1、一、自主预习一、自主预习1.已知向量已知向量a=(0,2,1),b=(1,1,2),则则a与与b的夹角为的夹角为_；2.共面直线的夹角共面直线的夹角当两条直线当两条直线l1与与l2共面时，我们把两条直线交角中，范围在共面时，我们把两条直线交角中，范围在_内的角叫作两直线的夹角如图内的角叫作两直线的夹角如图1所示所示 图图13.异面直线的夹角异面直线的夹角当当直直线线l1与与l2是是异异面面直直线线时时，在在直直线线l1上上任任取取一一点点A作作ABl2，我我们们把把直直线线l1和和直直线线AB的的夹夹角角叫叫作作异异面面直直线线l1与与l2的的夹夹角角(如如图图2).它它的的取取值值范围是范围
2、是_.图图24.空间直线夹角的求解空间直线夹角的求解空空间间两两条条直直线线的的夹夹角角由由它它们们的的方方向向向向量量的的夹夹角确定，（如图角确定，（如图3）.图图3s1，s2例例例例1 1 如如图图，在在空空间间直直角角坐坐标标系系中中有有长长方方体体ABCDABCD，已已知知AB2，BC1，AA3.求求对对角角线线AC与与侧侧面面对对角角线线AD的的夹夹角角的的余余弦弦值值解：设对角线AC，和侧面对角线A，D的方向向量分别是s1,s2,取s1=,s2=,因为A(0,0,0),C(2,1,3),A(0,0,3),D(0,1,0),所以S1=(2,1,3),S2=(0,1,-3).因此：co
3、s=故 ，所以AC和AD的夹角=-,故cos=【点点评评】求求线线线线夹夹角角时时应应注注意意线线线线夹夹角角的的范范围围为为0，所所以以若若求求得得余余弦弦值值为为负负数数，则则线线线线夹夹角角为为其其补补角角，所所以以求求完完后后一一定定要要说说明明 变变式式训训练练.在在长长方方体体ABCDA1B1C1D1中中，已已知知AB4，AD3，AA12，E，F分分别别是是线线段段AB，BC上上的的点点，且且EBFB1.求求直直线线EC1与与FD1所成角的余弦值所成角的余弦值【解解】如图，以如图，以D为原点，分别以为原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为所在的直线为x轴，轴，y轴，轴，z轴建立
4、空间直角坐标系，轴建立空间直角坐标系，则则E(3，3，0)，F(2，4，0)，D1(0，0，2)，C1(0，4，2)变式训练变式训练（2）已知三棱锥）已知三棱锥SABC中，底面中，底面ABC为边长为边长等于等于2的等边三角形，的等边三角形，SA垂直于底面垂直于底面ABC，SA，D为为SA的中点，那么直线的中点，那么直线BD与直线与直线SC的夹角的大小为的夹角的大小为_45解析：建立如图所示的空间直角坐标系解析：建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.A(0，0，0)，B(，1，0)，C(0，2，0)，D(0，0，)，S(0，0，)(，1，)，(0，2，2)cos ，BD与与SC的夹角为的夹角为4
5、5.失误防范失误防范求两直线间的夹角时，应注意它的取值范围求两直线间的夹角时，应注意它的取值范围是是0，从而求出，从而求出角角(或三角函数值或三角函数值)思考交流思考交流如图所示，矩形如图所示，矩形ABCD的边的边ABa，BC2，PA平面平面ABCD，PA2，现有数据：，现有数据：a；a1；a；a2；a4.当在当在BC边上存在点边上存在点Q，使，使PQQD时，时，a可以取所可以取所给数据中的哪些值？请说明理由给数据中的哪些值？请说明理由.解：如图，以解：如图，以AB所在直线为所在直线为x轴，轴，AD所在直线为所在直线为y轴，轴，AP所在直线为所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则轴，建立空间直角坐标系，则P(0，0，2)，D(0，2，0)，设，设BQx，则，则x在（在（0,2）Q(a，x，0).(a，x2，0)，(a，x，2)因为因为PQQD，所以，所以0a1，所以当在，所以当在BC边上存在边上存在点点Q时，时，a可以取可以取1或或.课课堂堂小小结结关键:建立空间直角坐标系利用向量 求解有关问题；内容：直线间的夹角的定义,用向量求直线间的夹角的有关计算；重点:用向量求直线间的夹角的有关计算；重视：直线间的夹角的取值范围.练案课后自测题练案课后自测题.谢谢大家谢谢大家
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