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第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)1第第3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)2 本章作为全书的基础，主要学习本章作为全书的基础，主要学习:(1)DFT的定义；的定义；(2)DFT的物理意义；的物理意义；(3)DFT的基本性质以及频域采样；的基本性质以及频域采样；(4)DFT的应用举例等内容。的应用举例等内容。第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)3离散傅里叶变换定义离散傅里叶变换定义计计算算机机只只能能处处理理有有限限长长离离散散序序列列，因因而而无法直接利用无法直接利用ZT与与FT进行数值计算。进行数值计算。针针对对有有限限长长序序列列,还还有有一一种种更更有有用用的的数数学学变变换换,即即离离散散傅傅里里叶叶变变换换（Discrete Fourier Transform），使使数数字字信信号号处处理理可可以以在在频频域域采采用用数数字字运运算算的的方方法法进进行行，大大增加了数字信号处理的灵活性。大大增加了数字信号处理的灵活性。第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)4DFT的的实实质质：有有限限长长序序列列傅傅里里叶叶变变换换的的有限点离散采样，有限点离散采样，即即频域离散化。频域离散化。DFT有有 多多 种种 快快 速速 算算 法法(Fast Fourier Transform),因因此此不不仅仅在在理理论论上上有有重重要要意意义义,在在各各种种数数字字信信号号处处理理算算法法中中亦亦起起着着核核心心作作用用。从从而而使使信信号号的的实实时时处处理理和和设设备备的简化得以实现。的简化得以实现。第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)5DFT 的定义的定义 设设x(n)是是一一个个长长度度为为M的的有有限限长长序序列列，则则定义定义x(n)的的N点点离散傅里叶变换离散傅里叶变换为：为：X(k)的的离散傅里叶逆变换离散傅里叶逆变换为：为：第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)DFT)6 对式中，对式中，N称为称为DFT变换变换区间长度，区间长度，NM。通常称上述二式为离散。通常称上述二式为离散傅里叶变换对。为了叙述简洁，常常用傅里叶变换对。为了叙述简洁，常常用DFTx(n)N和和IDFTX(k)N分别表示分别表示N点离散傅里叶变换和点离散傅里叶变换和N点离散傅里叶逆点离散傅里叶逆变换。变换。第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)7【例例】x(n)=R4(n),求求x(n)的的8 8点和点和1616点点DFTDFT。【解解】（1 1）设变换区间）设变换区间N=8 N=8 时，则：时，则：第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)8 （2）设变换区间）设变换区间N=16 时，则：时，则：第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)9RR4 4(n)(n)的的的的FTFT和和和和DFTDFT的幅度特性关系如下图所示的幅度特性关系如下图所示的幅度特性关系如下图所示的幅度特性关系如下图所示:X(n)的幅频的幅频特性曲线特性曲线(FT曲线曲线)X(n)的的8点点DFT曲线曲线X(n)的的16点点DFT曲线曲线第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)10结论结论:由此例可见，由此例可见，x(n)的离散傅里叶变换结果与的离散傅里叶变换结果与变换区间长度变换区间长度N的取值有关在后面，对的取值有关。在后面，对DFT与与Z变换和傅里叶变换的关系及变换和傅里叶变换的关系及DFT的物理意义的物理意义进行讨论后，上述问题就会得到解释。进行讨论后，上述问题就会得到解释。第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)11DFT与傅里叶变换和与傅里叶变换和Z变换的关系变换的关系 设序列设序列x(n)的长度为的长度为M，其，其Z变换和变换和N(NM)点点DFT分别为：分别为：第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)12 上二式表明序列上二式表明序列x(n)的的N点点DFT是是x(n)的的Z变换在单位圆上的变换在单位圆上的N点等间隔采样。点等间隔采样。X(k)为为x(n)的傅里叶变换。的傅里叶变换。比较上面二式可得关系式比较上面二式可得关系式 或或第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)13 DFT是是 X(ej)在区间在区间0,2上的上的N点等点等间隔采样。这就是间隔采样。这就是DFT的物理意义的物理意义。DFT的变换区间长度的变换区间长度N不同，表示对不同，表示对X(ej)在区间在区间0,2上的采样间隔和采样点上的采样间隔和采样点数不同，所以数不同，所以DFT的变换结果不同。的变换结果不同。DFT的物理意义的物理意义第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)14DFT的隐含周期性的隐含周期性 在在DFT变换对中，变换对中，x(n)与与X(k)均为有限长序列，均为有限长序列，但由于但由于的周期性，使的周期性，使DFT和和IDFT式中的式中的X(k)隐含周期性，且周期均为隐含周期性，且周期均为N。对任意整数。对任意整数m，总有，总有 在在DFT式中，式中，X（k)满足：满足：第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)15实际上，任何周期为实际上，任何周期为N的周期序列都可的周期序列都可以看做长度为以看做长度为N的有限长序列的有限长序列x(n)的周期延的周期延拓序列，而拓序列，而x(n)则是的一个周期，即则是的一个周期，即第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)16一般称周期序列中从一般称周期序列中从n=0到到N1的第一个周期为的主值区间，而主的第一个周期为的主值区间，而主值区间上的序列称为的主值序列。值区间上的序列称为的主值序列。因此因此x(n)与的上述关系可叙述为：与的上述关系可叙述为：是是x(n)的周期延拓序列，的周期延拓序列，x(n)是的主是的主值序列。值序列。第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)17为了以后叙述简洁，当为了以后叙述简洁，当N大于等于序列大于等于序列x(n)的长度时，将式的长度时，将式用如右形式表示：用如右形式表示：式中式中x(n)N表示表示x(n)以以N为周期的周期延拓序为周期的周期延拓序列，列，(n)N表示模表示模N对对n求余，即如果求余，即如果 n=MN+n1 0n1N1,M为整数为整数则则(n)N=n1 第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)18例如，例如，,则有则有所得结果符合下图所示的周期延拓规律。所得结果符合下图所示的周期延拓规律。第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)19 如果如果x(n)的长度为的长度为N，且，则，且，则可写出的离散傅里叶级数表示式可写出的离散傅里叶级数表示式式中式中即即X(k)为的主值序列为的主值序列。第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)20 因此可知，有限长序列因此可知，有限长序列x(n)的的N点离散傅里叶变点离散傅里叶变换换X(k)正好是正好是x(n)的周期延拓序列的周期延拓序列x(n)N的离散傅里的离散傅里叶级数系数的主值序列，即叶级数系数的主值序列，即 。后面要讨论的频域采样理论将会加深对这一关系。后面要讨论的频域采样理论将会加深对这一关系的理解。我们知道，周期延拓序列频谱完全由其离的理解。我们知道，周期延拓序列频谱完全由其离散傅里叶级数系数确定，因此，散傅里叶级数系数确定，因此，X(k)实质上是实质上是x(n)的周期延拓序列的周期延拓序列x(n)N的频谱特性，这就是的频谱特性，这就是N点点DFT的物理意义。的物理意义。第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)21离散傅里叶变换的基本性质离散傅里叶变换的基本性质1 线性性质线性性质 如果如果x1(n)和和x2(n)是两个有限长序列，是两个有限长序列，长度分长度分别为别为N1和和N2,且且 y(n)=ax1(n)+bx2(n)式中式中a、b为常数，为常数，即即N=maxN1,N2，则则y(n)的的N点点DFT为为 Y(k)=DFTy(n)=aX1(k)+bX2(k),0kN-1其中其中X1(k)和和X2(k)分别为分别为x1(n)和和x2(n)的的N点点DFT。第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)222 循环移位性质：循环移位性质：(1)序列的循环移位序列的循环移位 设设x(n)为为有有限限长长序序列列，长长度度为为N，则则x(n)的循环移位定义为的循环移位定义为 y(n)=x(n+m)NRN(N)循环移位过程如下图所示循环移位过程如下图所示:第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)23循环移位过程示意图循环移位过程示意图 第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)24(2)时域循环移位定理：时域循环移位定理：设设x(n)是是长长度度为为N的的有有限限长长序序列列，y(n)为为x(n)的循环移位，的循环移位，即即 y(n)=x(n+m)NRN(n)则则 Y(k)=DFTy(n)其中其中 X(k)=DFTx(n),0kN-1。第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)25（3）频域循环移位定理，如果）频域循环移位定理，如果 X(k)=DFTx(n),0kN-1 Y(k)=X(k+l)NRN(k)则则 y(n)=IDFTY(k)第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)263 循环卷积定理循环卷积定理 有有限限长长序序列列x1(n)和和x2(n)，长长度度分分别别为为N1和和N2，N=maxN1,N2。x1(n)和和x2(n)的的N点点DFT分别为：分别为：X1(k)=DFTx1(n)X2(k)=DFTx2(n)如果如果 X(k)=X1(k)X2(k)则则或或上式所表示的运算称为上式所表示的运算称为x1(n)与与x2(n)的循环卷积。的循环卷积。第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)27 循循环环卷卷积积过过程程中中，要要求求对对x2(m)循循环环反反转转，循循环环移移位位，特特别别是是两两个个N长长的的序序列列的的循循环环卷卷积积长长度度仍仍为为N。显显然然与与一一般般的的线线性性卷积不同，卷积不同，故称之为循环卷积，故称之为循环卷积，记为记为 第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)28由于由于 所以所以 即循环卷积亦满足交换律。即循环卷积亦满足交换律。第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)29频域循环卷积定理：频域循环卷积定理：如果如果 x(n)=x1(n)x2(n)则则第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)30 直接计算循环卷积较麻烦。计算机中直接计算循环卷积较麻烦。计算机中采用矩阵相乘或快速傅里叶变换（采用矩阵相乘或快速傅里叶变换（FFT）的方法计算循环卷积。下面介绍用矩阵的方法计算循环卷积。下面介绍用矩阵计算循环卷积的公式。计算循环卷积的公式。第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)31 当n=0,1,2,L1时，由x(n)形成的序列为：x(0),x(1),x(L1)。循环移位后可得下面的矩阵：第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)32上面矩阵称为上面矩阵称为x(n)的的L点点“循环卷积矩阵循环卷积矩阵”，其特点，其特点是是:（1）第第1行是序列行是序列x(0),x(1),x(L1)的的循环倒相序列。注意，如果循环倒相序列。注意，如果x(n)的长度的长度ML，则需要，则需要在在x(n)末尾补末尾补LM个零后，再形成第一行的循环倒个零后，再形成第一行的循环倒相序列。相序列。（2）第第1行以后的各行均是前一行向右循环移行以后的各行均是前一行向右循环移1位形成的。位形成的。（3）矩阵的各主对角线上的序列值均相等。矩阵的各主对角线上的序列值均相等。有了上面介绍的循环卷积矩阵，就可以写出有了上面介绍的循环卷积矩阵，就可以写出y(n)c的矩阵形式如下的矩阵形式如下:第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)33第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)34按照上式，可以在计算机上用矩阵相乘的方法按照上式，可以在计算机上用矩阵相乘的方法计算两个序列的循环卷积，这里关键是先形成计算两个序列的循环卷积，这里关键是先形成循环卷积矩阵。上式中如果循环卷积矩阵。上式中如果h(n)的长度的长度NL，则需要在则需要在h(n)末尾补末尾补LN个零。个零。【例例】计算下面给出的两个长度为计算下面给出的两个长度为4的序列的序列h(n)与与x(n)的的4点和点和8点循环卷积。点循环卷积。第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)35【解解】按照上式写出按照上式写出h(n)与与x(n)的的4点循环点循环卷积矩阵形式为卷积矩阵形式为h(n)与与x(n)的的8点循环卷积矩阵形式为点循环卷积矩阵形式为第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)36第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)374 复共轭序列的复共轭序列的DFT 设设x*(n)是是x(n)的复共轭序列，的复共轭序列，长度为长度为N X(k)=DFTx(n)则则 DFTx*(n)=X*(N-k),0kN-1 且且 X(N)=X(0)第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)385 DFT的共轭对称性的共轭对称性（1）有限长共轭对称序列和共轭反对称序列）有限长共轭对称序列和共轭反对称序列 为为了了区区别别于于傅傅里里叶叶变变换换中中所所定定义义的的共共轭轭对对称称(或或共共轭轭反反对对称称)序序列列，下下面面用用xep(n)和和xop(n)分分别别表表示示有有限限长长共共轭轭对对称称序序列列和和共共轭轭反反对称序列，对称序列，则二者满足如下定义式：则二者满足如下定义式：xep(n)=x*ep(N-n),0nN-1 xop(n)x*op(N-n),0nN-1 当当N为为偶偶数数时时，将将上上式式中中的的n换换成成N/2-n可得到：可得到：第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)39 上上式式更更清清楚楚地地说说明明了了有有限限长长序序列列共共轭轭对对称称性性的的含含义义。如如下下图图所所示示。图图中中*表表示示对应点为序列取共轭后的值。对应点为序列取共轭后的值。第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)40共轭对称与共轭反对称序列示意图共轭对称与共轭反对称序列示意图 第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)41 如如同同任任何何实实函函数数都都可可以以分分解解成成偶偶对对称称分分量量和和奇奇对对称称分分量量一一样样，任任何何有有限限长长序序列列x(n)都都可可以以表表示成其共轭对称分量和共轭反对称分量之和，示成其共轭对称分量和共轭反对称分量之和，即即 x(n)=xep(n)+xop(n),0nN-1 将上式中的将上式中的n换成换成N-n，并取复共轭，并取复共轭，可得到可得到 x*(N-n)=x*ep(N-n)+x*op(N-n)=xep(n)-xop(n)xep(n)=1/2x(n)+x*(N-n)xop(n)=1/2x(n)-x*(N-n)第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)42（2）DFT的共轭对称性的共轭对称性 x(n)的的实实部部和和虚虚部部（包包括括j）的的DFT分分别别为为X(k)的共轭对称分量和共轭反对称分量的共轭对称分量和共轭反对称分量 证明：如果证明：如果x(n)=xr(n)+jxi(n)其中其中 xr=Rex(n)=1/2x(n)+x*(n)jxi(n)=jImx(n)=1/2x(n)-x*(n)可得可得 DFTxr(n)=1/2DFTx(n)+x*(n)=1/2X(k)+X*(N-k)=Xep(k)第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)43 同理可得同理可得 DFTjxi(n)=1/2DFTx(n)-x*(n)=1/2X(k)-X*(N-k)=Xop(k)由由DFT的线性性质即可得的线性性质即可得 X(k)=DFTx(n)=Xep(k)+Xop(k)其中其中 Xep(k)=DFTxr(n),X(k)的共轭对称分量的共轭对称分量 Xop(k)=DFTjxi(n),X(k)的共轭反对称分量的共轭反对称分量第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)44 x(n)的的共共轭轭对对称称分分量量和和共共轭轭反反对对称称分分量量的的DFT分分别为别为X(k)的实部和虚部乘以的实部和虚部乘以j 证明：如果证明：如果x(n)=xep(n)+rop(n)，0nN-1 其中其中 xep(n)=1/2x(n)+x*(N-n),x(n)的共轭对称分量的共轭对称分量 xop(n)=1/2x(n)-x*(N-n),x(n)的共轭反对称分量的共轭反对称分量 可得可得 DFTxep(n)=1/2DFTx(n)+x*(N-n)=1/2X(k)+X*(k)=ReX(k)第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)45 DFTxop(n)=1/2DFTx(n)-x*(N-n)=1/2X(k)-X*(k)=jImX(k)因此因此 X(k)=DFTx(n)=XR(k)+jXI(k)其中其中 XR(k)=ReX(k)=DFTxep(n)jXI(k)=jImX(k)=DFTxop(n)第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换DFT)(DFT)46 综上所述，可总结出综上所述，可总结出DFT的共轭对称的共轭对称性质：如果序列性质：如果序列x(n)的的DFT为为X(k)，则，则x(n)的实部和虚部（包括的实部和虚部（包括j）的）的DFT分别为分别为X(k)的共轭对称分量和共轭反对称分量；而的共轭对称分量和共轭反对称分量；而x(n)的共轭对称分量和共轭反对称分量的的共轭对称分量和共轭反对称分量的DFT分分别为别为X(k)的实部和虚部乘以的实部和虚部乘以j。第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)47 设设 x(n)是是 长长 度度 为为 N的的 实实 序序 列列，且且X(k)=DFTx(n)，则则 (1)X(k)=X*(N-k),0kN-1 (2)如如果果 x(n)=x(N-n)，则则 X(k)实实偶偶对对称，称，即即 X(k)=X(N-k)(3)如如果果x(n)=-x(N-n)，则则X(k)纯纯虚虚奇奇对称，对称，即即 X(k)=-X(N-k)第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)48实际中经常需要对实序列进行实际中经常需要对实序列进行DFT，利，利用上述对称性质，可减少用上述对称性质，可减少DFT的运算量，提的运算量，提高运算效率。例如，计算实序列的高运算效率。例如，计算实序列的N点点DFT时，当时，当N=偶数时，只需计算偶数时，只需计算X(k)的前面的前面N/2+1点，而点，而N=奇数时，只需计算奇数时，只需计算X(k)的的前面前面(N+1)/2点，其他点按照上在的公式即点，其他点按照上在的公式即可求得。例如，可求得。例如，X(N-1)=X*(1),X(N-2)=X*(2),这样可以减少近一半运算量。这样可以减少近一半运算量。第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)49【例例】利用利用DFT的共轭对称性，设计一种的共轭对称性，设计一种高效算法，通过计算一个高效算法，通过计算一个N点点DFT，就可以，就可以计算出两个实序列计算出两个实序列x1(n)和和x2(n)的的N点点DFT。【解解】构造新序列构造新序列x(n)=x1(n)+jx2(n)，对，对x(n)进行进行DFT，得到：，得到：第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)50由上式得到：由上式得到：所以，由所以，由X(k)可以求得两个实序列可以求得两个实序列x1(n)和和x2(n)的的N点点DFT：第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)51频率域采样频率域采样 设任意序列设任意序列x(n)的的Z变换为变换为且且X(z)收敛域包含单位圆收敛域包含单位圆(即即x(n)存在傅里叶变换存在傅里叶变换)。在单位圆上对在单位圆上对X(z)等间隔采样等间隔采样N点得到点得到xN(n)=IDFTX(k)，0nN-1第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)52 由由DFT与与DFS的的关关系系可可知知，X(k)是是xN(n)以以N为为周周期的周期延拓序列期的周期延拓序列 (n)的离散傅里叶级数系数的离散傅里叶级数系数 的主值序列，的主值序列，即即 第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)53式中 为整数为整数 其它其它m 所以 第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)54 如如果果序序列列x(n)的的长长度度为为M，则则只只有有当当频频域域采采样样点数点数NM时，时，才有才有 xN(n)=IDFTX(k)=x(n)即即可可由由频频域域采采样样X(k)恢恢复复原原序序列列x(n)，否否则则产产生生时时域域混混叠叠现现象象。这这就就是是所所谓谓的的频频域域采采 样定理。样定理。第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)55 推推导导用用频频域域采采样样X(k)表表示示X(z)的的内内插插公公式式和和内内插插函函数数。设设序序列列x(n)长长度度为为M，在在频频域域02之之间间等等间间隔隔采采样样N点点，NM，则有则有 式中式中 第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)56 将上式代入将上式代入X(z)的表示式中得的表示式中得第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)57 上式中上式中 =1，因此因此 上上式式称称为为用用X(k)表表示示X(z)的的内内插插公公式式，k(z)称称为为内内插插函函数数。当当z=ej时时，上上式式就就成成为为x(n)的的傅傅里叶变换里叶变换X(ej)的内插函数和内插公式，的内插函数和内插公式，即即第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)58进一步化简可得进一步化简可得 第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)59例3.3.1 长度为26的三角形序列，编写MATLAB程序验证频域采样定理第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)60DFT的应用举例的应用举例 DFT的的快快速速算算法法FFT的的出出现现，使使DFT在在数数字字通通信信、语语言言信信号号处处理理、图图像像处处理理、功功率率谱谱估估计计、仿仿真真、系系统统分分析析、雷雷达达理理论论、光光学学、医医学学、地地震震以以及及数数值值分析等各个领域都得到广泛应用。分析等各个领域都得到广泛应用。第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)611 用用DFT计算线性卷积计算线性卷积 如果如果0kL-1则由时域循环卷积定理有则由时域循环卷积定理有 Y(k)=DFTy(n)=X1(k)X2(k),0kL-1 第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)62 由由此此可可见见，循循环环卷卷积积既既可可在在时时域域直直接接计计算算，也也可可以以按按照照下下图图所所示示的的计计算算框框图图，在在频频域域计计算算。由由于于DFT有有快快速速算算法法FFT，当当N很很大大时时，在在频频域域计计算算的的速速度度快快得得多多，因因而而常常用用DFT(FFT)计计算循环卷积。算循环卷积。用用DFT计算循环卷积计算循环卷积 第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)63 在在实实际际应应用用中中，为为了了分分析析时时域域离离散散线线性性非非移移变变系系统统或或者者对对序序列列进进行行滤滤波波处处理理等等，需需要要计计算算两两个个序序列列的的线线性性卷卷积积，与与计计算算循循环环卷卷积积一一样样，为为了了提提高高运运算算速速度度，也也希希望望用用DFT(FFT)计计算算线线性性卷卷积积。而而DFT只只能能直直接接用用来来计计算算循循环环卷卷积积，为为此此导导出出线线卷卷积积和和循循环环卷卷积积之之间间的的关关系系以以及循环卷积与线性卷积相等的条件。及循环卷积与线性卷积相等的条件。第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)64 假假设设h(n)和和x(n)都都是是有有很很长长序序列列，长长度度分分别别是是N和和M。它它们们的的线线性性卷卷积积和和循循环卷积分别表示如下：环卷积分别表示如下：其中，其中，LmaxN,M第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)65通过推导得：通过推导得：只有当只有当LN+M-1时，时，线性卷积和循环卷积相等。线性卷积和循环卷积相等。下图是两序列下图是两序列x(n)与与h(n)的线性卷积与循环卷积的线性卷积与循环卷积的运算结果比较图的运算结果比较图 第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)66线性卷积与循环卷积线性卷积与循环卷积 第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)67用用DFT计算线性卷积框图计算线性卷积框图 第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)计算线性卷积计算线性卷积68重叠相加法分段卷积第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)对信号进行谱分析69时域采样DFT是x(n)的傅里叶变换X(ejw)在频率区间0，2上的N点等间隔采样。第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)对信号进行谱分析对信号进行谱分析栅栏效应栅栏效应70上述分析方法不丢失信息，即可由上述分析方法不丢失信息，即可由X(k)恢复恢复Xa(j)或或xa(t)，但直接由分析结果，但直接由分析结果X(k)看不到看不到Xa(j)的全部频谱特性，而只能看到的全部频谱特性，而只能看到N个离散采样点的谱线，这就是所谓的栅栏效应。个离散采样点的谱线，这就是所谓的栅栏效应。第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)对信号进行谱分析对信号进行谱分析截断效应截断效应371低频部分近似理低频部分近似理想低通频响特性，想低通频响特性，而高频误差较大，而高频误差较大，且整个频响都有且整个频响都有波动。这些误差波动。这些误差就是由于对就是由于对ha(t)截断所产生的，截断所产生的，所以通常称之为所以通常称之为截断效应。截断效应。措施：为减少这种截断误措施：为减少这种截断误差，可适当加长差，可适当加长Tp，增加，增加采样点数采样点数N或用窗函数处或用窗函数处理后再进行理后再进行DFT。第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)DFT的应用的应用 对信号进行谱分析的误差分析对信号进行谱分析的误差分析 采样采样&截断截断（1）采样：混叠现象）采样：混叠现象&栅栏效应栅栏效应（2）截断：泄露）截断：泄露&谱间干扰谱间干扰72混叠现象：混叠现象：f=Fs/2理论上必须满足理论上必须满足Fs 2fc（fc为为连续信号的最高频率）连续信号的最高频率）栅栏效应：看不到采样点间栅栏效应：看不到采样点间的频谱。的频谱。采样速率采样速率Fs 足够高足够高泄露：原来序列泄露：原来序列x(n)的频谱是离散谱线，经的频谱是离散谱线，经截断后，使原来的离散谱线向附近展宽，通截断后，使原来的离散谱线向附近展宽，通常称这种展宽为泄漏。模糊、分辨率降低常称这种展宽为泄漏。模糊、分辨率降低谱间干扰：在主谱线两边形成很多旁瓣，引谱间干扰：在主谱线两边形成很多旁瓣，引起不同频率分量间的干扰（简称谱间干扰），起不同频率分量间的干扰（简称谱间干扰），特别是强信号谱的旁瓣可能湮没弱信号的主特别是强信号谱的旁瓣可能湮没弱信号的主谱线。谱线。第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)Tp：截断时间长度，即：截断时间长度，即xa(t)持续时间长度。持续时间长度。N：时域采样点数。时域采样点数。T：时域采样间隔。时域采样间隔。Fs：时域采样频率。时域采样频率。F：频域采样间隔，即频域采样间隔，即Xa(k)采样间隔。采样间隔。对信号进行谱分析对信号进行谱分析73第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)对信号进行谱分析对信号进行谱分析 N 和和 Tp 的选择：的选择：74为了避免频率混叠：为了避免频率混叠：理论上必须满足理论上必须满足Fs 2fc（fc为连为连续信号的最高频率）续信号的最高频率）如果保持如果保持Fs不变，提高频率分不变，提高频率分辨率的方法：增加辨率的方法：增加N，Tp第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)THETHE END END