2018年成都市一诊考试数学试题及答案word(理科).docx

理科数学

第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集，集合则
A. B. C. D.
2.复数在复平面内对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.空气质量指数是检测空气质量的重要参数，其数值越大说明空气污染状况越严重，空气质量越差.某地环保部门统计了该地区12月1日至12月24日连续24天空气质量指数，根据得到的数据绘制出如图所示的折线图.则下列说法错误的是
A.该地区在12月2日空气质量最好
B.该地区在12月24日空气质量最差
C.该地区从12月7日到12月12日持续增大
D.该地区的空气质量指数与日期成负相关

4.已知锐角的三个内角分别为则“”是“”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5. “更相减损术”是我国古代数学名著《九章算术》中的算法案例，其对应的程序框图如图所示.若输入的的值分别为4，6，1，则输出的的值为
A.2 B.3 C.4 D.5

6.若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为
A. B.
C. D.

7．如图，已知双曲线，长方形ABCD的顶点A，B分别为双曲线的左，右焦点，且点C，D在双曲线上．若，，则此双曲线的离心率为
A. B. C. D.

8.已知，则的值为
A. B. C. D.
9．在三棱锥中，已知底面，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为
A. B. C. D.

10.已知定义在上的奇函数满足，且当时，.则下列不等式正确的是
A. B.
C. D.
11.设函数，若且，则的取值范围为
A. B. C. D.
12.已知关于的方程有三个不相等的实数根且，其中，为自然对数的底数.则的值为
A. B. C. D.

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4道小题，每小题5分，共20分.

13.的展开式中的第三项系数为

14.若实数满足线性约束条件，则的最大值为

15.如图，在直角梯形中，已知是上一点，
，则线段的长度为

16.在长方体中，已知底面为正方形，为的中点，，点是正方形所在平面内的一个动点，且，则线段的长度的最大值为

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
已知等差数列的前项和为，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设求数列的前项和.

18. （本小题满分12分）
某部门为了解一企业在生产过程中的用水量情况，对每天的用水量作了记录，得到了大量的该企业的日用水量的统计数据.从这些统计数据中随机抽取12天的数据作为样本，得到如图所示的茎叶图（单位:吨）. 若用水量不低于95（吨），则称这一天的用水量超标.
（1）从这12天的数据中随机抽取3个，求至多有1天是用水量超标的概率；
（2）以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，估计该企业未来3天中用水量超标的天数.记随机变量为未来这3天中用水量超标的天数，求的分布列和数学期望.

19.（本小题满分12分）
如图①，在边长为5的菱形中，.现沿对角线把翻折到的位置得到四面体，如图②所示.已知.
（1）求证：平面平面；
（2）若是线段上的点，且，求二面角的余弦值.

图① 图②
20.（本小题满分12分）
已知椭圆的右焦点，长半轴与短半轴之比等于2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设不经过点的直线与椭圆相交于不同的两点.若线段的中点满足，证明直线过定点，并求出该定点的坐标.

21.（本小题满分12分）
已知函数，其中为自然对数的底数.
（1）若曲线在点处的切线方程为，求的最小值；
（2）当常数时，已知函数在上有两个零点.证明：.

请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．

22.（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数）.在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.
（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）已知点的直角坐标为.若直线与曲线相交于不同的两点，求的值.

23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）当时，若不等式的解集为，求的值；
（2）若关于的不等式当时恒成立，求的最大值.

数学（理科）参考答案及评分意见
第I卷（选择题，共60分）
一．选择题：(每小题5分，共60分)
1.B；2.D；3.D；4.C；5.C；6.B；7.B；8.A；9.C；10.C；11.B；12.B.
第II卷（非选择题，共90分）
二．填空题：(每小题5分，共20分)
13.40；14.12；15.6；16.6.
三．解答题：(共70分)
17.解：（1）设数列的公差为.

解得 ………4分
………6分
（2）由题意，

‚
由-‚，可得
………9分
………11分
………12分

18.解：（1）记“从这12天的数据中随机抽取3个,至多有1天是用水量超标” 为
事件
则 ………4分
（2）以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，易知其概率为.
随机变量表示未来三天用水量超标的天数，∴的取值分别为：
易知
则 ………8分
∴随机变量的分布列为

………10分
数学期望 ………12分
19.解：（1）取的中点,连接得到.
是菱形，，
,

平面
平面 平面平面 ………4分
（2）
易知两两相互垂直.
以为坐标原点，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示.
则
设点.
由 得 ………6分

设为平面的一个法向量.
由解得
取则 ………8分
取平面的一个法向量.
………11分
二面角的余弦值为 ………12分
20.解：（1）
∴.
椭圆的标准方程为 ………4分
（2）易知当直线的斜率不存在时，不合题意.
设直线的方程为点
联立消去 可得

由，可知点在以为直径的圆上.
………7分

整理，得 解得或（舍去）.
∴直线的方程为
故直线经过定点，且该定点的坐标为 ………12分
21.解：（1）曲线在点处的切线为.
………3分
设
由解得
当时，，∴单调递增;
当时, ，∴单调递减.
的极小值（也是最小值）为
∴的最小值为 ………5分
（2）当时，由解得
当时，，∴在上单调递增；
当时，，∴在上单调递减.
∴的极小值为 ………7分
∵
又使得
………9分
当时，

设
在上单调递增.

13、1663年，英国科学家罗伯特.胡克用自制的复合显微镜观察一块软木薄片的结构，发现它们看上去像一间间长方形的小房间，就把它命名为细胞。恒成立.
使得

3、我们在水中发现了什么微生物呢？（P18）

17、大熊座的明显标志就是我们熟悉的由七颗亮星组成的北斗七星，故成立. ………12分

22.解：（1）由消去参数可得
∴直线的普通方程为 ………2分

20、对生活垃圾进行分类、分装，这是我们每个公民的义务。只要我们人人参与，养成良好的习惯，我们周围的环境一定会变得更加清洁和美丽。

14、在太阳周围的八颗大行星，它们是水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星、海王星。
故曲线的直角坐标方程为 ………4分
（2）将代入抛物线方程，可得

答：如蚂蚁、蝗虫、蚕蛾、蚜虫、蟋蟀、蝉、蝴蝶蜜蜂、七星瓢虫等。即 ………8分
设点对应的参数分别为.

12、太阳是太阳系里唯一发光的恒星，直径是1400000千米。则
∴ ………10分
23.解：（1）由题意，得.
当时，原不等式即∴；

22、绿色植物的一些细胞能进行光合作用，制造养料，它们好像是一个个微小的工厂。当时,原不等式即∴
当时，原不等式即∴

预计未来20年，全球人均供水量还将减少1/3。综上，原不等式的解集为，即.
………5分
（2）由题意，得
当时,即不等式成立.
当或时,
不等式恒成立.
当时,
原不等式可化为.可得

当时,
原不等式可化为可得

综上，可得，即的最大值为3. ………10分