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人教版七7年级下册数学期末测试题及答案
一、选择题
1．的平方根为（）
A． B． C． D．
2．北京2022年冬奥会会徽是以汉字“冬”为灵感来源设计的．在下面如图的四个图中，能由如图经过平移得到的是（ ）

A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，点A（1，﹣2021）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．下列命题中：
①若，则点在原点处；
②点一定在第四象限
③已知点与点，m，n均不为0，则直线平行x轴；
④已知点A(2，-3)，轴，且，则B点的坐标为(2，2)．
以上命题是真命题的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．直线，，，，则（ ）

A．15° B．25° C．35 D．20°
6．若一个正数的两个平方根分别是2m+6和m﹣18，则5m+7的立方根是（ ）
A．9 B．3 C．±2 D．﹣9
7．两个直角三角板如图摆放，其中，，，与交于点M，若，则的大小为（ ）

A．95° B．105° C．115° D．125°
8．如图，在平面直角坐标系中，，，，，把一条长为2021个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点处，并按的规律绕在四边形的边上，则细线另--端所在位置的点的坐标是（ ）

A． B． C． D．
九、填空题
9．的算术平方根是 _____．
十、填空题
10．在平面直角坐标系中，点P（-3,2）关于x轴对称的点P1的坐标是______________.
十一、填空题
11．如图．已知点为两条相互平行的直线之间一动点，和的角平分线相交于，若，则的度数为________．

十二、填空题
12．如图，已知AB∥CD，BC∥DE．若∠A＝20°，∠C＝105°，则∠AED的度数是_____．

十三、填空题
13．如图，将四边形纸片ABCD沿MN折叠，点A、D分别落在点A1、D1处．若∠1＋∠2＝130°，则∠B＋∠C＝___°．

十四、填空题
14．[x)表示小于x的最大整数，如[2.3)=2，[4)=5，则下列判断：①[)=；②[x)x有最大值是0；③[x)x有最小值是1；④x[x)x，其中正确的是__________ （填编号）．
十五、填空题
15．已知点，且点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标是____．
十六、填空题
16．在平面直角坐标系中，点A与原点重合，将点A向右平移1个单位长度得到点A1，将A1向上平移2个单位长度得到点A2，将A2向左平移3个单位长度得到A3，将A3向下平移4个单位长度得到A4，将A4向右平移5个单位长度得到A5…按此方法进行下去，则A2021点坐标为_______________．

十七、解答题
17．计算（1）
（2）
十八、解答题
18．求下列各式中的值．
（1）
（2）
十九、解答题
19．如图，∠1+∠2＝180°，∠C＝∠D．求证：ADBC．

证明：∵∠1+∠2＝180°，∠2+∠AED＝180°，
∴∠1＝∠AED（ 　 　），
∴AC　 　（ 　 　），
∴∠D＝∠DAF（ 　 　）．
∵∠C＝∠D，
∴∠DAF＝　 　（等量代换）．
∴ADBC（ 　 　）．
二十、解答题
20．以学校为坐标原点建立平面直角坐标系，图中标明了这所学校附近的一些地方，
（1）公交车站的坐标是 ，宠物店的坐标是 ；
（2）在图中标出公园，书店的位置；
（3）将医院的位置怎样平移得到人寿保险公司的位置．

二十一、解答题
21．任意无理数都是由整数部分和小数部分构成的．
已知一个无理数a，它的整数部分是b，则它的小数部分可以表示为．例如：，即，显然的整数部分是2，小数部分是．
根据上面的材料，解决下列问题：
（1）若的整数部分是m，的整数部分是n，求的值．
（2）若的整数部分是，小数部分是y，求的值．
二十二、解答题
22．如图所示的正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成的，已知一个长方形纸板的面积为162平方厘米，求正方形纸板的边长．

二十三、解答题
23．如图，已知//，点是射线上一动点（与点不重合），分别平分和，分别交射线于点．

（1）当时，的度数是_______；
（2）当，求的度数（用的代数式表示）；
（3）当点运动时，与的度数之比是否随点的运动而发生变化?若不变化，请求出这个比值；若变化，请写出变化规律．
（4）当点运动到使时，请直接写出的度数．
二十四、解答题
24．已知两条直线l1，l2，l1∥l2，点A，B在直线l1上，点A在点B的左边，点C，D在直线l2上，且满足．

（1）如图①，求证：AD∥BC；
（2）点M，N在线段CD上，点M在点N的左边且满足，且AN平分∠CAD；
（Ⅰ）如图②，当时，求∠DAM的度数；
（Ⅱ）如图③，当时，求∠ACD的度数．
二十五、解答题
25．如图，△ABC中，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线交于A1．

（1）当∠A为70°时，
∵∠ACD-∠ABD=∠______
∴∠ACD-∠ABD=______°
∵BA1、CA1是∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线
∴∠A1CD-∠A1BD=（∠ACD-∠ABD）
∴∠A1=______°；
（2）∠A1BC的角平分线与∠A1CD的角平分线交于A2，∠A2BC与A2CD的平分线交于A3，如此继续下去可得A4、…、An，请写出∠A与∠An的数量关系______；

（3）如图2，四边形ABCD中，∠F为∠ABC的角平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的角，若∠A+∠D=230度，则∠F=______．
（4）如图3，若E为BA延长线上一动点，连EC，∠AEC与∠ACE的角平分线交于Q，当E滑动时有下面两个结论：①∠Q+∠A1的值为定值；②∠Q-∠A1的值为定值．其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值．
【参考答案】
一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
根据平方根的定义，如果一个数的平方等于a，则叫做这个数的平方根.
【详解】
解：因为22=4，（-2）2=4，
所以4的平方根是，
故选B.
【点睛】
本题主要考查平方根的定义，解决本题的关键是要熟练掌握平方根的定义.
2．C
【分析】
根据平移只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小解答．
【详解】
解：观察各选项图形只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小可知，
A．是旋转180°后图形，故选项A不合题意；
B．是
解析：C
【分析】
根据平移只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小解答．
【详解】
解：观察各选项图形只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小可知，
A．是旋转180°后图形，故选项A不合题意；
B．是轴对称图形，故选项B不合题意；
C．选项的图案可以通过平移得到．故选项C符合题意；
D．是轴对称图形，故选项D不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了图形的平移，掌握平移的定义及性质是解题的关键．
3．D
【分析】
根据各象限内点的坐标特征解答．
【详解】
解：∵点A（1，-2021），
∴A点横坐标是正数，纵坐标是负数，
∴A点在第四象限．
故选：D．
【点睛】
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
4．B
【分析】
利用有理数的性质和坐标轴上点的坐标特征可对①进行判断；利用或可对②进行判断；利用、点的纵坐标相同可对③进行判断；通过把点坐标向上或向下平移5个单位得到点坐标可对④进行判断．
【详解】
解：若，则或，所以点坐标轴上，所以①为假命题；
，点一定在第四象限，所以②为真命题；
已知点与点，，均不为0，则直线平行轴，所以③为真命题；
已知点，轴，且，则点的坐标为或，所以④为假命题．
故选：B．
【点睛】
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
5．A
【分析】
分别过A、B作直线的平行线AD、BC，根据平行线的性质即可完成．
【详解】
分别过A、B作直线∥AD、∥BC，如图所示，则AD∥BC

∵∥
∴∥BC
∴∠CBF=∠2
∵∥AD
∴∠EAD=∠1=15゜
∴∠DAB=∠EAB-∠EAD=125゜-15゜=110゜
∵AD∥BC
∴∠DAB+∠ABC=180゜
∴∠ABC=180゜-∠DAB=180゜-110゜=70゜
∴∠CBF=∠ABF-∠ABC=85゜-70゜=15゜
∴∠2=15゜
故选：A．
【点睛】
本题考查了平行线的性质与判定等知识，关键是作两条平行线．
6．B
【分析】
根据立方根与平方根的定义即可求出答案．
【详解】
解：由题意可知：2m+6+m﹣18＝0，
∴m＝4，
∴5m+7＝27，
∴27的立方根是3，
故选：B．
【点睛】
考核知识点：平方根、立方根．理解平方根、立方根的定义和性质是关键．
7．B
【分析】
根据BC∥EF，∠E=45°可以得到∠EDC=∠E=45°，然后根据C=30°，∠C+∠MDC+∠DMC=180°，即可求解.
【详解】
解：∵BC∥EF，∠E=45°
∴∠EDC=∠E=45°，
∵∠C=30°，∠C+∠MDC+∠DMC=180°，
∴∠DMC=180°-∠C-∠MDC=105°，
故选B.

【点睛】
本题主要考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
8．B
【分析】
先求出四边形ABCD的周长为10，得到2021÷10的余数为1，由此即可解决问题．
【详解】
解：∵A（1，1），B（-1，1），C（-1，-2），D（1，-2），
∴四边形ABCD的
解析：B
【分析】
先求出四边形ABCD的周长为10，得到2021÷10的余数为1，由此即可解决问题．
【详解】
解：∵A（1，1），B（-1，1），C（-1，-2），D（1，-2），
∴四边形ABCD的周长为10，
2021÷10的余数为1，
又∵AB=2，
∴细线另一端所在位置的点在A处左面1个单位的位置，坐标为（0，1）．
故选：B．
【点睛】
本题考查规律型：点的坐标，解题的关键是理解题意，求出四边形ABCD的周长，属于中考常考题型．
九、填空题
9．2
【详解】
∵，的算术平方根是2，
∴的算术平方根是2.
【点睛】
这里需注意：的算术平方根和的算术平方根是完全不一样的；因此求一个式子的平方根、立方根和算术平方根时，通常需先将式子化简，然后再去
解析：2
【详解】
∵，的算术平方根是2，
∴的算术平方根是2.
【点睛】
这里需注意：的算术平方根和的算术平方根是完全不一样的；因此求一个式子的平方根、立方根和算术平方根时，通常需先将式子化简，然后再去求，避免出错.
十、填空题
10．（-3，-2）
【分析】
根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案.
【详解】
点P(﹣3，2)关于x轴对称的点Q的坐标是(﹣3，﹣2).
故答案为：(﹣3，﹣2).
【点
解析：（-3，-2）
【分析】
根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案.
【详解】
点P(﹣3，2)关于x轴对称的点Q的坐标是(﹣3，﹣2).
故答案为：(﹣3，﹣2).
【点睛】
本题考查了关于x轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律.
十一、填空题
11．120°
【分析】
由角平分线的定义可得，，又由，得，；设，，则；再根据四边形内角和定理得到，最后根据即可求解．
【详解】
解：和的角平分线相交于，
，，
又，
，，
设，，
，
在四边形中，，，，
解析：120°
【分析】
由角平分线的定义可得，，又由，得，；设，，则；再根据四边形内角和定理得到，最后根据即可求解．
【详解】
解：和的角平分线相交于，
，，
又，
，，
设，，
，
在四边形中，，，，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
十二、填空题
12．95°．
【分析】
延长DE交AB于F，根据两直线平行，同旁内角互补求出∠B，再根据两直线平行，同位角相等求出∠AFE，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【详解
解析：95°．
【分析】
延长DE交AB于F，根据两直线平行，同旁内角互补求出∠B，再根据两直线平行，同位角相等求出∠AFE，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【详解】
解：如图，延长DE交AB于F，

∵AB∥CD，
∴∠B＝180°﹣∠C＝180°﹣105°＝75°，
∵BC∥DE，
∴∠AFE＝∠B＝75°，
在△AEF中，∠AED＝∠A+∠AFE＝20°+75°＝95°，
故答案为：95°．
【点睛】

本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
十三、填空题
13．115
【分析】
先根据∠1+∠2=130°得出∠AMN+∠DNM的度数，再由四边形内角和定理即可得出结论．
【详解】
解：∵∠1+∠2=130°，
∴∠AMN+∠DNM= =115°．
∵∠A+∠
解析：115
【分析】
先根据∠1+∠2=130°得出∠AMN+∠DNM的度数，再由四边形内角和定理即可得出结论．
【详解】
解：∵∠1+∠2=130°，
∴∠AMN+∠DNM= =115°．
∵∠A+∠D+（∠AMN+∠DNM）=360°，∠A+∠D+（∠B+∠C）360°，
∴∠B+∠C=∠AMN+∠DNM=115°．
故答案为：115．
【点睛】
本题考查的是翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．
十四、填空题
14．③，④
【分析】
①[x) 示小于x的最大整数，由定义得[x)x≤[x)+1，[)<<-8，[)=-9即可，
②由定义得[x)x变形可以直接判断，
③由定义得x≤[x)+1，变式即可判断，
④由定义
解析：③，④
【分析】
①[x) 示小于x的最大整数，由定义得[x)x≤[x)+1，[)<<-8，[)=-9即可，
②由定义得[x)x变形可以直接判断，
③由定义得x≤[x)+1，变式即可判断
④由定义知[x)x≤[x)+1，由x≤[x)+1变形的x-1≤[x)，又[x)x联立即可判断．
【详解】
由定义知[x)x≤[x)+1，
①[)=-9①不正确，
②[x)表示小于x的最大整数，[x)x，[x) -x0没有最大值，②不正确
③x≤[x)+1，[x)-x≥-1，[x)x有最小值是1，③正确，
④由定义知[x)x≤[x)+1，
由x≤[x)+1变形的x-1≤[x)，
∵[x)x，
∴x[x)x，
④正确．
故答案为：③④．
【点睛】
本题考查实数数的新规定的运算 ，阅读题给的定义，理解其含义，掌握性质[x)x≤[x)+1，利用性质解决问题是关键．
十五、填空题
15．或；
【分析】
根据点A到两坐标轴的距离相等，列出绝对值方程，解方程即可得到答案．
【详解】
解：∵点A到两坐标轴的距离相等，且点A为，
∴，
∴或，
解得：或，
∴点A的坐标为：或；
故答案为：或
解析：或；
【分析】
根据点A到两坐标轴的距离相等，列出绝对值方程，解方程即可得到答案．
【详解】
解：∵点A到两坐标轴的距离相等，且点A为，
∴，
∴或，
解得：或，
∴点A的坐标为：或；
故答案为：或；
【点睛】
本题考查了点的坐标：直角坐标系中点与有序实数对一一对应；在x轴上点的纵坐标为0，在y轴上点的横坐标为0；记住各象限点的坐标特点．
十六、填空题
16．（1011，﹣1010）
【分析】
求出A1（1，0），A5（3，﹣2），A9（5，﹣4），A13（7，﹣6），•••，探究规律可得A2021（1011，﹣1010）．
【详解】
解：由题意A1（1
解析：（1011，﹣1010）
【分析】
求出A1（1，0），A5（3，﹣2），A9（5，﹣4），A13（7，﹣6），•••，探究规律可得A2021（1011，﹣1010）．
【详解】
解：由题意A1（1，0），A5（3，﹣2），A9（5，﹣4），A13（7，﹣6），•••，
可以看出，3＝，5＝，7＝，各个点的纵坐标等于横坐标的相反数+1，

故＝1011，
∴A2021（1011，﹣1010），
故答案为：（1011，﹣1010）．
【点评】
本题考查坐标与图形变化平移，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
十七、解答题
17．（1）；（2）
【分析】
（1）依次利用平方根以及立方根定义对原式计算，然后再依次计算，即可得到结果．
（2）首先计算绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【详解】
（1），
，
．
（
解析：（1）；（2）
【分析】
（1）依次利用平方根以及立方根定义对原式计算，然后再依次计算，即可得到结果．
（2）首先计算绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【详解】
（1），
，
．
（2），
，
．
【点睛】
本题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，要从高级到低级，即先乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
十八、解答题
18．（1） ；（2）．
【分析】
（1）首先求出的值是多少，然后根据平方根的含义和求法，求出x的值即可．
（2）根据立方根的含义和求法，可得x-1=2，据此求出x的值是多少即可．
【详解】
（1）
解
解析：（1） ；（2）．

【分析】
（1）首先求出的值是多少，然后根据平方根的含义和求法，求出x的值即可．
（2）根据立方根的含义和求法，可得x-1=2，据此求出x的值是多少即可．
【详解】
（1）

解得：
故答案为：
（2）

解得：
故答案为：
【点睛】
本题考查了平方根的含义和求法，立方根的含义和求法．
十九、解答题
19．同角的补角相等；DE；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠C；同位角相等，两直线平行．
【分析】
根据平行线的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】
证明：，，
（同角的补角相等），
解析：同角的补角相等；DE；内错角相等，两直线平行两直线平行，内错角相等；∠C；同位角相等，两直线平行．
【分析】
根据平行线的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】
证明：，，
（同角的补角相等），
（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等），
，
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：同角的补角相等；DE；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，熟记“内错角相等，两直线平行”、“同位角相等，两直线平行”及“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
二十、解答题
20．（1），；（2）见解析；（3）向右5个单位，再向上5个单位
【分析】
（1）观察平面直角坐标系得：公交车站在 轴负半轴距离坐标原点1个单位；宠物店在第四象限内，距离 轴2个单位，距离 轴3个单位，即
解析：（1），；（2）见解析；（3）向右5个单位，再向上5个单位
【分析】
（1）观察平面直角坐标系得：公交车站在 轴负半轴距离坐标原点1个单位；宠物店在第四象限内，距离 轴2个单位，距离 轴3个单位，即可求解；
（2）公园在第二象限内，距离 轴2个单位，距离 轴3个单位；
书店在第一象限内，距离 轴1个单位，距离 轴1个单位；即可解答；
（3）将医院的位置向右5个单位，再向上5个单位得到人寿保险公司的位置，即可．

【详解】
解：（1）观察平面直角坐标系得：公交车站在 轴负半轴距离坐标原点1个单位，故公交车站的坐标是；宠物店在第四象限内，距离 轴2个单位，距离 轴3个单位，故宠物店的坐标是；
（2）∵公园，书店
∴公园在第二象限内，距离 轴2个单位，距离 轴3个单位；
书店在第一象限内，距离 轴1个单位，距离 轴1个单位；
位置如图所示：

（3））将医院的位置向右5个单位，再向上5个单位得到人寿保险公司的位置．
【点睛】
本题主要考查了平面直角坐标系，用坐标来表示点的位置，根据位置写出点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系内每个象限内点的坐标的特征是解题的关键．
二十一、解答题
21．1）0；（2）
【分析】
（1）仿照题例，可直接求出的整数部分和小数部分，代入计算；
（2）先求出的整数部分，再得到的整数部分和小数部分，代入计算．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
∴的整数部分是
解析：（1）0；（2）
【分析】
（1）仿照题例，可直接求出的整数部分和小数部分，代入计算；
（2）先求出的整数部分，再得到的整数部分和小数部分，代入计算．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
∴的整数部分是3，即m=3，
∵，
∴，
∴的整数部分是2，即n=2，
∴==0；
（2）∵，
∴，
∴的整数部分是10，即2x=10，
∴x=5，
∴的小数部分是=，
即y=，
∴==．
【点睛】
本题考查了二次根式的整数和小数部分．看懂题例并熟练运用是解决本题的关键．
二十二、解答题
22．正方形纸板的边长是18厘米
【分析】
根据正方形的面积公式进行解答．
【详解】
解：设小长方形的宽为x厘米，则小长方形的长为厘米，即得正方形纸板的边长是厘米，根据题意得：
，
∴，
取正值，可得，
解析：正方形纸板的边长是18厘米
【分析】
根据正方形的面积公式进行解答．
【详解】
解：设小长方形的宽为x厘米，则小长方形的长为厘米，即得正方形纸板的边长是厘米，根据题意得：
，
∴，
取正值，可得，
∴答：正方形纸板的边长是18厘米．
【点评】
本题考查了算术平方根的实际应用，解题的关键是熟悉正方形的面积公式．
二十三、解答题
23．（1）120°；（2）90°-x°；（3）不变，；（4）45°
【分析】
（1）由平行线的性质：两直线平行同旁内角互补可得；
（2）由平行线的性质可得∠ABN=180°-x°，根据角平分线的定义知∠
解析：（1）120°；（2）90°-x°；（3）不变，；（4）45°
【分析】
（1）由平行线的性质：两直线平行同旁内角互补可得；
（2）由平行线的性质可得∠ABN=180°-x°，根据角平分线的定义知∠ABP=2∠CBP、∠PBN=2∠DBP，可得2∠CBP+2∠DBP=180°-x°，即∠CBD=∠CBP+∠DBP=90°-x°；
（3）由AM∥BN得∠APB=∠PBN、∠ADB=∠DBN，根据BD平分∠PBN知∠PBN=2∠DBN，从而可得∠APB：∠ADB=2：1；
（4）由AM∥BN得∠ACB=∠CBN，当∠ACB=∠ABD时有∠CBN=∠ABD，得∠ABC+∠CBD=∠CBD+∠DBN，即∠ABC=∠DBN，根据角平分线的定义可得∠ABP=∠PBN=∠ABN=2∠DBN，由平行线的性质可得∠A+∠ABN=90°，即可得出答案．
【详解】
解：（1）∵AM∥BN，∠A=60°，
∴∠A+∠ABN=180°，
∴∠ABN=120°
（2）∵AM∥BN，
∴∠ABN+∠A=180°，
∴∠ABN=180°-x°，
∴∠ABP+∠PBN=180°-x°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP=2∠CBP，∠PBN=2∠DBP，
∴2∠CBP+2∠DBP=180°-x°，
∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=（180°-x°）=90°-x°；
（3）不变，∠ADB：∠APB=．
∵AM∥BN，
∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN=2∠DBN，
∴∠APB：∠ADB=2：1，
∴∠ADB：∠APB=；
（4）∵AM∥BN，
∴∠ACB=∠CBN，
当∠ACB=∠ABD时，则有∠CBN=∠ABD，
∴∠ABC+∠CBD=∠CBD+∠DBN，
∴∠ABC=∠DBN，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP=2∠ABC，∠PBN=2∠DBN，
∴∠ABP=∠PBN=2∠DBN=∠ABN，
∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABN=180°，
∴∠A+∠ABN=90°，
∴∠A+2∠DBN=90°，
∴∠A+∠DBN=（∠A+2∠DBN）=45°．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
二十四、解答题
24．（1）证明见解析；（2）（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【分析】
（1）先根据平行线的性质可得，再根据角的和差可得，然后根据平行线的判定即可得证；
（2）（Ⅰ）先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据角的和差可得
解析：（1）证明见解析；（2）（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【分析】
（1）先根据平行线的性质可得，再根据角的和差可得，然后根据平行线的判定即可得证；
（2）（Ⅰ）先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据角的和差可得，然后根据即可得；
（Ⅱ）设，从而可得，先根据角平分线的定义可得，再根据角的和差可得，然后根据建立方程可求出x的值，从而可得的度数，最后根据平行线的性质即可得．
【详解】
（1），
，
又，
，
；
（2）（Ⅰ）
，
，
，
由（1）已得：，
，
；
（Ⅱ）设，则，
平分，
，
，
，
，
由（1）已得：，
，即，
解得，
，
又，
．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质、角的和差、角平分线的定义、一元一次方程的几何应用等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．
二十五、解答题
25．（1）∠A；70°；35°；
（2）∠A=2n∠An
（3）25°
（4）①∠Q+∠A1的值为定值正确，Q+∠A1=180°．
【分析】
（1）根据角平分线的定义可得∠A1BC=∠ABC，∠A1CD
解析：（1）∠A；70°；35°；
（2）∠A=2n∠An
（3）25°
（4）①∠Q+∠A1的值为定值正确，Q+∠A1=180°．
【分析】
（1）根据角平分线的定义可得∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可得解；
（2）由∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，而A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，于是有∠BAC=2∠A1，同理可得∠A1=2∠A2，即∠A=22∠A2，因此找出规律；
（3）先根据四边形内角和等于360°，得出∠ABC+∠DCB=360°-（α+β），根据内角与外角的关系和角平分线的定义得出∠ABC+（180°-∠DCE）=360°-（α+β）=2∠FBC+（180°-2∠DCF）=180°-2（∠DCF-∠FBC）=180°-2∠F，从而得出结论；
（4）依然要用三角形的外角性质求解，易知2∠A1=∠AEC+∠ACE=2（∠QEC+∠QCE），利用三角形内角和定理表示出∠QEC+∠QCE，即可得到∠A1和∠Q的关系．
【详解】
解：（1）当∠A为70°时，
∵∠ACD-∠ABD=∠A，
∴∠ACD-∠ABD=70°，
∵BA1、CA1是∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线，

∴∠A1CD-∠A1BD=（∠ACD-∠ABD）
∴∠A1=35°；
故答案为：A，70，35；
（2）∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，
∴∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，
而∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠BAC，
∴∠BAC=2∠A1=80°，
∴∠A1=40°，
同理可得∠A1=2∠A2，
即∠BAC=22∠A2=80°，
∴∠A2=20°，
∴∠A=2n∠An，
故答案为：∠A=2∠An．
（3）∵∠ABC+∠DCB=360°-（∠A+∠D），
∴∠ABC+（180°-∠DCE）=360°-（∠A+∠D）=2∠FBC+（180°-2∠DCF）=180°-2（∠DCF-∠FBC）=180°-2∠F，
∴360°-（α+β）=180°-2∠F，
2∠F=∠A+∠D-180°，
∴∠F=（∠A+∠D）-90°，
∵∠A+∠D=230°，
∴∠F=25°；
故答案为：25°．
（4）①∠Q+∠A1的值为定值正确．
∵∠ACD-∠ABD=∠BAC，BA1、CA1是∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线
∴∠A1=∠A1CD-∠A1BD=
∠BAC，
∵∠AEC+∠ACE=∠BAC，EQ、CQ是∠AEC、∠ACE的角平分线，
∴∠QEC+∠QCE=（∠AEC+∠ACE）=∠BAC，
∴∠Q=180°-（∠QEC+∠QCE）=180°-∠BAC，
∴∠Q+∠A1=180°．
【点睛】
本题主要考查三角形的外角性质和角平分线的定义的运用，根据推导过程对题目的结果进行规律总结对解题比较重要．