2017年四川高考文科数学试卷(word版)和答案.doc

绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试(III卷)
文科数学
(适用地区：云南、广西、贵州、四川)
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}则A∩B中元素的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
2．复平面内表示复数z=i（﹣2+i）的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．

根据该折线图，下列结论错误的是
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
4．已知 ，则=
A．﹣ B．﹣ C． D．
5．设x，y满足约束条件则z=x﹣y的取值范围是
A．[﹣3，0] B．[﹣3，2] C．[0，2] D．[0，3]
6．函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）的最大值为
A． B．1 C． D．
7．函数y=1+x+的部分图象大致为

A. B.

C. D.

8．执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为

A．5 B．4 C．3 D．2
9．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为
A．π B． C． D．
10．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则
A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC
11．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为
A． B． C． D．
12．已知函数f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=
A．﹣ B． C． D．1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量=（﹣2，3），=（3，m），且，则m= ．
14．双曲线（a＞0）的一条渐近线方程为y=x，则a= ．
15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=60°，b=，c=3，则A= ．
16．设函数f（x）=，则满足f（x）+f（x﹣）＞1的x的取值范围是 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）设数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．

18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10，15）
[15，20）
[20，25）
[25，30）
[30，35）
[35，40）
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．

19．（12分）如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．
（1）证明：AC⊥BD；
（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．

20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：
（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．

21．（12分）已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修44：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为，（t为参数），直线l2的参数方程为，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．
（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，M为l3与C的交点，求M的极径．

23．[选修45：不等式选讲]（10分）
已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若不等式的解集非空，求m的取值范围．

绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试(III卷)
文科数学
(适用地区：云南、广西、贵州、四川)
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，则A∩B中元素的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，
∴A∩B={2，4}，
∴A∩B中元素的个数为2．
故选：B．
2．（5分）（2017•新课标Ⅲ）复平面内表示复数z=i（﹣2+i）的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：z=i（﹣2+i）=﹣2i﹣1对应的点（﹣1，﹣2）位于第三象限．
故选：C．
3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．

根据该折线图，下列结论错误的是
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
【解答】解：由已有中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据可得：
月接待游客量逐月有增有减，故A错误；
年接待游客量逐年增加，故B正确；
各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故C正确；
各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确；
故选：A
4．已知sinα﹣cosα=，则sin2α=
A．﹣ B．﹣ C． D．
【解答】解：∵sinα﹣cosα=，
∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=1﹣sin2α=，
∴sin2α=﹣，
故选：A．
5．设x，y满足约束条件则z=x﹣y的取值范围是
A．[﹣3，0] B．[﹣3，2] C．[0，2] D．[0，3]
【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图：
目标函数z=x﹣y，经过可行域的A，B时，目标函数取得最值，
由解得A（0，3），
由解得B（2，0），
目标函数的最大值为：2，最小值为：﹣3，
目标函数的取值范围：[﹣3，2]．
故选：B．

6．函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）的最大值为
A． B．1 C． D．
【解答】解：函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）=sin（x+）+cos（﹣x+）=sin（x+）+sin（x+）
=sin（x+）．
故选：A．
7．函数y=1+x+的部分图象大致为

A. B.

C. D.
【解答】解：函数y=1+x+，可知：f（x）=x+是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，
则函数y=1+x+的图象关于（0，1）对称，
当x→0+，f（x）＞0，排除A、C，点x=π时，y=1+π，排除B．
故选：D．
8．执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为

A．5 B．4 C．3 D．2
【解答】解：由题可知初始值t=1，M=100，S=0，
要使输出S的值小于91，应满足“t≤N”，
则进入循环体，从而S=100，M=﹣10，t=2，
要使输出S的值小于91，应接着满足“t≤N”，
则进入循环体，从而S=90，M=1，t=3，
要使输出S的值小于91，应接着满足“t≤N”，
则进入循环体，从而S=91，M=﹣0.1，t=4，
要使输出S的值小于91，应不满足“t≤N”，跳出循环体，
此时N的最小值为3，
故选：C．
9．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为
A．π B． C． D．
【解答】解：∵圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，
∴该圆柱底面圆周半径r==，
∴该圆柱的体积：V=Sh==．
故选：B．
10．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则
A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC
【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，
则A1（2，0，2），E（0，1，0），B（2，2，0），D（0，0，0），C1（0，2，2），A（2，0，0），C（0，2，0），
=（﹣2，1，﹣2），=（0，2，2），=（﹣2，﹣2，0），
=（﹣2，0，2），=（﹣2，2，0），
∵•=﹣2，=2，=0，=6，
∴A1E⊥BC1．
故选：C．

11．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为
A． B． C． D．
【解答】解：以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，
∴原点到直线的距离=a，化为：a2=3b2．
∴椭圆C的离心率e===．
故选：A．
12．已知函数f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=
A．﹣ B． C． D．1
【解答】解：因为f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）=﹣1+（x﹣1）2+a（ex﹣1+）=0，
所以函数f（x）有唯一零点等价于方程1﹣（x﹣1）2=a（ex﹣1+）有唯一解，
等价于函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（ex﹣1+）的图象只有一个交点．
①当a=0时，f（x）=x2﹣2x≥﹣1，此时有两个零点，矛盾；
②当a＜0时，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，
且y=a（ex﹣1+）在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，
所以函数y=1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（ex﹣1+）的图象的最高点为B（1，2a），
由于2a＜0＜1，此时函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（ex﹣1+）的图象有两个交点，矛盾；
③当a＞0时，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，
且y=a（ex﹣1+）在﹣∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增，
所以函数y=1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（ex﹣1+）的图象的最低点为B（1，2a），
由题可知点A与点B重合时满足条件，即2a=1，即a=，符合条件；
综上所述，a=，
故选：C．
二、填空题
13．已知向量=（﹣2，3），=（3，m），且，则m=2 ．
【解答】解：∵向量=（﹣2，3），=（3，m），且，
∴=﹣6+3m=0，
解得m=2．
故答案为：2．
14．（5分）（2017•新课标Ⅲ）双曲线（a＞0）的一条渐近线方程为y=x，则a=5 ．
【解答】解：双曲线（a＞0）的一条渐近线方程为y=x，
可得，解得a=5．
故答案为：5．
15．（5分）（2017•新课标Ⅲ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=60°，b=，c=3，则A=75°．
【解答】解：根据正弦定理可得=，C=60°，b=，c=3，
∴sinB==，
∵b＜c，
∴B=45°，
∴A=180°﹣B﹣C=180°﹣45°﹣60°=75°，
故答案为：75°．
16．（5分）（2017•新课标Ⅲ）设函数f（x）=，则满足f（x）+f（x﹣）＞1的x的取值范围是x＞﹣．
【解答】解：若x≤0，则x﹣≤﹣，
则f（x）+f（x﹣）＞1等价为x+1+x﹣+1＞1，即2x＞﹣，则x＞，
此时＜x≤0，
当x＞0时，f（x）=2x＞1，x﹣＞﹣，
当x﹣＞0即x＞时，满足f（x）+f（x﹣）＞1恒成立，
当0≥x﹣＞﹣，即≥x＞0时，f（x﹣）=x﹣+1=x+，
此时f（x）+f（x﹣）＞1恒成立，
综上x＞，
故答案为：x＞
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）设数列{an}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）an=2n．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{}的前n项和．
【解答】解：（1）数列{an}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）an=2n．
n≥2时，a1+3a2+…+（2n﹣3）an﹣1=2（n﹣1）．
∴（2n﹣1）an=2．∴an=．
当n=1时，a1=2，上式也成立．
∴an=．
（2）==﹣．
∴数列{}的前n项和=++…+=1﹣=．
18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10，15）
[15，20）
[20，25）
[25，30）
[30，35）
[35，40）
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
【解答】解：（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，
得到最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数为2+16+36=54，
根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．
如果最高气温不低于25，需求量为500瓶，
如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶，
如果最高气温低于20，需求量为200瓶，
∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率p==．
（2）当温度大于等于25°C时，需求量为500，
Y=450×2=900元，
当温度在[20，25）°C时，需求量为300，
Y=300×2﹣（450﹣300）×2=300元，
当温度低于20°C时，需求量为200，
Y=400﹣（450﹣200）×2=﹣100元，
当温度大于等于20时，Y＞0，
由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于20°C的天数有：
90﹣（2+16）=72，
∴估计Y大于零的概率P=．
19．（12分）如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．
（1）证明：AC⊥BD；
（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．

【解答】证明：（1）取AC中点O，连结DO、BO，
∵△ABC是正三角形，AD=CD，
∴DO⊥AC，BO⊥AC，
∵DO∩BO=O，∴AC⊥平面BDO，
∵BD⊂平面BDO，∴AC⊥BD．
解：（2）设AD=CD=，则AC=AB=BC=BD=2，AO=CO=DO=1，
∴BO==，∴BO2+DO2=BD2，∴BO⊥DO，
以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，
则C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0，，0），A（1，0，0），
设E（a，b，c），，（0≤λ≤1），则（a，b，c﹣1）=λ（0，，﹣1），解得E（0，，1﹣λ），
∴=（1，），=（﹣1，），
∵AE⊥EC，∴=﹣1+3λ2+（1﹣λ）2=0，
由λ∈[0，1]，解得，∴DE=BE，
∵四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h，
∵DE=BE，∴S△DCE=S△BCE，
∴四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1．

20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：
（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
【解答】解：（1）曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，
可设A（x1，0），B（x2，0），
由韦达定理可得x1x2=﹣2，
若AC⊥BC，则kAC•kBC=﹣1，
即有•=﹣1，
即为x1x2=﹣1这与x1x2=﹣2矛盾，
故不出现AC⊥BC的情况；
（2）证明：设过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0），
由题意可得y=0时，x2+Dx+F=0与x2+mx﹣2=0等价，
可得D=m，F=﹣2，
圆的方程即为x2+y2+mx+Ey﹣2=0，
由圆过C（0，1），可得0+1+0+E﹣2=0，可得E=1，
则圆的方程即为x2+y2+mx+y﹣2=0，
再令x=0，可得y2+y﹣2=0，
解得y=1或﹣2．
即有圆与y轴的交点为（0，1），（0，﹣2），
则过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值3．
21．（12分已知函数f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a＜0时，证明f（x）≤﹣﹣2．
【解答】（1）解：因为f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x，
求导f′（x）=+2ax+（2a+1）==，（x＞0），
①当a=0时，f′（x）=+1＞0恒成立，此时y=f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当a＞0，由于x＞0，所以（2ax+1）（x+1）＞0恒成立，此时y=f（x）在（0，+∞）上单调递增；
③当a＜0时，令f′（x）=0，解得：x=﹣．
因为当x∈（0，﹣）f′（x）＞0、当x∈（﹣，+∞）f′（x）＜0，
所以y=f（x）在0，﹣）上单调递增、在（﹣，+∞）上单调递减．
综上可知：当a≥0时f（x）在（0，+∞）上单调递增，
当a＜0时，f（x）在（0，﹣）上单调递增、在（﹣，+∞）上单调递减；
（2）证明：由（1）可知：当a＜0时f（x）在（0，﹣）上单调递增、在（﹣，+∞）上单调递减，
所以当x=﹣时函数y=f（x）取最大值f（x）max=f（﹣）=﹣1﹣ln2﹣+ln（﹣）．
从而要证f（x）≤﹣﹣2，即证f（﹣）≤﹣﹣2，
即证﹣1﹣ln2﹣+ln（﹣）≤﹣﹣2，即证﹣（﹣）+ln（﹣）≤﹣1+ln2．
令t=﹣，则t＞0，问题转化为证明：﹣t+lnt≤﹣1+ln2．…（*）
令g（t﹣t+lnt，则g′（t）=﹣+，
令g′（t）=0可知t=2，则当0＜t＜2时g′（t）＞0，当t＞2时g′（t）＜0，
所以y=g（t）在（0，2）上单调递增、在（2，+∞）上单调递减，
即g（t）≤g（2）=﹣×2+ln2=﹣1+ln2，即（*）式成立，
所以当a＜0时，f（x）≤﹣﹣2成立．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修44：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为，（t为参数），直线l2的参数方程为，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．
（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）﹣=0，M为l3与C的交点，求M的极径．
【解答】解：（1）∵直线l1的参数方程为，（t为参数），
∴消掉参数t得：直线l1的普通方程为：y=k（x﹣2）①；
又直线l2的参数方程为，（m为参数），
同理可得，直线l2的普通方程为：x=﹣2+ky②；
联立①②，消去k得：x2﹣y2=4，即C的普通方程为x2﹣y2=4；
（2）∵l3的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）﹣=0，
∴其普通方程为：x+y﹣=0，
联立得：，
∴ρ2=x2+y2=+=5．
∴l3与C的交点M的极径为ρ=．

23．[选修45：不等式选讲]（10分）
已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．
（1）求不等式f（x）≥1的解集；
（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．
【解答】解：（1）∵f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|=，f（x）≥1，
∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；
当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2；
综上，不等式f（x）≥1的解集为{x|x≥1}．
（2）原式等价于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m成立，
即m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x．
由（1）知，g（x）=，
当x≤﹣1时，g（x）=﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x=＞﹣1，
∴g（x）≤g（﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5；
当﹣1＜x＜2时，g（x）=﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x=∈（﹣1，2），
∴g（x）≤g（）=﹣+﹣1=；
当x≥2时，g（x）=﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x=＜2，
∴g（x）≤g（2）=﹣4+2=3=1；
综上，g（x）max=，
∴m的取值范围为（﹣∞，]．

文科数学试题