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一、罗尔一、罗尔(Rolle)定理定理例如例如,几何解释几何解释:证证注意注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其其结论可能不成立结论可能不成立.例如例如,又例如又例如,例例1 1证证由介值定理由介值定理即为方程的小于即为方程的小于1的正实根的正实根.矛盾矛盾,二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理几何解释几何解释:证证分析分析:弦弦AB方程为方程为作辅助函数作辅助函数拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式注意注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.拉格朗日中值定理又称拉格朗日中值定理又称有限增量定理有限增量定理.拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式.微分中值定理微分中值定理推论推论例例2 2证证例例3 3证证由上式得由上式得三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理几何解释几何解释:证证作辅助函数作辅助函数例例4 4证证分析分析:结论可变形为结论可变形为四、小结四、小结Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；之间的关系；注意定理成立的条件；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.思考题思考题 试举例说明拉格朗日中值定理的试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可条件缺一不可.思考题解答思考题解答不满足在闭区间上不满足在闭区间上连续连续的条件；的条件；且且不满足在开区间内不满足在开区间内可微可微的条件；的条件；以上两个都可说明问题以上两个都可说明问题.练练 习习 题题定义定义例如例如,定理定理定义定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.证证定义辅助函数定义辅助函数则有则有例例1 1解解例例2 2解解例例3 3解解例例4 4解解例例5 5解解注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好但与其它求极限方法结合使用，效果更好.例例6 6解解例例7 7解解关键关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型的类型 .步骤步骤:例例8 8解解步骤步骤:步骤步骤:例例9 9解解例例1010解解例例1111解解例例1212解解极限不存在极限不存在洛必达法则失效。洛必达法则失效。注意：注意：洛必达法则的使用条件洛必达法则的使用条件三、小结三、小结洛必达法则洛必达法则思考题思考题思考题解答思考题解答不一定不一定例例显然显然极限不存在极限不存在但但极限存在极限存在练练 习习 题题练习题答案练习题答案一、单调性的判别法一、单调性的判别法定理定理证证应用拉氏定理应用拉氏定理,得得例例1 1解解注意注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性点处的导数符号来判别一个区间上的单调性二、单调区间求法二、单调区间求法问题问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调但在各个部分区间上单调定义定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的的，则该区间称为函数的单调区间单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点的分界点方法方法:例例2 2解解单调区间为单调区间为例例3 3解解单调区间为单调区间为例例4 4证证注意注意:区间内个别点导数为零区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性不影响区间的单调性.例如例如,三、小结三、小结单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用重要应用.定理中的区间换成其它有限或无限区间，定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立结论仍然成立.应用：利用函数的单调性可以确定某些方应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式程实根的个数和证明不等式.思考题思考题思考题解答思考题解答不能断定不能断定.例例但但当当 时，时，当当 时，时，注意注意 可以任意大，故在可以任意大，故在 点的任何邻点的任何邻域内，域内，都不单调递增都不单调递增练练 习习 题题练习题答案练习题答案一、函数极值的定义一、函数极值的定义定义定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得使函数取得极值的点称为极值的点称为极值点极值点.二、函数极值的求法二、函数极值的求法定理定理1 1(必要条件必要条件)定义定义注意注意:例如例如,定理定理2(2(第一充分条件第一充分条件)(是极值点情形是极值点情形)求极值的步骤求极值的步骤:(不是极值点情形不是极值点情形)例例1 1解解列表讨论列表讨论极极大大值值极极小小值值图形如下图形如下定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件)证证例例2 2解解图形如下图形如下注意注意:例例3 3解解注意注意:函数的不可导点函数的不可导点,也可能是函数的极值点也可能是函数的极值点.三、小结三、小结极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小极大值可能小于极小值值,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点临界点.函数的极值必在函数的极值必在临界点临界点取得取得.判别法判别法第一充分条件第一充分条件;第二充分条件第二充分条件;(注意使用条件注意使用条件)思考题思考题下命题正确吗？下命题正确吗？思考题解答思考题解答不正确不正确例例在在1和和1之间振荡之间振荡故命题不成立故命题不成立练练 习习 题题练习题答案练习题答案一、最值的求法一、最值的求法步骤步骤:1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比比较大小较大小,那个大那个就是最大值那个大那个就是最大值,那个小那个就那个小那个就是最小值是最小值;注意注意:如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,则这个极值就则这个极值就是最值是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)二、应用举例二、应用举例例例1 1解解计算计算比较得比较得点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停例例2 2敌人乘汽车从河的北岸敌人乘汽车从河的北岸A处以处以1千米千米/分钟分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸南岸B处向正东追击，处向正东追击，速度为速度为2千米千米/分钟分钟问我军摩托车何问我军摩托车何时射击最好（相时射击最好（相距最近射击最好）？距最近射击最好）？解解(1)建立敌我相距函数关系建立敌我相距函数关系敌我相距函数敌我相距函数得唯一驻点得唯一驻点实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数建立目标函数;(2)求最值求最值;例例3 3 某房地产公司有某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定套公寓要出租，当租金定为每月为每月180元时，公寓会全部租出去当租元时，公寓会全部租出去当租金每月增加金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，元时，就有一套公寓租不出去，而租出的房子每月需花费而租出的房子每月需花费20元的整修维护费元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？试问房租定为多少可获得最大收入？解解 设房租为每月设房租为每月 元，元，租出去的房子有租出去的房子有 套，套，每月总收入为每月总收入为（唯一驻点）（唯一驻点）故每月每套租金为故每月每套租金为350元时收入最高。元时收入最高。最大收入为最大收入为点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停例例4 4解解如图如图,解得解得三、小结三、小结注意最值与极值的区别注意最值与极值的区别.最值是整体概念而极值是局部概念最值是整体概念而极值是局部概念.实际问题求最值的步骤实际问题求最值的步骤.思考题思考题思考题解答思考题解答结论不成立结论不成立.因为最值点不一定是内点因为最值点不一定是内点.例例在在 有最小值，但有最小值，但练练 习习 题题练习题答案练习题答案一、曲线凹凸的定义一、曲线凹凸的定义问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方定义定义二、曲线凹凸的判定二、曲线凹凸的判定定理定理1 1例例1 1解解注意到注意到,三、曲线的拐点及其求法三、曲线的拐点及其求法1.1.定义定义注意注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.2.2.拐点的求法拐点的求法证证方法方法1:1:例例2 2解解凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点方法方法2:2:例例3 3解解注意注意:例例4 4解解四、小结四、小结曲线的弯曲方向曲线的弯曲方向凹凸性凹凸性;改变弯曲方向的点改变弯曲方向的点拐点拐点;凹凸性的判定凹凸性的判定.拐点的求法拐点的求法1,2.思考题思考题思考题解答思考题解答例例练练 习习 题题练习题答案练习题答案一、渐近线一、渐近线定义定义:1.1.铅直渐近线铅直渐近线例如例如有铅直渐近线两条有铅直渐近线两条:2.2.水平渐近线水平渐近线例如例如有水平渐近线两条有水平渐近线两条:3.3.斜渐近线斜渐近线斜渐近线求法斜渐近线求法:注意注意:例例1 1解解二、图形描绘的步骤二、图形描绘的步骤利用函数特性描绘函数图形利用函数特性描绘函数图形.第一步第一步第二步第二步第三步第三步第四步第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势近线以及其他变化趋势;第五步第五步三、作图举例三、作图举例例例2 2解解非奇非偶函数非奇非偶函数,且无对称性且无对称性.列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点凹凸区间及极值点和拐点:不存在不存在拐点拐点极值点极值点间间断断点点作图作图例例3 3解解偶函数偶函数,图形关于图形关于y轴对称轴对称.拐点拐点极大值极大值列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点凹凸区间及极值点与拐点:拐点拐点例例4 4解解无奇偶性及周期性无奇偶性及周期性.列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点凹凸区间及极值点与拐点:拐点拐点极大值极大值极小值极小值四、小结四、小结函数图形的描绘综合运用函数性态的研究函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导是导数应用的综合考察数应用的综合考察.最最大大值值最最小小值值极极大大值值极极小小值值拐拐点点凹的凹的凸的凸的单增单增单减单减思考题思考题思考题解答思考题解答练练 习习 题题练习题答案练习题答案第三章习题课第三章习题课洛必达法则洛必达法则Rolle定理定理LagrangeLagrange中值中值定理定理常用的常用的泰勒公式泰勒公式CauchyCauchy中值定理中值定理TaylorTaylor中值定理中值定理单调性单调性,极值与最值极值与最值,凹凸性凹凸性,拐点拐点,函数函数图形的描绘图形的描绘;曲率曲率;求根方法求根方法.导数的应用导数的应用一、主要内容一、主要内容1 1、罗尔中值定理、罗尔中值定理2 2、拉格朗日中值定理、拉格朗日中值定理有限增量公式有限增量公式.3 3、柯西中值定理、柯西中值定理推论推论4 4、洛必达法则、洛必达法则定义定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.关键关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型的类型 .注意：注意：洛必达法则的使用条件洛必达法则的使用条件.5 5、导数的应用、导数的应用定理定理(1)函数单调性的判定法函数单调性的判定法定义定义(2)函数的极值及其求法函数的极值及其求法定理定理(必要条件必要条件)定义定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得使函数取得极值的点称为极值的点称为极值点极值点.极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小极大值可能小于极小值值,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点临界点.定理定理(第一充分条件第一充分条件)定理定理(第二充分条件第二充分条件)求极值的步骤求极值的步骤:步骤步骤:1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比比较大小较大小,那个大那个就是最大值那个大那个就是最大值,那个小那个就那个小那个就是最小值是最小值;注意注意:如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,则这个极值就则这个极值就是最值是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)(3)最大值、最小值问题最大值、最小值问题实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意:1)建立目标函数建立目标函数;2)求最值求最值;(4)曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点定义定义定理定理1 1方法方法1:1:方法方法2:2:利用函数特性描绘函数图形利用函数特性描绘函数图形.第一步第一步第二步第二步(5)函数图形的描绘函数图形的描绘第三步第三步第四步第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势他变化趋势;第五步第五步例例1 1解解二、典型例题这就验证了命题的正确性这就验证了命题的正确性.例例2 2解解例例3 3证证由介值定理由介值定理,注意到注意到由由,有有+,得得例例4 4证证例例5 5证证 ,则有则有例例6 6解解奇函数奇函数列表如下列表如下:极大值极大值拐点拐点极小值极小值作图作图测测 验验 题题测验题答案测验题答案