随机变量及其分布公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件.pptx

第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 1 随机变量概念与离散型随机变量随机变量概念与离散型随机变量1.1 随机变量概念随机变量概念为为了了全全面面地地研研究究随随机机试试验验结结果果,揭揭示示客客观观存存在在着着统统计计规规律律性性,我我们们将将随随机机试试验验结结果果与与实实数数相相应应起起来来,将将随随机机试试验验结结果果数数量量化化,引引入入随随机机变变量量概念概念.第1页第1页第2页第2页 引入随机变量后,就能够用随机变量X描述事件.普通对于任意实数集合L,X L表示事件e|X(e)L.通常,我们用大写字母X、Y、Z等表示随机变量.第3页第3页第4页第4页第5页第5页1.2 离散型随机变量离散型随机变量 第6页第6页分布律还能够简朴地表示为：分布律含有下列性质分布律含有下列性质:第7页第7页第8页第8页例例:设一汽车在开往目的地道路上需通过四个信号灯,每个信号灯以1/2概率允许或严禁汽车通过.以X表示汽车初次停下时,它已通过信号灯数(设各信号灯工作是互相独立),求X分布律.解解 以p表示每个信号灯严禁汽车通过概率,易知X分布律为 或写成PX=k=(1-p)kp,k=0,1,2,3;PX=4=(1-p)4.以p=1/2代入得第9页第9页.(2)从而第10页第10页2 0-1分布和二项分布分布和二项分布2.1 0-1分布分布(两点分布两点分布)X01Pk1-pp第11页第11页X01Pk0.550.45第12页第12页X01Pk0.10.6+0.3第13页第13页 例例:在100件产品中,有95件正品,5件次品.现从中随机地取一件,假如取到每件产品机会都相等.若定义随机变量X为则有 PX=0=0.05,PX=1=0.95若定义随机变量Y为则有 PY=0=0.95,PY=1=0.05从中看到X,Y都服从(0-1)分布第14页第14页2.2 贝努里试验和二项分布贝努里试验和二项分布第15页第15页第16页第16页第17页第17页第18页第18页第19页第19页X概率分布表下列概率分布表下列:例例:在初三一个班中,有1/4学生成绩优秀.假如从班中随机地找出5名学生,那么其中“成绩优秀学生数”X服从二项分布XB(5,1/4).即 PX=k=C5k 0.25k(1-0.25)5-k k=0,1,5第20页第20页第21页第21页第22页第22页X012345678P0.00070.00790.04130.12390.23220.27870.20900.08960.0168第23页第23页2.3 0-1分布和二项分布关系分布和二项分布关系 X01Pi1-pp第24页第24页第25页第25页3 泊松分布泊松分布3.1 泊松分布泊松分布第26页第26页易知 第27页第27页第28页第28页解解(1)(2)(3)第29页第29页3.2 二项分布泊松迫近二项分布泊松迫近 泊松定理泊松定理:其中第30页第30页 例例:设某人每次射击命中率为0.02.独立射击400次,试求至少击中两次概率.解解:将每次射击当作一次试验.设击中次数为X,则XB(400,0.02).X分布律为PX=k=C400k0.02k0.98400-k,k=0,1,2,400于是所求概率为 PX2=1-PX=0-PX=1 =1-0.98400-4000.020.98399 直接计算上式很麻烦.第31页第31页第32页第32页第33页第33页 例例:设有80台同类型设备,各台工作是互相独立,发生故障概率都是0.01,且一台设备故障由一人处理.考虑两种配备维修工人办法:一是由4人维护,每人负责20台;二是由三人共同维护80台.试比较这两种办法在设备发生故障时不能及时维修概率大小.即有 PA1+A2+A3+A40.0175 解解 按第一个办法.以X记“第1人维护20台中同一时刻发生故障台数”,以事件Ai=第i人维护20台中发生故障不能及时维修(i=1,2,3,4),则知80台中发生故障不能及时维修概率为PA1+A2+A3+A4PA1=PX2 而XB(20,0.01),这时=np=0.2,故有第34页第34页 解解 按第二种办法.以Y记80台中在同一时刻发和故障台数.此时Y B(80,0.01),=np=0.8,故80台中发生故障不能及时维修概率为 因此第二种办法较第一个办法而言,不但节约了人力,并且设备发生故障时不能及时维修概率要小得多.例例:设有80台同类型设备,各台工作是互相独立,发生故障概率都是0.01,且一台设备故障由一人处理.考虑两种配备维修工人办法:一是由4人维护,每人负责20台;二是由三人共同维护80台.试比较这两种办法在设备发生故障时不能及时维修概率大小.第35页第35页4 随机变量分布函数随机变量分布函数 4.1 分布函数定义分布函数定义 第36页第36页第37页第37页例:设随机变量X分布律为求X分布函数,并求PX1/2,P3/2X 5/2,P2 X 3.解:由概率有限可加性得即 PX1/2=F(1/2)=1/4 P3/2X 5/2 =F(5/2)-F(3/2)=3/4-1/4=1/2 P2 X 3 =F(3)-F(2)+PX=2 =1-1/4+1/2=3/4第38页第38页-11230.250.51xF(x)F(x)示意图第39页第39页4.1.1 离散型随机变量分布函数计算离散型随机变量分布函数计算设离散型随机变量分布律为设离散型随机变量分布律为PX=PX=x xk k=p pk k,k k=1,2,=1,2,由概率可列可加性得由概率可列可加性得X X分布函数为分布函数为F(F(x x)=PX)=PXx x=PX=PXx xk k=p pk k 这里和式是对于所有满足这里和式是对于所有满足x xk kxkxk求和求和.第40页第40页4.2 分布函数性质分布函数性质 第41页第41页解解(1)第42页第42页(2)X-124Pk0.20.50.3第43页第43页5 连续型随机变量连续型随机变量第44页第44页总而言之假如令 则有 第45页第45页5.1 连续型随机变量定义连续型随机变量定义 由微积分学知识可知,连续型随机变量分布函数是一个连续函数.第46页第46页第47页第47页设X为连续型随机变量,则对任意实数ab即X落在区间概率为密度函数y=f(t)与直线t=a,t=b及t轴所围面积.第48页第48页因此,X取任意单点值a概率从而第49页第49页5.2 密度函数性质密度函数性质连续型随机变量密度函数有下列性质：连续型随机变量密度函数有下列性质：第50页第50页解解 f(x)图形如图 第51页第51页从而得第52页第52页解解 由密度函数性质(1),从而(2)第53页第53页第54页第54页解解 任一晶体管使用寿命超出150小时概率为(1)(2)第55页第55页 例例:试拟定常数a,使为某个随机变量X概率密度,且计算事件1.50.1.解解 由于即有解得K=3.于是X概率密度为第64页第64页解解（1）（2）第65页第65页（3）第66页第66页7 正态分布正态分布 正态分布是一个最常见随机变量,正态分布一些性质与特点使其在概率论与数理统计理论中有尤其主要地位.7.1 正态分布概念正态分布概念 第67页第67页第68页第68页第69页第69页第70页第70页7.2 普通正态分布概率计算普通正态分布概率计算 证证 令 于是 第71页第71页解解 第72页第72页解解 因此查表得从而第73页第73页解解 由 知 查表得从而在自然现象中,大量随机变量都服从或近似服从正态分布.在概率论和数理统计理论研究和实际应用中正态分布随机变量起着极其主要作用.第74页第74页例例:将一温度调整器放置在贮存着某种液体容器内,调整器整定在d,液体温度X(以计)是随机变量,且X N(d,0.52).(1)若d=90,求X小于89概率.(2)若要求保持液体温度至少为80 概率不低于0.99,问d至少为多少?解解 (1)所求概率为第75页第75页解(2)所求d 应满足即(80-d)/0.5 1-0.99=0.01故(80-d)/0.5-2.327，即d81.1635例例:将一温度调整器放置在贮存着某种液体容器内,调整器整定在d,液体温度X(以计)是随机变量,且XN(d,0.52).(1)若d=90,求X小于89概率.(2)若要求保持液体温度至少为80 概率不低于0.99,问d至少为多少?第76页第76页8 随机变量函数分布随机变量函数分布 假如已知随机变量X分布,另一随机变量Y=g(X)是X函数,如何求Y分布.8.1 离散型随机变量函数分布离散型随机变量函数分布第77页第77页例例:设随机变量X分布律下列表,试求Y=X-1)2分布律.解解 Y所有也许取值为0,1,4.由PY=0=P(X-1)2=0=PX=1=0.1PY=1=P(X-1)2=1=PX=0+X=2=PX=0+PX=2=0.7PY=4=P(X-1)2=4=PX=-1=0.2即得Y分布律为第78页第78页8.2连续型随机变量函数分布连续型随机变量函数分布在许多实际问题中，常需要考虑随机变量函数分布.如在一些试验中,所关怀随机变量往往不能直接测量得到,而是某个能直接测量随机变量函数.在本节中,我们将讨论如何由已知随机变量X分布去求它函数Y=f(X)分布.第79页第79页例例:设X服从参数为泊松分布,试求Y=f(X)分布列.其中解解 易知Y也许取值为-1,0,1,且有PY=0=PX=0=e-第80页第80页求随机变量Y=2X+8概率密度.解解 先求Y=2X+8分布函数FY(y).于是得Y=2X+8概率密度为例：例：设随机变量X含有概率密度第81页第81页例例:设随机变量X含有概率密度pX(x),-x0时有于是得Y概率密度为第82页第82页解解 先依据Y与X函数关系式求Y分布函数:第83页第83页即Y 从而第84页第84页解解 X取值范围为(0,1),从而Y取值范围为(1,3)当1y3时,Y分布函数为由于x0时，从而 因此当1y3时，第85页第85页