172勾股定理的逆定理时.pptx

第十七章第十七章 勾股定理勾股定理17.1 17.1 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理（第一课时）（第一课时）一个三角形满足什么条件才能是直角三角形呢？一个三角形满足什么条件才能是直角三角形呢？还有没有其他还有没有其他的方法呢？的方法呢？有一个角是直角；有一个角是直角；有两个角的和是有两个角的和是90.90.新课导入新课导入 据说据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：把一根长绳打上古埃及人曾用下面的方法画直角：把一根长绳打上等距离的等距离的13个结，然后以个结，然后以3个结间距，个结间距，4个结间距、个结间距、5个结间距个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角你认为结论正确吗？你认为结论正确吗？（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（13）（12）（11）（10）（9）如果三角形的三边分别如果三角形的三边分别为为3，4，5，这些数满足，这些数满足关系：关系：32+42=52，围成的，围成的三角形是直角三角形三角形是直角三角形 探究新知探究新知勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 下面的两组数分别是一个三角形的三边长下面的两组数分别是一个三角形的三边长a，b，c：2.52.5，6 6，6.56.5；6 6，8 8，1010。画出图形画出图形,它们都是直角三角形吗？它们都是直角三角形吗？用量角器分别测量上述各三角形的最大角的度数用量角器分别测量上述各三角形的最大角的度数想一想想一想想一想想一想这三组数都满足这三组数都满足a2 2+b2 2=c2 2吗？吗？画一画画一画画一画画一画量一量量一量量一量量一量如何证明这如何证明这样的结论呢？样的结论呢？命题命题2 2：如果三角形的三边长如果三角形的三边长a，b，c满足满足a2 2+b2 2=c2 2，那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形.已知已知:在在ABCABC中，中，AB=AB=c，BC=BC=a ，CA=CA=b 且且a2 2+b2 2=c2 2求证求证:ABC:ABC是直角三角形是直角三角形.AABBCC证明思路：证明思路：先画一个先画一个RtABC,RtABC,使使C=90 BC=C=90 BC=a,CA=,CA=babAABBCCB BC CA A证明证明:画一个画一个ABC,ABC,使使C=90,BC=C=90,BC=a,CA=,CA=b AB=cAB=c 边长取正值边长取正值 ABAB2 2=c2 2 a2 2+b2 2=c2 2 C C=90=900 0 ABAB2 2=a2 2+b2 2在在ABCABC和和ABCABC中中BC=BC=a=BC=BCCA=CA=b=CA=CAAB=AB=c=AB=AB ABCABCABCABC（SSSSSS）C=CC=C=9090则则ABCABC是直角三角形是直角三角形（直角三角形的定义）（直角三角形的定义）勾股定理的逆定理：勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长如果三角形的三边长a，b，c满足满足a2 2+b2 2=c2 2，那么这，那么这个三角形是直角三角形个三角形是直角三角形.直角三角形直角三角形 的判定定理的判定定理探究新知探究新知逆命题、逆定理逆命题、逆定理 命题命题2 2 如果三角形的三边长如果三角形的三边长a,b,c满足满足a2 2+b2 2=c2 2,那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形.我们看到，命题我们看到，命题2 2与上节的命题与上节的命题1 1的题设、结论正好相反的题设、结论正好相反.我们把像这样的两个命题叫做互逆命题我们把像这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫如果把其中一个叫做做原命题原命题,那么另一个叫做它的那么另一个叫做它的逆命题逆命题.例如，如果把命题例如，如果把命题1 1当成原命题，那么命题当成原命题，那么命题2 2是命题是命题1 1的逆命题的逆命题.逆定理：逆定理：如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命 题也可称为原定理的逆定理一个定理和它的逆题也可称为原定理的逆定理一个定理和它的逆 定理是互逆定理定理是互逆定理.1 1如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这两个命如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这两个命 题称为互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么题称为互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么 另一个叫做它的逆命题另一个叫做它的逆命题 （1 1）“题设、结论正好相反题设、结论正好相反”是指：第一个命题的题设是第是指：第一个命题的题设是第二个命题的结论；第一个命题的结论是第二个命题的题设二个命题的结论；第一个命题的结论是第二个命题的题设 （2 2）“互逆命题互逆命题”是说明两个命题之间的关系，两个命题的是说明两个命题之间的关系，两个命题的地位可以互换；两者可以确定其中任何一个为原命题，另一个地位可以互换；两者可以确定其中任何一个为原命题，另一个为逆命题为逆命题【知识简析知识简析】2 2如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也 是一个定理，称其为原定理的逆定理，这两个定理称是一个定理，称其为原定理的逆定理，这两个定理称 为互逆定理为互逆定理 每个命题都有逆命题；但每个定理不一定有逆定理；每个命题都有逆命题；但每个定理不一定有逆定理；只有当定理的逆命题经过证明是正确的，才能称这个逆只有当定理的逆命题经过证明是正确的，才能称这个逆命题为逆定理命题为逆定理3 3注意注意：判断一个命题是真命题需要证明；而判断一个判断一个命题是真命题需要证明；而判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可命题是假命题，只需举一个反例即可例例1说出下列命题的逆命题说出下列命题的逆命题,这些命题的逆命题是真命题吗？这些命题的逆命题是真命题吗？（2 2）如果）如果a2 2=b2 2，那么，那么a=b；（3 3）等腰三角形的两底角相等）等腰三角形的两底角相等 假命题假命题逆命题：如果逆命题：如果a=b，那么，那么a2 2=b2 2.真命题真命题逆命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形逆命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形.真命题真命题任何一个命题都有逆任何一个命题都有逆命题；原命题是真命题，其命题；原命题是真命题，其逆命题不一定是真命题逆命题不一定是真命题 写出逆命题的关键是分清楚原命题的题设和结论，写出逆命题的关键是分清楚原命题的题设和结论，然后将它的题设和结论交换位置就得到这个命题的逆然后将它的题设和结论交换位置就得到这个命题的逆命题判断一个命题是真命题需要进行逻辑推理，判命题判断一个命题是真命题需要进行逻辑推理，判断一个命题是假命题只需要举出一个反例就可以了断一个命题是假命题只需要举出一个反例就可以了【点评点评】1.1.说出下列命题的逆命题说出下列命题的逆命题.这些逆命题成立吗？这些逆命题成立吗？（1 1）两条直线平行，内错角相等；两条直线平行，内错角相等；（2 2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；（3 3）全等三角形的对应角相等；全等三角形的对应角相等；（4 4）在角的内部，到角的两边距离相等的点在角在角的内部，到角的两边距离相等的点在角 的平分线上的平分线上.练一练练一练2.2.下列说法正确的是下列说法正确的是()A A每个定理都有逆定理每个定理都有逆定理 B B每个命题都有逆命题每个命题都有逆命题 C C原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题 D D真命题的逆命题是真命题真命题的逆命题是真命题例例1 1判断由线段判断由线段a，b，c 组成的三角形是不是直组成的三角形是不是直 角三角形：角三角形：（1 1）a=15=15，b=17=17，c=8=8；（2 2）a=13=13，b=15=15，c=14=14；分析：分析：根据勾股定理及其逆定理判断一个三角形是根据勾股定理及其逆定理判断一个三角形是不是直角三角形，只要看不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方于最大边长的平方探究新知探究新知勾股定理的逆定理的应用勾股定理的逆定理的应用解：（解：（1 1）15152 2+8+82 2=289=289；17172 2=289=289 15152 2+8+82 2=17=172 2，这个三角形是直角三角形，这个三角形是直角三角形.例例2 2如图，在正方形如图，在正方形ABCDABCD中，中，E E是是BCBC的中点，的中点，F F是是CDCD 上一点，且上一点，且CF=CD,CF=CD,求证：求证：AEF=90.AEF=90.A AB BC CD DE EF F证明：设正方形证明：设正方形ABCDABCD的边长为的边长为a，则则BE=CE=BE=CE=a ，CF=CF=a,DF=,DF=a，在在RtABERtABE中，中，AEAE2 2=AB=AB2 2+BE+BE2 2,在在RtADFRtADF中，中，AFAF2 2=AD=AD2 2+DF+DF2 2,在在RtCEFRtCEF中，中，EFEF2 2=CE=CE2 2+CF+CF2 2,AEAE2 2=a2 2+a2 2=a2 2AFAF2 2=AE=AE2 2+EF+EF2 2,AEF=90.AEF=90.AFAF2 2=a2 2+a2 2=a2 2 EFEF2 2=a2 2+a2 2=a2 2例例3 3 如图，已知点如图，已知点A A（-1,0-1,0）和点）和点B B（1,21,2），在坐标），在坐标 轴上确定点轴上确定点P P，使得，使得ABPABP为直角三角形，则满为直角三角形，则满 足这样条件的点足这样条件的点P P共有（）共有（）A.2 A.2个个 B.4B.4个个 C.6C.6个个 D.7D.7个个（3 3）利用直角三角形的判定条件，即若已知条件与边有关，利用直角三角形的判定条件，即若已知条件与边有关，一般通过计算得出三边的数量关系一般通过计算得出三边的数量关系(即即a2 2b2 2c2 2)来判来判 断，看是否符合较短两边的平方和等于最长边的平方断，看是否符合较短两边的平方和等于最长边的平方【点评点评】判断一个三角形是不是直角三角形有判断一个三角形是不是直角三角形有三三种方法：种方法：（1 1）利用定义，即如果已知条件与角度有关，可借助三角）利用定义，即如果已知条件与角度有关，可借助三角 形的内角和定理判断；形的内角和定理判断；（2 2）利用定理：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，）利用定理：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；那么这个三角形是直角三角形；1 如果三条线段长如果三条线段长a，b，c满足满足a2=c2b2，这三，这三 条线段组成的三角形是不是直角三角形？为条线段组成的三角形是不是直角三角形？为 什么？什么？练一练练一练2.(2.(20162016南京南京)下列长度的三条线段能组成钝角三角形下列长度的三条线段能组成钝角三角形 的是的是()A A3 3，4 4，4 B4 B3 3，4 4，5 5 C C3 3，4 4，6 D6 D3 3，4 4，7 7 在能够组成三角形的条件下，如果满足较小两边平在能够组成三角形的条件下，如果满足较小两边平方的和等于最大边的平方是直角三角形；满足较小两边平方方的和等于最大边的平方是直角三角形；满足较小两边平方的和大于最大边的平方是锐角三角形；满足较小两边平方的的和大于最大边的平方是锐角三角形；满足较小两边平方的和小于最大边的平方是钝角三角形，依此求解即可和小于最大边的平方是钝角三角形，依此求解即可3.3.在在ABCABC中，中，AA，BB，CC的对边分别为的对边分别为a，b，c，且且(ab)()(ab)c2 2，则，则()A AAA为直角为直角 B BBB为直角为直角 C CCC为直角为直角 D DABCABC不是直角三角形不是直角三角形【点评点评】例例4 4“远航远航”号、号、“海天海天”号轮船同时离开港口，各自号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，沿一固定方向航行，“远航远航”号每小时航行号每小时航行1616海里，海里，“海天海天”号每小时航行号每小时航行1212海里。它们离开港口海里。它们离开港口一个半小时一个半小时后相距后相距3030海里。如果知道海里。如果知道“远航远航”号沿号沿东北方向东北方向航行，航行，能知道能知道“海天海天”号沿哪个方向航行吗？号沿哪个方向航行吗？P PE EQ QR RN N远航远航海天海天解：解：根据题意，根据题意，PQ=161.PQ=161.5=245=24，PR=121.5=18PR=121.5=18，QR=30.QR=30.24 242 2+18+182 2=30=302 2，即，即 PQPQ2 2+PR+PR2 2=QR=QR2 2，QPR=QPR=9090.由由“远航远航”号沿东北方向航行可知号沿东北方向航行可知，1=45.1=45.因此因此2=452=45，即，即“海天海天”号沿西北方向航行号沿西北方向航行.分析分析：在图中可以看到，由于：在图中可以看到，由于“远航远航”号的航向已知，号的航向已知，如果求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道如果求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道 “海天海天”号的航向了号的航向了.P PE EQR RN N远航远航海天海天1 12 2 用数学几何知识解决生活实际问题的关键是：用数学几何知识解决生活实际问题的关键是：建模建模思想思想，即将实际问题转化为数学问题；这里要特别注意，即将实际问题转化为数学问题；这里要特别注意弄清实际语言与数学语言间的关系；如：弄清实际语言与数学语言间的关系；如：“点与点之间点与点之间的最短路线的最短路线”就是就是“连接这两点的线段连接这两点的线段”，“点与直线点与直线的最短距离的最短距离”就是就是“点到直线的垂线段的长点到直线的垂线段的长”【点评点评】1.A1.A，B B，C C三地的两两距离如图所示，三地的两两距离如图所示，A A地在地在B B地的正东地的正东 方向，方向，C C地在地在B B地的什么方向？地的什么方向？练一练练一练2.2.五根小木棒，其长度五根小木棒，其长度(单位：单位：cm)cm)分别为分别为7 7，1515，20 20，2424，2525，现将它们摆成两个直角三角形，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是其中正确的是()3.3.有四个三角形，分别满足下列条件，有四个三角形，分别满足下列条件，其中直角三角形有（）其中直角三角形有（）（1 1）一个内角等于另外两个内角之差：）一个内角等于另外两个内角之差：（2 2）三个内角度数之比为）三个内角度数之比为3 3：4 4：5 5；（3 3）三边长度之比为）三边长度之比为5 5：1212：1313；（4 4）三边长分别为）三边长分别为7 7、2424、2525 A A1 1个个 B B2 2个个 C C3 3个个D D4 4个个C C分析：分析：根据根据三角形的内角和定理或勾股定理的逆定理三角形的内角和定理或勾股定理的逆定理 即可进行判断，从而得到答案即可进行判断，从而得到答案分析：分析：(1(1）一个内角等于另外两个内角之差，一个内角等于另外两个内角之差，A=B-CA=B-C，A+B+C=180A+B+C=180，B=90B=90，故是直角三角形；，故是直角三角形；（2 2）三个内角度数之比为三个内角度数之比为3 3：4 4：5 5；设较小的角为设较小的角为3 3x，则其于两角为，则其于两角为4 4x，5 5x，则三个角分别为，则三个角分别为4545，6060，7575，故不是直角三角形；，故不是直角三角形；（3 3）因为三边符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；）因为三边符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；（4 4）因为三边符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形）因为三边符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形所以有三个直角三角形，所以有三个直角三角形，故选故选C C4.4.如图，在如图，在ABCABC中，中，AB=5AB=5，AC=3AC=3，D D是是BCBC的中点，的中点，AD=2AD=2，求求ABCABC的面积的面积.5.5.若若ABCABC三边长三边长a、b、c满足满足a2 2+b2 2+c2 2+338=10+338=10a+24+24b+26+26c，试试判断判断ABCABC的形的形状状.分析：分析：要判断要判断ABCABC的形状，须的形状，须先求出三边的长先求出三边的长，再利用，再利用勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理判断三角形的形状。判断三角形的形状。解析：解析：由由a2 2+b2 2+c2 2+338=10+338=10a+24+24b+26+26c，得：得：a2 2-10-10a+25+25+b2 2-24-24b+144+144+c2 2-26-26c+169=0+169=0即：即：(a-5)-5)2 2+(+(b-12)-12)2 2+(+(c-13)-13)2 2=0=0解得：解得：a=5=5，b=12=12，c=13=135 52 2+12+122 2=13=132 2 a2 2+b2 2=c2 2 C=90C=90，ABCABC是直角三角形。是直角三角形。6.6.如图，在四边形如图，在四边形ABCDABCD中，中，AB=3AB=3，BC=4BC=4，CD=12CD=12，DA=13 DA=13，B=90B=90求求四边形四边形ABCDABCD的面积的面积.A AB BC CD D解：连接解：连接ACACB=90B=90 AC AC2 2=AB=AB2 2+BC+BC2 2 AC=5 AC=5 AD=13 AD=13，CD=12CD=12 AD AD2 2=AC=AC2 2+CD+CD2 2ACDACD是直角三角形是直角三角形S S四边形四边形ABCDABCD=ABBC+ACBC=ABBC+ACBC=6+30=36=6+30=36探究新知探究新知勾股数勾股数 勾股数又名毕氏三元数，凡是可以构成一个直角三勾股数又名毕氏三元数，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数角形三边的一组正整数，称之为勾股数 我们常见的一组勾股数是我们常见的一组勾股数是“3 3，4 4，5 5”，而这组勾股，而这组勾股数的倍数仍能构成直角三角形，如它的数的倍数仍能构成直角三角形，如它的1.51.5倍倍“4.54.5，6 6，7.57.5”.为了计算方便，我们应该熟以下这五组勾股数：为了计算方便，我们应该熟以下这五组勾股数：“3 3，4 4，5 5”，“5 5，1212，1313”，“6 6，8 8，1010”，“7 7，2424，2525”，“8 8，1515，1717”熟记这五组勾股数，在做题时就可以熟记这五组勾股数，在做题时就可以省略很多繁琐的计算过程，提高做题的速度和准确度省略很多繁琐的计算过程，提高做题的速度和准确度1 1勾股数：勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整能够成为直角三角形三条边长的三个正整 数常见的勾股数有：数常见的勾股数有：3 3，4 4，5 5；5 5，1212，1313；8 8，15 15，1717；7 7，2424，2525；9 9，4040，4141；.要点精析：要点精析：（1 1）勾股数组有无数个；勾股数组有无数个；（2 2）一组勾股数中各数的相同倍数得到一组新的勾股数：一组勾股数中各数的相同倍数得到一组新的勾股数：如如3 3，4 4，5 5是勾股数，则是勾股数，则6 6，8 8，1010和和9 9，1212，1515也是也是 勾股数，即如果勾股数，即如果a，b，c是一组勾股数，那么是一组勾股数，那么na，nb，nc(n为正整数为正整数)也是一组勾股数也是一组勾股数2 2判断勾股数的方法：判断勾股数的方法：（1 1）确定是否是三个正整数；确定是否是三个正整数；（2 2）确定最大数；确定最大数；（3 3）计算：看较小两数的平方和是否等于最大数的平方计算：看较小两数的平方和是否等于最大数的平方3 3易错警示：易错警示：勾股数必须同时满足两个条件：勾股数必须同时满足两个条件：（1 1）三个数都是正整数；三个数都是正整数；（2 2）两个较小数的平方和等于最大数的平方两个较小数的平方和等于最大数的平方例例3 3 下面四组数中是勾股数的一组是下面四组数中是勾股数的一组是()A A6 6，7 7，8 8 B B5 5，8 8，1313 C C1.51.5，2 2，2.52.5 D D2121，2828，3535D分析分析：根据勾股数的定义：满足根据勾股数的定义：满足a2b2c2的三个正整数的三个正整数 a，b，c称为勾股数称为勾股数A.6A.62 27 72 2882 2，不能构成勾，不能构成勾 股数，故错误；股数，故错误；B.5B.52 28 82 213132 2，不能构成勾股数，不能构成勾股数，故错误；故错误；C.1.5C.1.5和和2.52.5不是整数，所以不能构成勾股不是整数，所以不能构成勾股 数，故错误；数，故错误；D.21D.212 228282 235352 2，能构成勾股数，故，能构成勾股数，故 正确故选正确故选D.D.确定勾股数的方法：确定勾股数的方法：首先看这三个数是否是正整首先看这三个数是否是正整数；然后看较小两个数的平方和是否等于最大数的平数；然后看较小两个数的平方和是否等于最大数的平方，记住常见的勾股数方，记住常见的勾股数(3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25)可以提高解题速度可以提高解题速度【点评点评】1 若直角三角形的三边长为三个连续的偶数，则它若直角三角形的三边长为三个连续的偶数，则它 的三边长分别是的三边长分别是()A3，4，5 B6，8，10 C3，4，6 D4，6，8练一练练一练2 下面几组数中，为勾股数的一组是下面几组数中，为勾股数的一组是()A4，5，6 B12，16，20 C10，24，26 D2.4，4.5，5.13 下列几组数：下列几组数：9，12，15；8，15，17；7，24，25；n21，2n，n21(n是大于是大于1的整数的整数),其中是勾股数的有其中是勾股数的有()A1组组 B2组组 C3组组 D4组组知识总结知识总结知识方知识方法要点法要点关键总结关键总结注意事项注意事项逆命题逆命题逆定理逆定理课堂小结课堂小结一般地，如果一个定理的逆命一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两个定理互为一个定理，称这两个定理互为逆定理逆定理 每一个定理不一定有逆定理，每一个定理不一定有逆定理，只有定理的逆命题是真命题时，只有定理的逆命题是真命题时，定理才有逆定理定理才有逆定理.所以命题一定所以命题一定有逆命题，但是定理不一定有有逆命题，但是定理不一定有逆定理逆定理.我们把题设、结论正好相反我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题如的两个命题叫做互逆命题如果把其中一个叫做原命题，那果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题么另一个叫做它的逆命题 1.1.每一个命题都有逆命题，这每一个命题都有逆命题，这两个命题只是题设和条件互相两个命题只是题设和条件互相对换而已对换而已.2.2.命题和逆命题是成命题和逆命题是成对出现的，不能单独存在对出现的，不能单独存在.知识总结知识总结知识方知识方法要点法要点关键总结关键总结注意事项注意事项勾股定勾股定理的逆理的逆定理定理勾股数勾股数如果三角形的三边长如果三角形的三边长a,b,c满足满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直那么这个三角形是直角三角形角三角形.勾股定理逆定理是判定一个三勾股定理逆定理是判定一个三角形是直角三角形的重要工具，角形是直角三角形的重要工具，不能机械的认为不能机械的认为c c边所对的角必边所对的角必是直角是直角.满足满足a2+b2=c2的三个的三个正整数正整数,称为勾股数称为勾股数注意的条件：（注意的条件：（1 1）这些数是正）这些数是正整数；（整数；（2 2）有且只有三个数；）有且只有三个数；(3)(3)满足满足a2+b2=c2.方法规律总结方法规律总结我们学过的识别直角三角形的方法有我们学过的识别直角三角形的方法有：（1 1）两锐角互余的三角形是直角三角形）两锐角互余的三角形是直角三角形；（2 2）有一个角是直角的三角形）有一个角是直角的三角形；（3 3）勾股定理的逆定理）勾股定理的逆定理.