像的检测，为高新科技的研究发展提供强有力的辅助支持； (4)对检测效果的评价研究，指明边缘检测技术的发展方向；(5)在工程实践中的应用，解决实际的问题。 第2章 边缘检测的经典方法2.1 基于一阶微分的边缘检测算法2.1.1 Roberts算子由Roberts12提出的算子是一种利用局部差分算子寻找边缘的算子，它在22邻域上计算对角导数：(2-1)又称为Roberts交叉算子。在实际应用中，为简化运算，用梯度函数的Roberts绝对值来近似：(2-2)用卷积模板，上式变为：(2-3)其中和由图3-2的模板计算：图2-1 Roberts边缘检测算子差分值将在内插点处计算。RobertS算子是该点连续梯度的近似值，而不是所预期点处的近似值。由上面两个卷积算子对图像运算后，代入(2-3)式，可求得图像的梯度幅度值，然后选取适当的门限TH，作如下判断:，为阶跃状边缘点为一个二值图像，也就是图像的边缘。Roberts算子具有边缘定位准和对噪声敏感、抗噪力差的优缺点，所以Roberts算子适合用于具有陡峭的低噪声图像。2.1.2 Prewitt算子 Prewitt算子13与Sobel算子的方程完全一样，只是常量c=1。所以其卷积模板如图3.5所示：图2-2 Prewitt边缘检测算子由于常量c的不同，这一算子与Sobel算子不同的地方在于没有把重点放在接近模板中心的像素点。当用两个掩模板(卷积算子)组成边缘检测器时，通常取较大的幅度作为输出值，这使得它们对边缘的走向有些敏感。取它们的平方和的开方可以获得性能更一致的全方位的响应，这与真实的梯度值更接近。另一种方法是，可以将Prewitt算子扩展成八个方向，即边缘样板算子。这些算子样板由理想的边缘子图构成。依次用边缘样板去检测图像，与被检测区域最为相似的样板给出最大值。用这个最大值作为算子的输出值，这样可将边缘像素检测出来。我们定义Prewitt边缘检测算子模板如下：图2-3 Prewitt边缘检测算子模版八个边缘样板算子对应的边缘方向如下图所示：图2-4 Prewitt算子对应的边缘方向2.1.3 Kirsch算子1971年，R.Kirsch12提出了一种能检测边缘方向的Kirsch算子新方法：它使用了8个模板来确定梯度幅度值和梯度的方向。Kirsch算子是用一组模板对图像中同一像素求卷积，选取其中最大的值作为边缘强度，而将与之对应的方向作为边缘方向6。常用的八方向Kirsch模板各方向间的夹角为45度，模板如图2-5所示：图2-5 Kirsch边缘检测算子的模板上述算子都是计算一阶导数的边缘检测器。其基本思想都是：如果所求的一阶导数高于某一阈值，则确定该点为边缘点。但是这样做会导致检测的边缘点太多。总的来说，造成这些算子不能准确判定边缘的存在及正确位置的原因在于：(1)实际的边缘灰度与理想的边缘灰度值间存在差异，这类算子可能检测出多个边缘；(2)边缘存在的尺度范围各不相同，这类算子固定的大小不利于检测出不同尺度上的所有边缘；(3)对噪声比较敏感为了解决这一问题，发展并产生了平滑滤波边缘检测方法，也就是边缘检测中理论最成熟的线性滤波方法，也称线性边缘检测算子。2.1.4 Sobel算子Sobe112提出一种将方向差分运算与局部平均相结合的方法，即Sobe1算子，该算子是以为中心的邻域上计算和方向的偏导数，即(2-4)实际上，上式应用了邻域图像强度的加权平均值。其梯度大小为：(2-5)或绝对值：(2-6)它的卷积算子为：图2-6 Sobe1边缘检测算子方向模板由上面两个卷积算子对图像运算后，代入(2-6)式。可求得图像的梯度值，然后适当选取门限TH，作如下判断：为阶跃边缘点，为一个二值图像，也就是图像的边缘图像。模板卷积计算就是下式求乘积和的过程：(2-7)式中，i=1,2分别代表垂直和水平模板。为模板卷积法边缘检测的输出,L为窗口宽度，对33窗口，l=1。将两个卷积结果的最大值，赋给图像中对应模板中心位置的像素，作为该像素的新灰度值，即：(2-8)Sobe1算子很容易在空间实现，Sobe1边缘检测器不但产生较好的边缘检测效果，同时，因为Sobe1算子引入了局部平均，使其受噪声的影响也比较小。当使用大的邻域时，抗噪声特性会更好，但这样做会增加计算量，并且得到的边缘也较粗。Sobe1算子利用像素上下、左右相邻点的灰度加权算法，根据在边缘点处达到极值这一现象进行边缘的检测。因此Sobe1算子对噪声具有平滑作用，提供较为精确的边缘方向信息，但是这是由于局部平均的影响，它同时也会检测出许多伪边缘，且边缘定位精度不够高。当对精度要求不是很高时，是一种较常用的边缘检测方法。Sobel 算子对灰度渐变和噪声较多的图像处理得较好。2.2 基于二阶微分的边缘检测算法2.2.1 Laplacian算子拉普拉斯算子12是二阶导数的二维等效式。函数f(x,y)的拉普拉斯算子公式为： (2-9)使用差分方程对x和y方向上的二阶偏导数近似如下： (2-10)这一近似式是以点fi,j+1为中心的，用j-1替换j得到： (2-11)它是以点i,j为中心的二阶偏导数的理想近似式，类似地， (2-12)把式(2-11)和式(2-12)合并为一个算子，就成为式(2-13)能用来近似拉普拉斯算子的模板： (2-13)有时候希望邻域中心点具有更大的权值，比如下面式(2-14)的模板就是一种基于这种思想的近似拉普拉斯算子： (2-14)当拉普拉斯算子输出出现过零点时就表明有边缘存在，其中忽略无意义的过零点(均匀零区)。原则上，过零点的位置精度可以通过线性内插方法精确到子像素分辨率，不过由于噪声，以及由噪声引起的边缘两端的不对称性，结果可能不会很精确。考虑图2-7所给的例子。图中表明了对一幅具有简单阶跃边缘的图像进行拉普拉斯运算的结果。输出图像中的一行是：00006-600 在本例中，对应于原始图像边缘的零交叉点位于两个中心像素点之间。因此，边缘可以用其左边的像素或右边的像素来标记，但整幅图像的标记必须一致。在多数情况下，零交叉点很少恰好在两像素点中间，因此边缘的实际位置要通过内插值来确定。图2-7 (a)为包含垂直阶跃边缘的图像 (b)为垂直方向的阶跃边缘拉普拉斯响应现在考虑一下图2-8所示的例子。该图给出了拉普拉斯算法对斜坡边缘的响应，其中的一行输出是：000030-3000 零交叉点直接对应着图像中的一个像素点。当然，这是一种理想情况，图像边缘的实际情况要比这个复杂的多。图2-8 (a)为包含垂直斜坡边缘的图像 (b)为垂直方向的斜坡边缘拉普拉斯响应拉普拉斯算子有两个缺点14：一是边缘方向信息的丢失，二是它是二阶差分，双倍加强了图像中噪声影响。所以，后来才有人提出了改进的LoG算法。2.2.2 LoG算子Marr和Hildreth将高斯滤波和LaPlace边缘检测结合在一起，形成LOG(LaPlacianofGaussian，LOG)算法15，也有人称之为拉普拉斯高斯算法。LOG算法理论是从生物视觉理论导出的方法。其基本思想是15：首先在一定范围内做平滑滤波，然后利用差分算子检测在相应尺度上的边缘。滤波器的选择取决于两个因素:一是要求滤波器在空间上平稳，空间位置误差公要小；二是要求平滑滤波器本身是带通滤波器，在其有限带通内是平稳的，即要求频域误差w要小。由信号处理中的测不准原理知，与 是矛盾的，达到测不准下限的滤波器是高斯滤波器。Marr和Hildreth提出的差分算子是各向同性的Laplace二阶差分算子。LOG边缘检测器的基本特征是： (1)平滑滤波器是高斯滤波器； (2)增强步骤采用二阶导数(二维Laplace函数)； (3)边缘检测判据是二阶导数零交叉点并对应一阶导数的较大峰值。这种方法的特点是图像首先与高斯滤波器进行卷积，这一步既平滑了图像又降低了噪声，孤立的噪声点和较小的结构组织将被滤除。由于平滑会导致边缘的延展，因此边缘检测器只考虑那些具有局部梯度最大值的点为边缘点，这一点可以用二阶导数的零交叉点来实现。Laplace函数用作二维二阶导数的近似，是因为它是一种无方向算子。为了避免检测出非显著边缘，应选择一阶导数大于某一闭值的零交叉点作为边缘点。LOG算子的输出是通过卷积运算得到的： (2-15)根据卷积求导法有： (2-16)其中： (2-17)称之为墨西哥草帽算子。由以上分析可知，下面两种方法在数学上是等价的；(1)求图像与高斯滤波器的卷积，再求卷积的拉普拉斯变换；(2)求高斯滤波器