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第4章根轨迹分析法 41 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念 4.2 绘制根轨迹图的基本法则绘制根轨迹图的基本法则 4.3 控制系统根轨迹的绘制控制系统根轨迹的绘制 44 控制系统的根轨迹分析控制系统的根轨迹分析闭闭环环系系统统的的稳稳定定性性及及性性能能主主要要由由闭闭环环极极点点（特特征征方方程程根根）决决定定的的。一一个个较较完完善善的的闭闭环环控控制制系系统其特征方程一般为高阶，求解困难。统其特征方程一般为高阶，求解困难。1948年年伊伊万万斯斯提提出出求求解解闭闭环环特特征征方方程程的的根根的的图图解方法解方法根轨迹法。根轨迹法。在在开开环环零零、极极点点分分布布已已知知的的情情况况下下，绘绘制制闭闭环环极极点点随随系系统统参参数数变变化化而而在在s平平面面上上移移动动的的轨轨迹迹（根轨迹）。（根轨迹）。用途：用途：对系统的性能进行分析；对系统的性能进行分析；确定系统应有的结构、参数；确定系统应有的结构、参数；进行设计和综合。进行设计和综合。41 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念 一、根轨迹图一、根轨迹图1.定义：定义：根根平平面面：在在一一个个复复平平面面（s平平面面）上上标标出出开开环环零零、极极点点，并并根根据据此此描描述述闭闭环极点的性质，这个复平面就称为根平面。环极点的性质，这个复平面就称为根平面。根根轨轨迹迹：指指系系统统开开环环传传递递函函数数中中某某一一参参数数（一一般般为为kg）变变化化时时，闭闭环环特特征征根在根平面上所走过的轨迹。根在根平面上所走过的轨迹。2.用解析法绘制根轨迹用解析法绘制根轨迹已知：已知：系统开环传递函数系统开环传递函数 开环有两个极点：开环有两个极点：p1=0，p2=2 开环没有零点。开环没有零点。（1）当当 kg=0时时，s1=0、s2=2，此此时时闭闭环环极极点点就是开环极点。就是开环极点。（2）当当0kg1时时，s1、s2均均为为负负实实数数，且且位位于于负负实轴的（实轴的（2，0）一段上。一段上。（3）当当kg=1时时，s1=s2=1，两两个个负负实实数数闭闭环环极极点重合在一起。点重合在一起。（4）当当1kg时时，s1，2=1 ，两两个个闭闭环环极极点点变变为为一一对对共共轭轭复复数数极极点点。s1、s2的的实实部部不不随随kg变变化，其位于过（化，其位于过（1，0）点且平行于虚袖的直线上。）点且平行于虚袖的直线上。（5）当当kg时时，s1=1+j、s2=1j，此此时时s1、s2将趋于无限远处。将趋于无限远处。闭环特征方程为：闭环特征方程为：D(s)=s2+2s+kg=0解得解得闭环特征根（亦即闭环极点）闭环特征根（亦即闭环极点）；可见，当可见，当kg 变化，两个闭环极点也随之连续变化。变化，两个闭环极点也随之连续变化。当当kg 从从0变化时，直接描点作出两个闭环极点的变化轨迹（变化时，直接描点作出两个闭环极点的变化轨迹（p122表表4-1）可根据根轨迹形状评价系统的动态性能和稳态性能：可根据根轨迹形状评价系统的动态性能和稳态性能：（1）根根轨轨迹迹增增益益kg从从0时时，根根轨轨迹迹均均在在s平平面面左左半半部部，在在所所有有的的kg值下系统都是稳定的。值下系统都是稳定的。（2）当当0kg1时时，闭闭环环特特征征根根为为共共轭轭复复根根，系系统统呈呈欠欠阻阻尼尼状状态态,其其阶阶跃跃响应为衰减的振荡过程。响应为衰减的振荡过程。（5）有有一一个个为为0的的开开环环极极点点，系系统统为为型型系系统统，其其阶阶跃跃作作用用下下的的稳稳态态误差误差ess为零。为零。由由上上述述分分析析过过程程可可知知，通通过过系系统统的的根根轨轨迹迹图图，可可以以很很方方便便地地对对系系统统的的动动态态性性能能和和稳稳态态性性能能进进行行分分析析。不不足足之之处处是是用用直直接接解解闭闭环环特特征征方方程程根根的的办办法法，来来绘绘出出系系统统的的根根轨轨迹迹图图，这这对对高高阶阶系系统统将将是是很很繁繁重重的的和和不不现现实实的的。为为了了解解决决这这个个问问题题，依依据据反反馈馈系系统统中中开开环环、闭闭环环传传递递函函数数的的确确定定关关系系，通通过过开开环环传传递递函函数数直接寻找闭环根轨迹正是我们下面要研究的直接寻找闭环根轨迹正是我们下面要研究的。二、二、根轨迹方程根轨迹方程 绘制根轨迹的实质，在于在绘制根轨迹的实质，在于在s平面寻找闭环特征根的位置平面寻找闭环特征根的位置。闭环传递函数为闭环传递函数为闭环特征方程为闭环特征方程为 即即 m个开环零点个开环零点 n个开环极点个开环极点 （根轨迹方程）（根轨迹方程）kg：根轨迹增益：根轨迹增益 在在s平平面面上上凡凡是是满满足足上上式式的的任任意意一一个个点点s1、s2、s，都都是是闭闭环环特特征根，即闭环极点。征根，即闭环极点。三、根轨迹的幅值条件根轨迹的幅值条件方程方程和相角条件和相角条件方程方程 为复数，故根轨迹方程是一个向量方程。为复数，故根轨迹方程是一个向量方程。幅值条件：幅值条件：相角条件：相角条件：相相角角条条件件方方程程和和kg无无关关，s平平面面上上任任意意一一点点，只只要要满满足足相相角角条条件件方方程程，则则必必定定同同时时满满足足幅幅值值条条件件，该该点点必必定定在在根根轨轨迹迹上上，即即对对应应不不同同的的kg时时的的闭闭环环极极点点，相角条件是决定闭环系统根轨迹的充分必要条件。相角条件是决定闭环系统根轨迹的充分必要条件。四、四、幅值条件和相角条件幅值条件和相角条件应用应用 解：解：不符合相角条件，不符合相角条件，s1不在根轨迹上。不在根轨迹上。s2：满足相角条件，满足相角条件，s2在根轨迹上。在根轨迹上。1.用相角条件求根轨迹（试探法）用相角条件求根轨迹（试探法）相角条件：相角条件：例例：已已知知系系统统的的开开环环传传递递函函数数如如下下，试试判判断断 ，是是否否在在根根轨迹上。轨迹上。s1：2.用幅植条件确定用幅植条件确定kg的值的值解解：幅值条件：幅值条件：例例：求求上上例例中中根根轨轨迹迹上上 点点对对应应的的kg。、也可以用直尺测量向量的长度。也可以用直尺测量向量的长度。42 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则 由开环零、极点由开环零、极点当当kg为可变参数时，闭环极点的变化轨迹。为可变参数时，闭环极点的变化轨迹。一、连续性一、连续性 是是kg或其它参数的连续函数。或其它参数的连续函数。当当kg从从0+连连续续变变化化时时，闭闭环环极极点点连连续续变变化化，即即根根轨轨迹迹是是连连续续变变化化的的曲曲线线或或直线。直线。二、对称性二、对称性 线线性性系系统统特特征征方方程程系系数数均均为为实实数数，闭闭环环极极点点均均为为实实数数或或共共轭轭复复数数（包包括括一对纯虚根），根轨迹对称于实轴。一对纯虚根），根轨迹对称于实轴。三、根轨迹的分支数三、根轨迹的分支数 开开环环传传递递函函数数为为n阶阶，故故开开环环极极点点和和闭闭环环数数都都为为n个个，当当kg从从0+变变化化时时，n个个根在根在s平面上连续形成平面上连续形成n条根轨迹。条根轨迹。一条根轨迹对应一个闭环极点随一条根轨迹对应一个闭环极点随kg的连续变化轨迹。的连续变化轨迹。根轨迹的分支数根轨迹的分支数=系统的阶数系统的阶数四、四、根轨迹的起点和终点根轨迹的起点和终点由幅值条件有：由幅值条件有：1.起点：起点：kg=0，等式右边等式右边=，仅当，仅当 成立成立 n条根轨迹起始于系统的条根轨迹起始于系统的n个开环极点。个开环极点。2.终点：终点：kg=，等式右边等式右边=0 当当 成立，成立，m条根轨迹终止于条根轨迹终止于m 个开环零点处；个开环零点处；由于由于nm时，只有时，只有s 处处 另外另外nm条根轨迹终止于条根轨迹终止于处（处（，相角可为任意方向）。，相角可为任意方向）。结结论论：根根轨轨迹迹以以n个个开开环环极极点点为为起起点点；以以m个个开开环环零零点点为为终终点点，另另外外nm条条根根轨迹终止于无穷远处。轨迹终止于无穷远处。五、五、实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹 、两两向向量量对对称称于于实实轴轴，引引起起的的相相角角大大小小相相等等、方方向向相反；相反；、两两向向量量也也对对称称于于实实轴轴，引引起起的的相相角角大大小小相相等等、方方向相反向相反 判判断断 s1是是否否落落在在根根轨轨迹迹上上，共共轭轭零、极点不考虑。零、极点不考虑。位于位于s1左边的实数零、极点：左边的实数零、极点：、向量引起的相角为向量引起的相角为0 判断判断 s1是否落在根轨迹上，位于是否落在根轨迹上，位于s1左边的零、极点不考虑。左边的零、极点不考虑。位于s1右边的实数零、极点：每个零、极点提供180相角，其代数和为奇数，则满足相角条件。结论：结论：s1右边的实数零、极点（开环）个数的总和为奇数，则右边的实数零、极点（开环）个数的总和为奇数，则s1位于根轨迹上。位于根轨迹上。六、六、根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线 若若nm，当当kg从从0+时时，有有(nm)条条根根轨轨迹迹分分支支沿沿着着实实轴轴正正方方向向夹夹角角，截距为，截距为 的一组渐近线趋向无穷远处。的一组渐近线趋向无穷远处。与实轴交点的坐标：与实轴交点的坐标：仅仅当当s足足够够大大时时，根根轨轨迹迹才才向向渐渐近近线线逐逐渐渐逼逼近近，kg，根根轨轨迹迹才才与与渐渐近近线重合。线重合。例：例：已知控制系统的开环传递函数如下，确定已知控制系统的开环传递函数如下，确定s平面上根轨迹的渐近线方向。平面上根轨迹的渐近线方向。解：开环极点：解：开环极点：开环零点：开环零点：3 3条趋于无穷远处条趋于无穷远处 截距截距 夹角夹角 七、七、根轨迹的分离点和会合点根轨迹的分离点和会合点1.1.分析：分析：1.1.如图，如图，为实轴上的根轨迹为实轴上的根轨迹 两两条条根根轨轨迹迹分分别别由由 和和 出出发发，随随kg的的增增大大，会会合合于于a a点点继继而而又又分分开开，离离开开实实轴轴，进进入入复复平平面面，再再回回到到实实轴轴，会会合合于于b b点点再再离离开开，一一条条终终止止于于 ，另另一一趋于负无穷远处。趋于负无穷远处。若若两两条条根根轨轨迹迹在在复复平平面面上上的的某某一一点点相相遇遇后后又又分分开开，称称该该点点为为根根轨轨迹迹的的分分离离点点或或会合点。此点对应于二重根（实根和共轭复数根）。会合点。此点对应于二重根（实根和共轭复数根）。一般多出现在实轴上。一般多出现在实轴上。2.2.规律：规律：若实轴上两相邻开环极点之间存在根轨迹，之间必有分离点；若实轴上两相邻开环极点之间存在根轨迹，之间必有分离点；若实轴上相邻开环零点（一个可视为无穷远）之间存在根轨迹，若实轴上相邻开环零点（一个可视为无穷远）之间存在根轨迹，之间必有会合点；之间必有会合点；若实轴上开环零点与极点之间存在根轨迹，则其间可能既有分离若实轴上开环零点与极点之间存在根轨迹，则其间可能既有分离 点也有会合点，也可能都没有。点也有会合点，也可能都没有。4.分离点的求取分离点的求取 重根法重根法 特征方程：特征方程：具有重根，具有重根，则则特征方程：特征方程：消消kg得得 s 分离点分离点 3.3.求分离角（会合角）：求分离角（会合角）：在分离点（会合点）上，根轨迹切在分离点（会合点）上，根轨迹切 线与正实轴的夹角线与正实轴的夹角 l为相分离的根轨迹分支数为相分离的根轨迹分支数 极值法极值法 牛顿余数定理的使用（二阶以上）牛顿余数定理的使用（二阶以上）就实轴而言就实轴而言 可以用求极值的方法可以用求极值的方法 令令 得得举例：已知控制系统的开环传递函数如下，试求根轨迹在实轴上的分离点。举例：已知控制系统的开环传递函数如下，试求根轨迹在实轴上的分离点。解：解：（用重根法）（用重根法）判断：开环极点有三个判断：开环极点有三个 在实轴上根轨迹在实轴上根轨迹 ，则则 s1满足，为分离点。满足，为分离点。八、八、根轨迹的出射角和入射角根轨迹的出射角和入射角出射角：始于开环极点的根轨迹在起点的切线与正实轴的夹角出射角：始于开环极点的根轨迹在起点的切线与正实轴的夹角入射角：止于开环零点的根轨迹在终点的切线与正实轴的夹角入射角：止于开环零点的根轨迹在终点的切线与正实轴的夹角说明：靠近说明：靠近 的地方选一个的地方选一个s1点，相距点，相距当当 0 0，则，则 出射角出射角 即：即：通式：通式：由其它各开环零点指向：由其它各开环零点指向 的向量的幅角的向量的幅角 ：由其它各开环极点指向：由其它各开环极点指向 的向量的幅角的向量的幅角入射角：入射角：九、九、根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点随随着着kg，根根轨轨迹迹可可能能由由s s左左半半平平面面右右半半平平面面，系系统统会会从从稳稳定定不不稳稳定定，根根轨轨迹迹与与虚轴的交点，即闭环特征方程出现纯虚根，出现临界稳定。虚轴的交点，即闭环特征方程出现纯虚根，出现临界稳定。求解方法（两种方法）：求解方法（两种方法）：令令 代入闭环特征方程代入闭环特征方程 ，再令，再令 求出交点坐标和求出交点坐标和kg。劳劳斯斯判判据据：第第一一列列有有0元元素素（纯纯虚虚根根），代代入入辅辅助助方方程程，此此处处的的增增益益临临界界根根轨轨迹迹增增益益kgp。例：已知系统的开环传递函数，求根轨迹与虚轴的交点、临界根轨迹增益例：已知系统的开环传递函数，求根轨迹与虚轴的交点、临界根轨迹增益kgp。解：解：令令 代入有代入有 得得 （舍去）（舍去）交点坐标：交点坐标：解：解：劳斯判据劳斯判据当当 时，时，s1行等于行等于0，有一对纯虚根，辅助方程，有一对纯虚根，辅助方程 1 2 3 0s3s2s1s0 十、十、闭环极点的和与积设系统的开环传递函数为设系统的开环传递函数为由根与系数的关系：由根与系数的关系：系统的闭环特征方程为系统的闭环特征方程为 是一个是一个n阶方程，设闭环极点（特征方程根）分别为阶方程，设闭环极点（特征方程根）分别为 ，则，则由根与系数的关系：由根与系数的关系：当当 时，时，表表明明，随随着着kg，若若闭闭环环一一些些特特征征根根增增加加时时，另另一一些些特特征征根根必必定定减减小小，以以保保持持其其代代数数和和为常数。即一些分支向右移动时，另一些分支必向左移动，保持左右平衡。为常数。即一些分支向右移动时，另一些分支必向左移动，保持左右平衡。可根据部分分支走向，判断另一些分支的走向。可根据部分分支走向，判断另一些分支的走向。对于某一对于某一 kg，若已知（，若已知（n-1）个闭环极点，可求最后一个闭环极点。）个闭环极点，可求最后一个闭环极点。例例：已已知知系系统统的的开开环环传传递递函函数数，根根轨轨迹迹与与虚虚轴轴的的交交点点为为 ，试试求求其其相相应应的的第第三个闭环极点，并求交点处的临界根轨迹增益三个闭环极点，并求交点处的临界根轨迹增益kgp解：解：闭环特征方程：闭环特征方程：开环极点之和：开环极点之和：闭环极点之和：闭环极点之和：又又 小小结结：按按10条条规规则则绘绘制制控控制制系系统统从从kg=0+时时根根轨轨迹迹的的草草图图直直观分析观分析kg变化对性能的影响；变化对性能的影响；进进一一步步根根据据幅幅角角条条件件，采采用用试试探探法法准准确确确确定定若若干干点点的的位位置置（特别是虚轴附近或原点附近）（特别是虚轴附近或原点附近）精确根轨迹。精确根轨迹。43 控制系统控制系统根轨迹的绘制根轨迹的绘制一、单回路系统的根轨迹一、单回路系统的根轨迹解：解：根轨迹对称于实轴根轨迹对称于实轴 ，根轨迹有，根轨迹有3条，分别始于开环极点条，分别始于开环极点0，1，2，止于无穷远处，止于无穷远处 按根轨迹上的点其实轴右侧的开环零、极点个数之和为奇数，可知根轨迹区域为按根轨迹上的点其实轴右侧的开环零、极点个数之和为奇数，可知根轨迹区域为 ，渐近线共有，渐近线共有3条条 渐近线与实轴正方向夹角为：渐近线与实轴正方向夹角为：截距：截距：1.1.例例 设系统的开环传递函数为设系统的开环传递函数为 ，试绘制系统的根轨迹。，试绘制系统的根轨迹。实实轴轴上上开开环环极极点点1和和0之之间间有有根根轨轨迹迹，之之间间有有分分离离点点，用用重重根根法法或或极极值值法法求求 解分离点解分离点 处处 分离角：分离角：（l：分离支数）：分离支数）分离点处时第分离点处时第3个闭环特征根个闭环特征根 可估计根轨迹的走势可估计根轨迹的走势a.一一条条分分支支以以极极点点2为为起起点点向向左左移移动动至至无无穷穷远远处处，另另一一条条分分支支以以极极点点0为为起起点点开开始始向向左左移移动动，余余下下的的分分支支以以极极点点1为为起起点点向向右右移移动动，为为保保持持平平衡衡，向向右右分分支支必必须须走走得更快，所以分离点在中央偏右得更快，所以分离点在中央偏右0.42处；处；b.以以2为为起起点点的的分分支支不不断断向向左左，所所以以其其它它两两条条分分支支经经分分离离点点后后必必向向右右推推进进，至至无无穷穷远；远；c.时，时，2.例：设系统开环传递函数例：设系统开环传递函数 ，试绘制系统大致的根轨迹。试绘制系统大致的根轨迹。解（解（1）无开环零点，开环极点）无开环零点，开环极点 在实轴上根轨迹在实轴上根轨迹-3，0。（2），有，有4条分支趋向无穷远处。渐近线的夹角与交点条分支趋向无穷远处。渐近线的夹角与交点 （3）实轴上的分离点）实轴上的分离点（4）起始角（出射角）起始角（出射角）（5）与虚轴的交点）与虚轴的交点 系统特征方程为系统特征方程为 令令 代入有代入有3.圆弧根轨迹圆弧根轨迹 当系统仅具有两个开环极点和一个开环零点时，这时根轨迹可能是直线或圆弧，但当系统仅具有两个开环极点和一个开环零点时，这时根轨迹可能是直线或圆弧，但只要根轨迹一旦离开实轴，必然是沿圆弧移动。只要根轨迹一旦离开实轴，必然是沿圆弧移动。圆心：开环零点圆心：开环零点 半径：半径：例：设系统开环传递函数例：设系统开环传递函数 ，求根轨迹。求根轨迹。解：两个开环极点：解：两个开环极点：一个开环零点：一个开环零点：根轨迹在实轴上的区间：根轨迹在实轴上的区间：圆心：圆心：半径：半径：当闭环特征根变至实部为当闭环特征根变至实部为4时，其对应的时，其对应的4.典型根轨迹与开环零极点间关系（典型根轨迹与开环零极点间关系（p.140 表表4-2）根轨迹均为直线或弧线（不可能有折线）；根轨迹均为直线或弧线（不可能有折线）；从分离点离开实轴再回到实轴（会合点），一般为圆弧；从分离点离开实轴再回到实轴（会合点），一般为圆弧；，左右平衡。，左右平衡。二、参量根轨迹二、参量根轨迹 凡是以非根轨迹增益凡是以非根轨迹增益 （或开环增益（或开环增益K）为可变参数绘制的根轨迹称为参量根轨迹。）为可变参数绘制的根轨迹称为参量根轨迹。绘制的关键：绘制的关键：绘制的关键：绘制的关键：正确求得等效单回路系统的开环传递函数；正确求得等效单回路系统的开环传递函数；根据参量的变化，按绘制根据参量的变化，按绘制 变化时的根轨迹规则，作出系统的根轨迹。变化时的根轨迹规则，作出系统的根轨迹。三、正反馈回路的根轨迹三、正反馈回路的根轨迹 在某些复杂的控制系统中，可能出现局部正反馈，这可能是控制对象本身的特征，在某些复杂的控制系统中，可能出现局部正反馈，这可能是控制对象本身的特征，也可能是为了满足系统的某种性能要求而在设计系统时附加的。也可能是为了满足系统的某种性能要求而在设计系统时附加的。需要研究正反馈系统根轨迹的性质及绘制。需要研究正反馈系统根轨迹的性质及绘制。在在绘绘制制正正反反馈馈系系统统根根轨轨迹迹时时，只只需需修修改改与与相相角角条条件件有有关关的的3条条规规则则，其其余余7条不变。条不变。幅值条件与负反馈时一样幅值条件与负反馈时一样相角条件则不同，为零度根轨迹相角条件则不同，为零度根轨迹负反馈：负反馈：为常规根轨迹或为常规根轨迹或180根轨迹根轨迹根轨迹方程根轨迹方程幅值条件幅值条件相角条件相角条件闭环特征方程为闭环特征方程为闭环传递函数为闭环传递函数为1.实实轴轴上上的的根根轨轨迹迹：若若实实轴轴的的某某一一个个区区域域是是一一部部分分根根轨轨迹迹，则则必必有有：其其右右边边（开开环环实实数数零零点点数数+开开环环实实数数极极点点数数）为偶数；为偶数；2.根轨迹的渐近线：根轨迹的渐近线：（1）渐近线与实轴交点）渐近线与实轴交点 与常规根轨迹相同；与常规根轨迹相同；（2）渐近线与实轴夹角）渐近线与实轴夹角 3.根轨迹的出射角和入射角根轨迹的出射角和入射角（1）离开开环极点）离开开环极点 时的出射角：时的出射角：（2）进入开环零点）进入开环零点 时的入射角：时的入射角：44 控制系统的根轨迹分析控制系统的根轨迹分析系统的阶跃响应与闭环零、极点的分布密切相关。系统的阶跃响应与闭环零、极点的分布密切相关。根据根轨迹根据根轨迹求已知参数（一般求已知参数（一般 ）下的主导闭环极点）下的主导闭环极点系统性能系统性能分析可包括：分析可包括：1.由给定参数确定闭环零、极点；由给定参数确定闭环零、极点；2.分析参数变化对系统稳定性的影响；分析参数变化对系统稳定性的影响；3.计算系统的瞬态性能和稳态性能；计算系统的瞬态性能和稳态性能；4.根据性能要求根据性能要求确定系统的参数。确定系统的参数。一、求取闭环系统极点的方法：一、求取闭环系统极点的方法：例：已知系统开环传递函数例：已知系统开环传递函数 ，求具有阻尼比，求具有阻尼比 的共轭闭环主导极点和其它闭环极点，并估算此时系统的性能指标。的共轭闭环主导极点和其它闭环极点，并估算此时系统的性能指标。解解：绘制根轨迹绘制根轨迹 分分离离点点 ，与虚轴的交点：与虚轴的交点：稳定范围：稳定范围：作图求作图求 时三个闭环极点（时三个闭环极点（）非主导极点与主导极点实部之比非主导极点与主导极点实部之比 模之比模之比 在系统的瞬态响应过程中起着主导性作用，是闭环主导极点。在系统的瞬态响应过程中起着主导性作用，是闭环主导极点。性能分析性能分析 可根据由可根据由 所构成的二阶系统来估算三阶系统。所构成的二阶系统来估算三阶系统。型系统：型系统：单位斜坡给定作用下稳态误差：单位斜坡给定作用下稳态误差：二、闭环零、极点分布与阶跃响应的定性关系：二、闭环零、极点分布与阶跃响应的定性关系：二、闭环零、极点分布与阶跃响应的定性关系：二、闭环零、极点分布与阶跃响应的定性关系：1.系统要稳定：闭环极点全部位于系统要稳定：闭环极点全部位于s左半平面，与闭环零点无关；左半平面，与闭环零点无关；2.快速性好：闭环极点均远离虚轴，以使每个分量衰减更快；快速性好：闭环极点均远离虚轴，以使每个分量衰减更快；3.平平稳稳性性好好：主主导导共共轭轭复复数数极极点点位位于于 等等阻阻尼尼线线上上，其其对对应应最最佳佳阻尼系数为阻尼系数为 ；4.若若非非主主导导极极点点与与主主导导极极点点实实部部比比5，且且主主导导极极点点附附近近又又无无闭闭环环零零点点，则则非非主主导导极极点点可可忽忽略略。一一般般可可近近似似将将高高阶阶系系统统看看成成由由共共轭轭复复数数主主导导极点构成的二阶系统或由实数主导极点组成的一阶系统。极点构成的二阶系统或由实数主导极点组成的一阶系统。5.闭闭环环零零点点可可以以抵抵消消或或削削弱弱附附近近闭闭环环极极点点的的作作用用，当当某某个个零零点点 与与某个极点某个极点 非常接近，成为一对偶极子。非常接近，成为一对偶极子。可可在在系系统统中中人人为为引引入入适适当当的的零零点点，以以抵抵消消对对动动态态过过程程中中有有明明显显坏坏影影响的极点，以提高性能指标。响的极点，以提高性能指标。增加极点后，根轨迹及其分离点向右偏移增加极点后，根轨迹及其分离点向右偏移增加零点后，根轨迹及其分离点向左偏移增加零点后，根轨迹及其分离点向左偏移三、增加开环零、极点对根轨迹和系统性能的影响三、增加开环零、极点对根轨迹和系统性能的影响三、增加开环零、极点对根轨迹和系统性能的影响三、增加开环零、极点对根轨迹和系统性能的影响增加极点后，增加极点后，kg从从0，两条根轨迹离开实轴，并进入，两条根轨迹离开实轴，并进入s右半平面，系统不稳定右半平面，系统不稳定 当当根根轨轨迹迹仍仍在在s左左半半平平面面时时，振振荡荡程程度度，衰衰减减因因子子，快速性，快速性，动态性能，动态性能。增加零点后，根轨迹始终在增加零点后，根轨迹始终在s左半平面，最后变为两个负实根，稳定性左半平面，最后变为两个负实根，稳定性，动态性能，动态性能。常在工程中采用增加零点的方法对系统进行校正。常在工程中采用增加零点的方法对系统进行校正。1.已已知知系系统统开开环环传传递递函函数数 ，增增加加 或或 ，讨讨论论对对系系统统根根轨轨迹和动态性能的影响。迹和动态性能的影响。2.已知系统开环传递函数已知系统开环传递函数 ，讨论增加开环零点对系统稳定性的影响。，讨论增加开环零点对系统稳定性的影响。a.原系统：原系统：3个开环极点个开环极点 无开环零点无开环零点 结构不稳定结构不稳定b.，稳定，由于闭环极点是共轭复数，阶跃响应呈衰减振荡稳定，由于闭环极点是共轭复数，阶跃响应呈衰减振荡c.，不稳定，不稳定引入开环零点数值要适当，才能比较显著地改善性能。引入开环零点数值要适当，才能比较显著地改善性能。结论：结论：结论：结论：增加开环零点对根轨迹的影响：增加开环零点对根轨迹的影响：改变了根轨迹在实轴上的分布；改变了根轨迹在实轴上的分布；改变了根轨迹渐近线的条数、倾角和截距；改变了根轨迹渐近线的条数、倾角和截距；可构成开环偶极子，改善系统性能；可构成开环偶极子，改善系统性能；根根轨轨迹迹曲曲线线向向左左偏偏移移，意意味味着着闭闭环环极极点点向向左左偏偏移移虚虚轴轴，稳稳定定裕裕度度好好，快快速速性好，所加开环零点越靠近虚轴影响越大。性好，所加开环零点越靠近虚轴影响越大。增加开环零点对根轨迹的影响：增加开环零点对根轨迹的影响：改变了根轨迹在实轴上的分布；改变了根轨迹在实轴上的分布；改变了根轨迹渐近线的条数、倾角和截距；改变了根轨迹渐近线的条数、倾角和截距；改变了根轨迹的分支数；改变了根轨迹的分支数；根轨迹曲线向右偏移，动态性能下降，所加开环极点越靠近虚轴影响越大。根轨迹曲线向右偏移，动态性能下降，所加开环极点越靠近虚轴影响越大。本章小结本章小结本章小结本章小结1.根轨迹的基本概念（根轨迹法的前提：系统开环传递函数已知）根轨迹的基本概念（根轨迹法的前提：系统开环传递函数已知）2.根轨迹的绘制（根轨迹的绘制（10条基本法规）（注意：实轴附近，虚轴附近）条基本法规）（注意：实轴附近，虚轴附近）3.用根轨迹法分析系统的性能用根轨迹法分析系统的性能