1、2006年云南高考理科数学真题及答案一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1(5分)设集合M=x|x2x0,N=x|x|2,则()AMN=BMN=MCMN=MDMN=R2(5分)已知函数y=ex的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称,则()Af(2x)=e2x(xR)Bf(2x)=ln2lnx(x0)Cf(2x)=2ex(xR)Df(2x)=lnx+ln2(x0)3(5分)双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m=()AB4C4D4(5分)如果复数(m2+i)(1+mi)是实数,则实数m=()A1B1CD5(5分)函数的单调增区间为()AB(k,(k+1),kZC
2、D6(5分)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a、b、c成等比数列,且c=2a,则cosB=()ABCD7(5分)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积是()A16B20C24D328(5分)抛物线y=x2上的点到直线4x+3y8=0距离的最小值是()ABCD39(5分)设平面向量1、2、3的和1+2+3=0如果向量1、2、3,满足|i|=2|i|,且i顺时针旋转30后与i同向,其中i=1,2,3,则()A1+2+3=0B12+3=0C1+23=0D1+2+3=010(5分)设an是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80
3、,则a11+a12+a13=()A120B105C90D7511(5分)用长度分别为2、3、4、5、6(单位:cm)的5根细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到的三角形的最大面积为()ABCD20cm212(5分)设集合I=1,2,3,4,5选择I的两个非空子集A和B,要使B中最小的数大于A中最大的数,则不同的选择方法共有()A50种B49种C48种D47种二、填空题(共4小题,每小题4分,满分16分)13(4分)已知正四棱锥的体积为12,底面对角线长为,则侧面与底面所成的二面角等于14(4分)设z=2yx,式中变量x、y满足下列条件:,则z的最大值为15(4分)安排7位工作
4、人员在5月1日至5月7日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日不同的安排方法共有 种(用数字作答)16(4分)设函数若f(x)+f(x)是奇函数,则=三、解答题(共6小题,满分74分)17(12分)ABC的三个内角为A、B、C,求当A为何值时,取得最大值,并求出这个最大值18(12分)A、B是治疗同一种疾病的两种药,用若干试验组进行对比试验每个试验组由4只小白鼠组成,其中2只服用A,另2只服用B,然后观察疗效若在一个试验组中,服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多,就称该试验组为甲类组设每只小白鼠服用A有效的概率为,服用B有效的概率为()求一个试验组为甲类组的概率;()观
5、察3个试验组,用表示这3个试验组中甲类组的个数,求的分布列和数学期望19(12分)如图,l1、l2是互相垂直的异面直线,MN是它们的公垂线段点A、B在l1上,C在l2上,AM=MB=MN()证明ACNB;()若ACB=60,求NB与平面ABC所成角的余弦值20(12分)在平面直角坐标系xOy中,有一个以和为焦点、离心率为的椭圆,设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C上,C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B,且向量求:()点M的轨迹方程;()的最小值21(14分)已知函数()设a0,讨论y=f(x)的单调性;()若对任意x(0,1)恒有f(x)1,求a的取值范围22(12分)设数列a
6、n的前n项的和,n=1,2,3,()求首项a1与通项an;()设,n=1,2,3,证明:2006年云南高考理科数学真题及答案一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1(5分)设集合M=x|x2x0,N=x|x|2,则()AMN=BMN=MCMN=MDMN=R【分析】M、N分别是二次不等式和绝对值不等式的解集,分别解出再求交集合并集【解答】解:集合M=x|x2x0=x|0x1,N=x|x|2=x|2x2,MN=M,故选:B2(5分)已知函数y=ex的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称,则()Af(2x)=e2x(xR)Bf(2x)=ln2lnx(x0)Cf(2x)=2ex(x
7、R)Df(2x)=lnx+ln2(x0)【分析】本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方法等相关知识和方法根据函数y=ex的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称可知f(x)是y=ex的反函数,由此可得f(x)的解析式,进而获得f(2x)【解答】解:函数y=ex的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称,所以f(x)是y=ex的反函数,即f(x)=lnx,f(2x)=ln2x=lnx+ln2(x0),选D3(5分)双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m=()AB4C4D【分析】由双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,可求出该双曲线的方程,
8、从而求出m的值【解答】解:双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,m0,且双曲线方程为,m=,故选:A4(5分)如果复数(m2+i)(1+mi)是实数,则实数m=()A1B1CD【分析】注意到复数a+bi(aR,bR)为实数的充要条件是b=0【解答】解:复数(m2+i)(1+mi)=(m2m)+(1+m3)i是实数,1+m3=0,m=1,选B5(5分)函数的单调增区间为()AB(k,(k+1),kZCD【分析】先利用正切函数的单调性求出函数单调增时x+的范围i,进而求得x的范围【解答】解:函数的单调增区间满足,单调增区间为,故选C6(5分)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若
9、a、b、c成等比数列,且c=2a,则cosB=()ABCD【分析】根据等比数列的性质,可得b=a,将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案【解答】解:ABC中,a、b、c成等比数列,则b2=ac,由c=2a,则b=a,=,故选B7(5分)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积是()A16B20C24D32【分析】先求正四棱柱的底面边长,然后求其对角线,就是球的直径,再求其表面积【解答】解:正四棱柱高为4,体积为16,底面积为4,正方形边长为2,正四棱柱的对角线长即球的直径为2,球的半径为,球的表面积是24,故选C8(5分)抛物线y=x2上的点到直线4x+3y8
10、=0距离的最小值是()ABCD3【分析】设抛物线y=x2上一点为(m,m2),该点到直线4x+3y8=0的距离为,由此能够得到所求距离的最小值【解答】解:设抛物线y=x2上一点为(m,m2),该点到直线4x+3y8=0的距离为,分析可得,当m=时,取得最小值为,故选B9(5分)设平面向量1、2、3的和1+2+3=0如果向量1、2、3,满足|i|=2|i|,且i顺时针旋转30后与i同向,其中i=1,2,3,则()A1+2+3=0B12+3=0C1+23=0D1+2+3=0【分析】三个向量的和为零向量,在这三个向量前都乘以相同的系数,我们可以把系数提出公因式,括号中各项的和仍是题目已知中和为零向量
11、的三个向量,当三个向量都按相同的方向和角度旋转时,相对关系不变【解答】解:向量1、2、3的和1+2+3=0,向量1、2、3顺时针旋转30后与1、2、3同向,且|i|=2|i|,1+2+3=0,故选D10(5分)设an是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则a11+a12+a13=()A120B105C90D75【分析】先由等差数列的性质求得a2,再由a1a2a3=80求得d即可【解答】解:an是公差为正数的等差数列,a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,a2=5,a1a3=(5d)(5+d)=16,d=3,a12=a2+10d=35a11+a12+a13=
12、105故选B11(5分)用长度分别为2、3、4、5、6(单位:cm)的5根细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到的三角形的最大面积为()ABCD20cm2【分析】设三角形的三边分别为a,b,c,令p=,则p=10海伦公式S=故排除C,D,由于等号成立的条件为10a=10b=10c,故“=”不成立,推测当三边长相等时面积最大,故考虑当a,b,c三边长最接近时面积最大,进而得到答案【解答】解:设三角形的三边分别为a,b,c,令p=,则p=10由海伦公式S=知S=203由于等号成立的条件为10a=10b=10c,故“=”不成立,S203排除C,D由以上不等式推测,当三边长相等时面积
13、最大,故考虑当a,b,c三边长最接近时面积最大,此时三边长为7,7,6,用2、5连接,3、4连接各为一边,第三边长为7组成三角形,此三角形面积最大,面积为,故选B12(5分)设集合I=1,2,3,4,5选择I的两个非空子集A和B,要使B中最小的数大于A中最大的数,则不同的选择方法共有()A50种B49种C48种D47种【分析】解法一,根据题意,按A、B的元素数目不同,分9种情况讨论,分别计算其选法种数,进而相加可得答案;解法二,根据题意,B中最小的数大于A中最大的数,则集合A、B中没有相同的元素,且都不是空集,按A、B中元素数目这和的情况,分4种情况讨论,分别计算其选法种数,进而相加可得答案【
14、解答】解:解法一,若集合A、B中分别有一个元素,则选法种数有C52=10种;若集合A中有一个元素,集合B中有两个元素,则选法种数有C53=10种;若集合A中有一个元素,集合B中有三个元素,则选法种数有C54=5种;若集合A中有一个元素,集合B中有四个元素,则选法种数有C55=1种;若集合A中有两个元素,集合B中有一个元素,则选法种数有C53=10种;若集合A中有两个元素,集合B中有两个元素,则选法种数有C54=5种;若集合A中有两个元素,集合B中有三个元素,则选法种数有C55=1种;若集合A中有三个元素,集合B中有一个元素,则选法种数有C54=5种;若集合A中有三个元素,集合B中有两个元素,则
15、选法种数有C55=1种;若集合A中有四个元素,集合B中有一个元素,则选法种数有C55=1种;总计有49种,选B解法二:集合A、B中没有相同的元素,且都不是空集,从5个元素中选出2个元素,有C52=10种选法,小的给A集合,大的给B集合;从5个元素中选出3个元素,有C53=10种选法,再分成1、2两组,较小元素的一组给A集合,较大元素的一组的给B集合,共有210=20种方法;从5个元素中选出4个元素,有C54=5种选法,再分成1、3;2、2;3、1两组,较小元素的一组给A集合,较大元素的一组的给B集合,共有35=15种方法;从5个元素中选出5个元素,有C55=1种选法,再分成1、4;2、3;3、
16、2;4、1两组,较小元素的一组给A集合,较大元素的一组的给B集合,共有41=4种方法;总计为10+20+15+4=49种方法选B二、填空题(共4小题,每小题4分,满分16分)13(4分)已知正四棱锥的体积为12,底面对角线长为,则侧面与底面所成的二面角等于60【分析】先根据底面对角线长求出边长,从而求出底面积,再由体积求出正四棱锥的高,求出侧面与底面所成的二面角的平面角的正切值即可【解答】解:正四棱锥的体积为12,底面对角线的长为,底面边长为2,底面积为12,所以正四棱锥的高为3,则侧面与底面所成的二面角的正切tan=,二面角等于60,故答案为6014(4分)设z=2yx,式中变量x、y满足下
17、列条件:,则z的最大值为11【分析】先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,z=2yx表示直线在y轴上的截距,只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可【解答】解:,在坐标系中画出图象,三条线的交点分别是A(0,1),B(7,1),C(3,7),在ABC中满足z=2yx的最大值是点C,代入得最大值等于11故填:1115(4分)安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日不同的安排方法共有 2400种(用数字作答)【分析】本题是一个分步计数问题,先安排甲、乙两人在假期的后5天值班,有A52种排法,其余5人再进行排列,有A55种排法,根据分
18、步计数原理得到结果【解答】解:由题意知本题是一个分步计数问题,首先安排甲、乙两人在假期的后5天值班,有A52=20种排法,其余5人再进行排列,有A55=120种排法,根据分步计数原理知共有20120=2400种安排方法故答案为:240016(4分)设函数若f(x)+f(x)是奇函数,则=【分析】对函数求导结合两角差的正弦公式,代入整理可得,根据奇函数的性质可得x=0时函数值为0,代入可求的值【解答】解:,则f(x)+f(x)=,为奇函数,令g(x)=f(x)+f(x),即函数g(x)为奇函数,g(0)=02sin()=0,0,=故答案为:三、解答题(共6小题,满分74分)17(12分)ABC的
19、三个内角为A、B、C,求当A为何值时,取得最大值,并求出这个最大值【分析】利用三角形中内角和为,将三角函数变成只含角A,再利用三角函数的二倍角公式将函数化为只含角,利用二次函数的最值求出最大值【解答】解:由A+B+C=,得=,所以有cos=sincosA+2cos=cosA+2sin=12sin2+2sin=2(sin)2+当sin=,即A=时,cosA+2cos取得最大值为故最大值为18(12分)A、B是治疗同一种疾病的两种药,用若干试验组进行对比试验每个试验组由4只小白鼠组成,其中2只服用A,另2只服用B,然后观察疗效若在一个试验组中,服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多,就称该试验组
20、为甲类组设每只小白鼠服用A有效的概率为,服用B有效的概率为()求一个试验组为甲类组的概率;()观察3个试验组,用表示这3个试验组中甲类组的个数,求的分布列和数学期望【分析】(1)由题意知本题是一个独立重复试验,根据所给的两种药物对小白鼠有效的概率,计算出小白鼠有效的只数的概率,对两种药物有效的小白鼠进行比较,得到甲类组的概率(2)由题意知本试验是一个甲类组的概率不变,实验的条件不变,可以看做是一个独立重复试验,所以变量服从二项分布,根据二项分布的性质写出分布列和期望【解答】解:(1)设Ai表示事件“一个试验组中,服用A有效的小鼠有i只“,i=0,1,2,Bi表示事件“一个试验组中,服用B有效的
21、小鼠有i只“,i=0,1,2,依题意有:P(A1)=2=,P(A2)=P(B0)=,P(B1)=2=,所求概率为:P=P(B0A1)+P(B0A2)+P(B1A2)=+=()的可能值为0,1,2,3且B(3,)P(=0)=()3=,P(=1)=C31()2=,P(=2)=C32()2=,P(=3)=()3=的分布列为:0123P数学期望E=3=19(12分)如图,l1、l2是互相垂直的异面直线,MN是它们的公垂线段点A、B在l1上,C在l2上,AM=MB=MN()证明ACNB;()若ACB=60,求NB与平面ABC所成角的余弦值【分析】(1)欲证ACNB,可先证BN面ACN,根据线面垂直的判定
22、定理只需证ANBN,CNBN即可;(2)易证N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心,连接BH,NBH为NB与平面ABC所成的角,在RtNHB中求出此角即可【解答】解:()由已知l2MN,l2l1,MNl1=M,可得l2平面ABN由已知MNl1,AM=MB=MN,可知AN=NB且ANNB又AN为AC在平面ABN内的射影ACNB()AM=MB=MN,MN是它们的公垂线段,由中垂线的性质可得AN=BN,RtCANRtCNB,AC=BC,又已知ACB=60,因此ABC为正三角形RtANBRtCNB,NC=NA=NB,因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心,连接BH,NBH为NB与平
23、面ABC所成的角在RtNHB中,cosNBH=20(12分)在平面直角坐标系xOy中,有一个以和为焦点、离心率为的椭圆,设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C上,C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B,且向量求:()点M的轨迹方程;()的最小值【分析】(1)利用相关点法求轨迹方程,设P(x0,y0),M(x,y),利用点M的坐标来表示点P的坐标,最后根据x0,y0满足C的方程即可求得;(2)先将用含点M的坐标的函数来表示,再利用基本不等式求此函数的最小值即可【解答】解:(I)椭圆方程可写为:+=1式中ab0,且得a2=4,b2=1,所以曲线C的方程为:x2+=1(x0,y0)y=2(
24、0x1)y=设P(x0,y0),因P在C上,有0x01,y0=2,y|x=x0=,得切线AB的方程为:y=(xx0)+y0设A(x,0)和B(0,y),由切线方程得x=,y=由=+得M的坐标为(x,y),由x0,y0满足C的方程,得点M的轨迹方程为:+=1(x1,y2)()|2=x2+y2,y2=4+,|2=x21+54+5=9且当x21=,即x=1时,上式取等号故|的最小值为321(14分)已知函数()设a0,讨论y=f(x)的单调性;()若对任意x(0,1)恒有f(x)1,求a的取值范围【分析】()根据分母不为0得到f(x)的定义域,求出f(x),利用a的范围得到导函数的正负讨论函数的增减
25、性即可得到f(x)的单调区间;()若对任意x(0,1)恒有f(x)1即要讨论当0a2时,当a2时,当a0时三种情况讨论得到a的取值范围【解答】解:()f(x)的定义域为(,1)(1,+)对f(x)求导数得f(x)=eax()当a=2时,f(x)=e2x,f(x)在(,0),(0,1)和(1,+)均大于0,所以f(x)在(,1),(1,+)为增函数()当0a2时,f(x)0,f(x)在(,1),(1,+)为增函数()当a2时,01,令f(x)=0,解得x1=,x2=当x变化时,f(x)和f(x)的变化情况如下表: x (1,+)f(x)+ f(x)f(x)在(,),(,1),(1,+)为增函数,
26、f(x)在(,)为减函数()()当0a2时,由()知:对任意x(0,1)恒有f(x)f(0)=1()当a2时,取x0=(0,1),则由()知f(x0)f(0)=1()当a0时,对任意x(0,1),恒有1且eax1,得f(x)=eax1综上当且仅当a(,2时,对任意x(0,1)恒有f(x)122(12分)设数列an的前n项的和,n=1,2,3,()求首项a1与通项an;()设,n=1,2,3,证明:【分析】对于()首先由数列an的前n项的和求首项a1与通项an,可先求出Sn1,然后有an=SnSn1,公比为4的等比数列,从而求解;对于()已知,n=1,2,3,将an=4n2n代入Sn=an2n+
27、1+,n=1,2,3,得Sn=(4n2n)2n+1+=(2n+11)(2n+12)然后再利用求和公式进行求解【解答】解:()由Sn=an2n+1+,n=1,2,3,得a1=S1=a14+所以a1=2再由有Sn1=an12n+,n=2,3,4,将和相减得:an=SnSn1=(anan1)(2n+12n),n=2,3,整理得:an+2n=4(an1+2n1),n=2,3,因而数列an+2n是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即:an+2n=44n1=4n,n=1,2,3,因而an=4n2n,n=1,2,3,()将an=4n2n代入得Sn=(4n2n)2n+1+=(2n+11)(2n+12)=(2n+11)(2n1)Tn=()所以,=)=()(1)
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