随机变量和其分布公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件.pptx

一、一、随机变量概念随机变量概念第一节 一维随机变量 及其分布(1)第二章三、内容小结三、内容小结二、二、分布函数概念分布函数概念第1页第1页 概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性,为了更方便有力研究随机现象,就要用数学分析方法来研究,因此为了便于数学上推导和计算,就需将任意随机事件数量化,当把一些非数量表示随机事件用数字来表示时,就建立起了随机变量概念.1.随机变量引入随机变量引入一、随机变量定义一、随机变量定义(1)为何引入随机变量为何引入随机变量?第2页第2页(2)随机变量引入随机变量引入实例实例1 在一装有红球、白球袋中任摸一个球在一装有红球、白球袋中任摸一个球,观测摸出球颜色观测摸出球颜色.非数量非数量可采用下列办法可采用下列办法 红色红色 白色白色将将 数量化数量化=红色、白色红色、白色 第3页第3页即有即有 X(红色红色)=1,X(白色白色)=0.这样便将非数量这样便将非数量 =红色、白色红色、白色 数量化了数量化了.第4页第4页实例实例2 抛掷骰子抛掷骰子,观测出现点数观测出现点数.=1、2、3、4、5、6样本点本身就是数量样本点本身就是数量恒等变换恒等变换且有且有则有则有第5页第5页2.随机变量随机变量定义定义定义定义2.1 设设 E是随机试验，其样本空间为是随机试验，其样本空间为=.若对于每一个样本点若对于每一个样本点 ，都有唯一实数值，都有唯一实数值 X()与之相应，则称定义在样本空间与之相应，则称定义在样本空间=上单值实上单值实函数函数X()为随机变量，简记为为随机变量，简记为 X.惯用惯用 X，Y，Z，表示随机变量；表示随机变量；用用x,y,z,表示表示X，Y，Z，取值取值.第6页第6页注注.1 X()定义域是样本空间定义域是样本空间，而，而 不一不一随机变量随机变量X()与高等数学中实函数有与高等数学中实函数有本质本质区别：区别：定是实数集定是实数集；2 X()取值是随机，它每一个可取值是随机，它每一个可3 随机变量是随机事件数量化随机变量是随机事件数量化.即即对于任意实数对于任意实数 x,X x 是随机事件是随机事件.能取值都有能取值都有一定概率一定概率；第7页第7页实例实例3 掷一个硬币掷一个硬币,观测出现面观测出现面,共有两个共有两个结果结果:若用若用 X 表示掷一个硬币出现正面次数表示掷一个硬币出现正面次数,则有则有即即 X(e)是一个随机变量是一个随机变量.第8页第8页实例实例4 设某射手每次射击打中目的概率是设某射手每次射击打中目的概率是0.8,现该射手不断向目的射击现该射手不断向目的射击,直到击中目的为止直到击中目的为止,则则是一个随机变量是一个随机变量.且且 X(e)所有也许取值为所有也许取值为:第9页第9页实例实例5 某公共汽车站每隔某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通分钟有一辆汽车通过过,假如某人到达该车站时刻是随机假如某人到达该车站时刻是随机,则则是一个随机变量是一个随机变量.且且 X(e)所有可所有可能取值为能取值为:第10页第10页3.随机变量分类随机变量分类离散型离散型(1)离散型离散型 随机变量所取也许值是有限多个或随机变量所取也许值是有限多个或无限多个无限多个(可列个可列个),叫做离散型随机变量叫做离散型随机变量.观测掷一个骰子出现点数观测掷一个骰子出现点数.随机变量随机变量 X 也许值是也许值是:随机变量随机变量连续型连续型实例实例11,2,3,4,5,6.非离散型非离散型其它其它第11页第11页实例实例2 若随机变量若随机变量 X 记为记为“连续射击连续射击,直至命直至命中时射击次数中时射击次数”,则则 X 也许值是也许值是:实例实例3 设某射手每次射击打中目的概率是设某射手每次射击打中目的概率是0.8,现该射手射了现该射手射了30次次,则随机变量则随机变量 X 记为记为“击中目的击中目的次数次数”,则则 X 所有也许取值为所有也许取值为:第12页第12页实例实例2 随机变量随机变量 X 为为“测量某零件尺寸时测误差测量某零件尺寸时测误差”.则则 X 取值范围为取值范围为 (a,b)内任一值内任一值.实例实例1 随机变量随机变量 X 为为“灯泡寿命灯泡寿命”.(2)连续型连续型 随机变量所取也许值能够连续地充随机变量所取也许值能够连续地充满某个区间满某个区间,叫做连续型随机变量叫做连续型随机变量.则则 X 取值范围为取值范围为第13页第13页二、分布函数概念二、分布函数概念 为了对离散型和连续型为了对离散型和连续型 随机变量随机变量以及更广以及更广泛类型随机变量给出一个统一描述办法，下面泛类型随机变量给出一个统一描述办法，下面引进了引进了分布函数分布函数概念概念.1.分布函数定义分布函数定义设设 X 是随机变量，是随机变量，x 是任意实数是任意实数，函数，函数 称为称为X 分布函数分布函数.定义定义2.2记作记作 X F(x)或或 FX(x).第14页第14页 1 假如将假如将X看作数轴上随机点坐标看作数轴上随机点坐标,则分布则分布函数函数F(x)值就表示值就表示X 落在区间落在区间(-,x概率概率.x注注.问：问：在上在上 式中，式中，X,x 皆为变量皆为变量.两者有什么区别两者有什么区别？x 起什么作用？起什么作用？F(x)是不是概率？是不是概率？X是随机变量是随机变量,x是参变量是参变量.F(x)是随机变量是随机变量 X 取值小于取值小于 x 概率概率.第15页第15页2 分布函数主要研究随机变量在某一区间内分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值概率情况取值概率情况.3 分布函数是一个普通函数，正是通过它，分布函数是一个普通函数，正是通过它，我们能够用数学分析工具来研究我们能够用数学分析工具来研究 随机变量随机变量.第16页第16页 抛掷均匀硬币抛掷均匀硬币,令令求随机变量求随机变量 X 分布函数分布函数.例例1 1解解第17页第17页第18页第18页2.分布函数性质分布函数性质(1)(2)第19页第19页证证(2)(3)因此因此单调不减单调不减.第20页第20页第21页第21页第22页第22页1 1.单调有界单调有界 准则准则2.夹逼准则夹逼准则第23页第23页即任一分布函数处处即任一分布函数处处右连续右连续.(证实略证实略)如：对如：对例例1,第24页第24页2事实上，事实上，一个函数若含有上述性质一个函数若含有上述性质(1)、(2)、(4)和和(5),则此函数一定是某个随机变则此函数一定是某个随机变量分布函数量分布函数.1 能够证实：能够证实：注注.第25页第25页主要公式主要公式:第26页第26页例例2求求已知随机变量已知随机变量 X 分布函数为分布函数为解解第27页第27页第28页第28页例例3解解(1)第29页第29页由分布函数右连续性，得由分布函数右连续性，得(2)第30页第30页 一个靶子是半径为一个靶子是半径为2米圆盘米圆盘,设击中靶上任设击中靶上任一同心圆盘上点概率与该圆盘面积成正比一同心圆盘上点概率与该圆盘面积成正比,并设射击都能中靶并设射击都能中靶,以以X表示弹着点与圆心距离表示弹着点与圆心距离.试求随机变量试求随机变量 X 分布函数分布函数.解解例例4第31页第31页于是于是故故 X 分布函数为分布函数为其图形为一连续曲线其图形为一连续曲线第32页第32页三、内容小结三、内容小结2.随机变量分类随机变量分类:离散型离散型,连续型连续型.1.概率论是从数量上来研究随机现象内在规概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性律性,所觉得了以便有力研究随机现象所觉得了以便有力研究随机现象,就需将任就需将任意随机事件数量化意随机事件数量化,把一些非数量表示随机事件用把一些非数量表示随机事件用数字表示时数字表示时,就建立起了随机变量概念就建立起了随机变量概念.因此因此随机随机变量是定义在样本空间上一个特殊函数变量是定义在样本空间上一个特殊函数.3.随机变量分布函数概念随机变量分布函数概念第33页第33页(1)(2)4.分布函数性质分布函数性质第34页第34页第35页第35页