上海莘光学校九年级上册压轴题数学模拟试卷及答案.doc

上海莘光学校九年级上册压轴题数学模拟试卷及答案

一、压轴题
1．如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为OC上动点(与点O不重合)，作AF⊥BE，垂足为G，交BO于H．连接OG、CG．
(1)求证：AH=BE；
(2)试探究：∠AGO 的度数是否为定值？请说明理由；
(3)若OG⊥CG，BG=，求△OGC的面积．

2．如图，抛物线经过点，顶点为，对称轴与轴相交于点，为线段的中点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）为线段上任意一点，为轴上一动点，连接，以点为中心，将逆时针旋转，记点的对应点为，点的对应点为．当直线与抛物线只有一个交点时，求点的坐标．
（3）在（2）的旋转变换下，若（如图）．

①求证：．
②当点在（1）所求的抛物线上时，求线段的长．
3．某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角，将该纸条从右往左平移．

（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．
（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形时，求证：四边形是菱形．
（3）设平移的距离为，两张纸条重叠部分的面积为．求s与x的函数关系式，并求s的最大值．
4．已知点P(2，﹣3)在抛物线L：y＝ax2﹣2ax+ak（a，k均为常数，且a≠0）上，L交y轴于点C，连接CP．
（1）用a表示k，并求L的对称轴及L与y轴的交点坐标；
（2）当L经过(3，3)时，求此时L的表达式及其顶点坐标；
（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，当a＜0时，若L在点C，P之间的部分与线段CP所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，求a的取值范围；
（4）点M(x1，y1)，N(x2，y2)是L上的两点，若t≤x1≤t+1，当x2≥3时，均有y1≥y2，直接写出t的取值范围．

5．如图1，在中，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点．

（1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是___位置关系是_________；
（2）探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．
6．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．

（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是　 ，位置关系是　 ；
（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．
7．在锐角△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，E为AC中点．
（1）如图1，过点C作CF⊥AB于F点，连接EF．若∠BAD=20°，求∠AFE的度数；
（2）若M为线段BD上的动点（点M与点D不重合），过点C作CN⊥AM于N点，射线EN，AB交于P点．
①依题意将图2补全；
②小宇通过观察、实验，提出猜想：在点M运动的过程中，始终有∠APE=2∠MAD．
小宇把这个猜想与同学们进行讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
想法1：连接DE，要证∠APE=2∠MAD，只需证∠PED=2∠MAD．
想法2：设∠MAD=α，∠DAC=β，只需用α，β表示出∠PEC，通过角度计算得∠APE=2α．
想法3：在NE上取点Q，使∠NAQ=2∠MAD，要证∠APE=2∠MAD，只需证△NAQ∽△APQ．……
请你参考上面的想法，帮助小宇证明∠APE =2∠MAD．（一种方法即可）

8．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点；
①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1， △BCE的面积为S2 求的最大值；
②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由
9．定义：对于已知的两个函数，任取自变量的一个值，当时，它们对应的函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数.例如：正比例函数，它的相关函数为.
（1）已知点在一次函数的相关函数的图像上，求的值；
（2）已知二次函数.
①当点在这个函数的相关函数的图像上时，求的值；
②当时，求函数的相关函数的最大值和最小值.
（3）在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，连结.直接写出线段与二次函数的相关函数的图像有两个公共点时的取值范围.
10．已知在矩形ABCD中，AB=2，AD=4．P是对角线BD上的一个动点（点P不与点B、D重合），过点P作PF⊥BD，交射线BC于点F．联结AP，画∠FPE=∠BAP，PE交BF于点E．设PD=x，EF=y．
（1）当点A、P、F在一条直线上时，求△ABF的面积；
（2）如图1，当点F在边BC上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；
（3）联结PC，若∠FPC=∠BPE，请直接写出PD的长．

11．已知四边形是矩形．
（1）如图1，分别是上的点，垂直平分，垂足为，连接．
①求证：；
②若，求的大小；

（2）如图2，，分别是上的点，垂直平分，点是的中点，连接，若，直接写出的长．
12．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象经过点A（1，4）和点B，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，连结AB、BC、DC、DA，点B的横坐标为a（a＞1）

（1）求k的值
（2）若△ABD的面积为4；
①求点B的坐标，
②在平面内存在点E，使得以点A、B、C、E为顶点的四边形是平行四边形，直接写出符合条件的所有点E的坐标．
13．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，BC＝9，点P，Q分别在BC，AC上，CP＝3x，CQ＝4x（0＜x＜3）．把△PCQ绕点P旋转，得到△PDE，点D落在线段PQ上．
（1）求证：PQ∥AB；
（2）若点D在∠BAC的平分线上，求CP的长；
（3）若△PDE与△ABC重叠部分图形的周长为T，且12≤T≤16，求x的取值范围．

14．如图，抛物线y＝mx2﹣4mx+2m+1与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，与y轴交于点C，且x2﹣x1＝2．

（1）求抛物线的解析式；
（2）E是抛物线上一点，∠EAB＝2∠OCA，求点E的坐标；
（3）设抛物线的顶点为D，动点P从点B出发，沿抛物线向上运动，连接PD，过点P做PQ⊥PD，交抛物线的对称轴于点Q，以QD为对角线作矩形PQMD，当点P运动至点（5，t）时求线段DM扫过的图形面积．
15．如图1，抛物线M1：y＝﹣x2+4x交x正半轴于点A，将抛物线M1先向右平移3个单位，再向上平移3个单位得到抛物线M2，M1与M2交于点B，直线OB交M2于点C．
（1）求抛物线M2的解析式；
（2）点P是抛物线M1上AB间的一点，作PQ⊥x轴交抛物线M2于点Q，连接CP，CQ．设点P的横坐标为m，当m为何值时，使△CPQ的面积最大，并求出最大值；
（3）如图2，将直线OB向下平移，交抛物线M1于点E，F，交抛物线M2于点G，H，则的值是否为定值，证明你的结论．

16．如图，在直角坐标系中，点在第一象限，轴于，轴于，，，有一反比例函数图象刚好过点．

（1）分别求出过点的反比例函数和过，两点的一次函数的函数表达式；
（2）直线轴，并从轴出发，以每秒个单位长度的速度向轴正方向运动，交反比例函数图象于点，交于点，交直线于点，当直线运动到经过点时，停止运动．设运动时间为（秒）．
①问：是否存在的值，使四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
②若直线从轴出发的同时，有一动点从点出发，沿射线方向，以每秒个单位长度的速度运动．是否存在的值，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形；若存在，求出的值，并进一步探究此时的四边形是否为特殊的平行四边形；若不存在，说明理由．
17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且．点在第四象限且在抛物线上．

（1）如（图1），当四边形面积最大时，在线段上找一点，使得最小，并求出此时点的坐标及的最小值；
（2）如（图2），将沿轴向右平移2单位长度得到，再将绕点逆时针旋转度得到，且使经过、的直线与直线平行（其中），直线与抛物线交于、两点，点在抛物线上．在线段上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
18．如图，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=2，E为AB的中点，设点P是∠DAB平分线上的一个动点（不与点A重合）．
（1）证明：PD=PE．
（2）连接PC，求PC的最小值．
（3）设点O是矩形ABCD的对称中心，是否存在点P，使∠DPO=90°？若存在，请直接写出AP的长．

19．如图①，在矩形中，cm，，点从点出发，沿射线以 (cm/s)的速度匀速移动．连接，过点作,与射线相交于点，作矩形，连接．设点移动的时间为(s)，的面积为(cm2), 与的函数关系如图②所示．

(1) = ；
(2)求矩形面积的最小值；
(3)当为等腰三角形时，求的值．
20．对于⊙C与⊙C上的一点A，若平面内的点P满足：射线AP与⊙C交于点Q（点Q可以与点P重合），且，则点P称为点A关于⊙C的“生长点”．
已知点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A（-1，0）．
（1）若点P是点A关于⊙O的“生长点”，且点P在x轴上，请写出一个符合条件的点P的坐标________；
（2）若点B是点A关于⊙O的“生长点”，且满足，求点B的纵坐标t的取值范围；
（3）直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN上存在点A关于⊙O的“生长点”，直接写出b的取值范围是_____________________________．

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一、压轴题

1．(1)见解析；(2)45°；(3)9.
【解析】
【分析】（1）利用正方形性质，证△ABH ≌△BCE.可得AH=BE .
（2）证△AOH∽△BGH， ，，再证△OHG∽△AHB.，
得∠AGO=∠ABO=45°；
（3）先证△ABG ∽△BFG.  得,所以，AG·GF=BG 2 
=（）2=18. 再证△AGO ∽△CGF.得,所以，GO·CG =AG·GF=18.所以，S△OGC =CG·GO.   
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABC=90°，AB=CB，∠ABO=∠ECB =45°
∵AF⊥BE,
∴∠BAG+∠ABG=∠CBE +∠ABG=90°.
∴∠BAH=∠CBE.  
∴△ABH ≌△BCE.  
∴AH=BE .  
（2）∵∠AOH=∠BGH=90°, ∠AHO=∠BHG,
 ∴△AOH∽△BGH
∴
∴
     ∵∠OHG =∠AHB.
∴△OHG∽△AHB. 
∴∠AGO=∠ABO=45°,即∠AGO的度数为定值
（3）∵∠ABC=90°,AF⊥BE,
∴∠BAG=∠FBG,∠AGB=∠BGF=90°,
∴△ABG ∽△BFG.  
∴,
∴AG·GF=BG 2 =（）2=18. 
∵△AHB∽△OHG，
∴∠BAH=∠GOH=∠GBF.
∵∠AOB=∠BGF=90°,
∴∠AOG=∠GFC.   
∵∠AGO=45°,CG⊥GO,
∴∠AGO=∠FGC=45°.
∴△AGO ∽△CGF.      
∴,
∴GO·CG =AG·GF=18.
∴S△OGC =CG·GO=9.   
【点睛】此题为综合题，要熟练掌握正方形性质和相似三角形判定方法还有相似三角形的性质.
2．（1）；（2）（，0）；（3）①见解析；②=或=
【解析】
【分析】
（1）根据点C在抛物线上和已知对称轴的条件可求出解析式；
（2）根据抛物线的解析式求出点B及已知点C的坐标，证明△ABC是等腰直角三角形，根据旋转的性质推出直线EF与x轴的夹角为45°，因此设直线EF的解析式为y=x+b，设点M的坐标为（m，0），推出点F（m，6-m），直线与抛物线只有一个交点，联立两个解析式，得到关于x的一元二次方程根据根的判别式为0得到关于m的方程，解方程得点M的坐标．注意有两种情况，均需讨论．
（3）①过点P作PG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H，设点M的坐标为（m，0），由及旋转的性质，证明△EHM≌△MGP，得到点E的坐标为（m-1，5-m），再根据两点距离公式证明，注意分两种情况，均需讨论；②把E（m-1，5-m）代入抛物线解析式，解出m的值，进而求出CM的长．
【详解】
（1）∵点在抛物线上，
∴，
得到，
又∵对称轴，
∴，
解得，
∴，
∴二次函数的解析式为；
（2）当点M在点C的左侧时，如下图：

∵抛物线的解析式为，对称轴为，
∴点A（2，0），顶点B（2，4），
∴AB=AC=4，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠1=45°；
∵将逆时针旋转得到△MEF，
∴FM=CM，∠2=∠1=45°，
设点M的坐标为（m，0），
∴点F（m，6-m），
又∵∠2=45°，
∴直线EF与x轴的夹角为45°，
∴设直线EF的解析式为y=x+b，
把点F（m，6-m）代入得：6-m=m+b，解得：b=6-2m，
直线EF的解析式为y=x+6-2m，
∵直线与抛物线只有一个交点，
∴，
整理得：，
∴Δ=b2-4ac=0，解得m=，
点M的坐标为（，0）．
当点M在点C的右侧时，如下图：

由图可知，直线EF与x轴的夹角仍是45°，因此直线与抛物线不可能只有一个交点．
综上，点M的坐标为（，0）．
（3）①当点M在点C的左侧时，如下图，过点P作PG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H，

∵，由（2）知∠BCA=45°，
∴PG=GC=1，
∴点G（5，0），
设点M的坐标为（m，0），
∵将逆时针旋转得到△MEF，
∴EM=PM，
∵∠HEM+∠EMH=∠GMP+∠EMH =90°，
∴∠HEM=∠GMP，
在△EHM和△MGP中，
，
∴△EHM≌△MGP（AAS），
∴EH=MG=5-m，HM=PG=1，
∴点H（m-1，0），
∴点E的坐标为（m-1，5m）；
∴EA==，
又∵为线段的中点，B（2，4），C（6，0），
∴点D（4，2），
∴ED==，
∴EA= ED．
当点M在点C的右侧时，如下图：

同理，点E的坐标仍为（m-1，5-m），因此EA= ED．
②当点在（1）所求的抛物线上时，
把E（m-1，5-m）代入，整理得：m2-10m+13=0，
解得：m=或m=，
∴=或=．
【点睛】
本题是二次函数综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质、旋转的性质、分类讨论的思想是解题的关键．
3．（1）三角形，四边形（梯形、菱形），五边形；（2）见解析；（3），s的最大值为．
【解析】
【分析】
（1）根据平移过程中，重叠部分四边形的形状判定即可；
（2）分别过点B、D作于点E、于点F，再根据纸条的特点证明四边形ABCD是平行四边形，再证明邻边相等即可证明；
（3）分、、和x=四种情况分别求出s与x的函数关系式，然后再求最大值即可．
【详解】
解：（1）在平移过程中，重叠部分的形状分别为：三角形，四边形（梯形、菱形），五边形；
（2）证明：分别过点B、D作于点E、于点F，
∴
∵两张纸条等宽，
∴．
在和中，
∴，
∵两张纸条都是矩形，，
∴ ．
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形；

（3）Ⅰ、如图：当时，重叠部分为三角形，如图所示，
∴，

∴．最大值为．

Ⅱ、如图：当时，重叠部分为梯形，如图所示，梯形的下底为，上底为，
∴，当时，s取最大值．

Ⅲ、当时，重叠部分为五边形，
．
此时．

Ⅳ、当时，重叠部分为菱形，
∴．

∴
∴s的最大值为．
【点睛】
本题考查了平移变换、等腰直角三角形的性质、菱形的判定以及运用二次函数求最值，考查知识点较多，因此灵活运用所学知识成为解答本题的关键．
4．（1）k=-3-a；对称轴x＝1；y轴交点(0，-3)；（2），顶点坐标(1，-5)；（3）-5≤a＜-4；（4）-1≤t≤2．
【解析】
【分析】
（1）将点P(2，-3)代入抛物线上，求得k用a表示的关系式；抛物线L的对称轴为直线，并求得抛物线与y轴交点；
（2）将点(3，3)代入抛物线的解析式，且k=-3-a，解得a=2，k=-5，即可求得抛物线解析式与顶点坐标；
（3）抛物线L顶点坐标(1，-a-3)，点C，P之间的部分与线段CP所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，这四个整点都在x=1这条直线上，且y的取值分别为-2、-1、0、1，可得1＜-a-3≤2，即可求得a的取值范围；
（4）分类讨论取a＞0与a＜0的情况进行讨论，找出的取值范围，即可求出t的取值范围．
【详解】
解：（1）∵将点P(2，-3)代入抛物线L：，
∴
∴k=-3-a；
抛物线L的对称轴为直线即x＝1；
将x=0代入抛物线可得：，故与y轴交点坐标为(0，-3)；
（2）∵L经过点(3，3)，将该点代入解析式中，
∴，且由（1）可得k=-3-a，
∴，解得a=2，k=-5，
∴L的表达式为；
将其表示为顶点式：，
∴顶点坐标为(1，-5)；
（3）解析式L的顶点坐标(1，-a-3)，
∵在点C，P之间的部分与线段CP所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，这四个整点都在x=1这条直线上，且y的取值分别为-2、-1、0、1，
∴1＜-a-3≤2，
∴-5≤a＜-4；
（4）①当a＜0时，∵，为保证，且抛物线L的对称轴为x=1，
∴就要保证的取值范围要在[-13]上，
即t≥-1且t+1≤3，解得-1≤t≤2；
②当a＞0时，抛物线开口向上，t≥3或t+1≤-1，解得：t≥3或t≤-2，但会有不符合题意的点存在，故舍去，
综上所述：-1≤t≤2．
【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．
5．（1），；（2）等腰直角三角形，见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）由三角形中位线定理及平行的性质可得PN与PM等于DE或CE的一半，又△ABC为等腰直角三角形，AD=AE，所以得PN=PM，且互相垂直；
（2）由旋转可推出，再利用PM与PN皆为中位线，得到PM=PN，再利用角度间关系推导出垂直即可；
（3）找到面积最大的位置作出图形，由（2）可知PM=PM，且PM⊥PN，利用三角形面积公式求解即可．
【详解】
（1），；
已知点，，分别为，，的中点，根据三角形的中位线定理可得
，，，
根据平行线性质可得，
在中，，，
可得，
即得，
故答案为：；．
（2）等腰直角三角形，理由如下：
由旋转可得，
又，
∴
∴，，
∵点，分别为，的中点
∴是的中位线
∴，且，
同理可证，且
∴，，，
∴，
，
∴，
即为等腰直角三角形．
（3）把绕点旋转的如图的位置，

此时，
且、的值最长，由（2）可知，
所以面积最大值为．
点睛】
本题主要考查三角形中位线的判定及性质、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定及性质、旋转的性质等相关知识，解题关键在于找到图形中各角度之间的数量关系．
6．（1）PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S△PMN最大＝．
【解析】
【分析】
（1）由已知易得，利用三角形的中位线得出，，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线得出得出，最后用互余即可得出位置关系；
（2）先判断出，得出，同（1）的方法得出，，即可得出，同（1）的方法由，即可得出结论；
（3）方法1：先判断出最大时，的面积最大，进而求出，，即可得出最大，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出最大时，的面积最大，而最大是，即可得出结论．
【详解】
解：（1）点，是，的中点，
，，
点，是，的中点，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，；
（2）是等腰直角三角形．
由旋转知，，
，，
，
，，
利用三角形的中位线得，，，
，
是等腰三角形，
同（1）的方法得，，
，
同（1）的方法得，，
，
，

，
，
，
，
是等腰直角三角形；
（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，是等腰直角三角形，

最大时，的面积最大，
且在顶点上面，
最大，
连接，，
在中，，，
，
在中，，，
，
．
方法2：由（2）知，是等腰直角三角形，，
最大时，面积最大，
点在的延长线上，
，
，
．
【点睛】
此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出，，解（2）的关键是判断出，解（3）的关键是判断出最大时，的面积最大．
7．（1）证明见解析;（2）① 补图见解析;②证明见解析.
【解析】
【分析】
【详解】
（1）证明：∵AB=AC，AD为BC边上的高，∠BAD=20°，
∴∠BAC=2∠BAD=40°．　
∵CF⊥AB，
∴∠AFC=90°．
∵E为AC中点，
∴EF=EA=．
∴∠AFE=∠BAC=40°．
（2）① 当点P在边AB上是，补全图形如图

当点P在AB的延长线上是，补全图形如图

②Ⅰ、当点P在边AB上时，
证明：想法1:如图3，

连接DE.
∵AB=AC，AD为BC边上的高，
∴D为BC中点．
∵E为AC中点，
∴ED∥AB，
∴∠PED=∠APE.
∵∠ADC=90∘，E为AC中点，
∴
同理可证
∴AE=NE=CE=DE.
∴A，N，D，C在以点E为圆心，AC为直径的圆上，
∴∠PED=2∠MAD.
∴∠APE=2∠MAD.
想法2:设∠MAD=α，∠DAC=β，
∵CN⊥AM，
∴∠ANC=90∘.
∵E为AC中点，
∴AE=NE=AC.
∴∠ANE=∠NAC=∠MAD+∠DAC=α+β.
∴∠NEC=∠ANE+∠NAC=2α+2β.
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAC=2∠DAC=2β.
∴∠APE=∠PEC−∠BAC=2α.
∴∠APE=2∠MAD.
Ⅱ、当点P在AB的延长线上时
证明：想法1:

连接DE．
∵AB=AC，AD为BC边上的高，
∴D为BC中点．
∵E为AC中点，
∴ED∥AB，
∴∠1=∠APE．
∵∠ADC=90°，E为AC中点
∴．
同理可证．
∴AE=NE=CE=DE．
∴A，N，D，C在以点E为圆心，AC为直径的圆上．
∴∠1=2∠MAD．
∴∠APE=2∠MAD．
想法2:设∠MAD=α，∠DAC=β，
∵CN⊥AM，
∴∠ANC=90∘.
∵E为AC中点，
∴AE=NE=AC.
∴∠ANE=∠NAC=∠MAD+∠DAC=α+β.
∴∠NEC=∠ANE+∠NAC=2α+2β.
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAC=2∠DAC=2β.
∴∠APE=∠PEC−∠BAC=2α.
∴∠APE=2∠MAD.
想法3：在NE上取点Q，使∠NAQ=2∠MAD，

即∠3=∠4.

即

∵E为AC的中点，

8．（1）（2）①的最大值是，②﹣2或﹣.
【解析】
【分析】
【详解】
（1）解：根据题意得A（﹣4，0），C（0，2），
∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点，
∴ ，
∴ ，
∴y=﹣x2﹣x+2；
（2）解：①令y=0，即，
∴x1=﹣4，x2=1，
∴B（1，0），
如图1，过D作DM⊥x轴交AC于M，过B作BN⊥x轴交于AC于N，

∴DM∥BN，
∴△DME∽△BNE，
∴ = = ，
设D（a，），
∴M（a，a+2），
∵B（1.0），
∴N（1，），
∴ = = （a+2）2+ ；
∴当a=－2时，的最大值是；
②∵A（﹣4，0），B（1，0），C（0，2），
∴AC=2 ，BC=，AB=5，
∴AC2+BC2=AB2 ，
∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，
∴P（﹣，0），
∴PA=PC=PB=，
∴∠CPO=2∠BAC，
∴tan∠CPO=tan（2∠BAC）=，
过作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G，
情况一：如图，

∵∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，
∴∠CDG=∠BAC，
∴tan∠CDG=tan∠BAC=，
即，
令D（a，），
∴DR=﹣a，RC=，
∴ ，
∴a1=0（舍去），a2=﹣2，
∴xD=﹣2，
情况二，∵∠FDC=2∠BAC，
∴tan∠FDC= ，
设FC=4k，
∴DF=3k，DC=5k，
∵tan∠DGC= ，
∴FG=6k，
∴CG=2k，DG=3k，
∴RC= k，RG=k，
DR=3k﹣k=k，
∴ = = ，
∴a1=0（舍去），a2=，
点D的横坐标为﹣2或﹣．
9．（1）1；（2）①、 ；②，；（3），
【解析】
【分析】
（1）先求出的相关函数，然后代入求解，即可得到答案；
（2）先求出二次函数的相关函数，①分为m＜0和m≥0两种情况将点B的坐标代入对应的关系式求解即可；
②当-3≤x＜0时，y=x2-4x+，然后可 此时的最大值和最小值，当0≤x≤3时，函数y=-x2+4x-，求得此时的最大值和最小值，从而可得到当-3≤x≤3时的最大值和最小值；
（3）首先确定出二次函数y=-x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值，然后结合函数图象可确定出n的取值范围．
【详解】
解：（1）根据题意，
一次函数的相关函数为，
∴把点代入，则
，
∴；
（2）根据题意，二次函数的相关函数为，
①当m＜0时，将B（m，）代入y=x2-4x+得m2-4m+，
解得：m=2+（舍去）或m=．
当m≥0时，将B（m，）代入y=-x2+4x-得：-m2+4m-=，
解得：m=2+或m=2．
综上所述：m=或m=或m=．
②当-3≤x＜0时，y=x2-4x+，抛物线的对称轴为x=2，此时y随x的增大而减小，
∴当时，有最大值，即，
∴此时y的最大值为．
当0≤x≤3时，函数y=-x2+4x，抛物线的对称轴为x=2，
当x=0有最小值，最小值为，
当x=2时，有最大值，最大值y=．
综上所述，当-3≤x≤3时，函数y=-x2+4x的相关函数的最大值为，最小值为；
（3）如图1所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点．

∴当x=2时，y=1，即-4+8+n=1，解得n=-3．
如图2所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．

∵抛物线y=x2-4x-n与y轴交点纵坐标为1，
∴-n=1，解得：n=-1．
∴当-3＜n≤-1时，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．
如图3所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．

∵抛物线y=-x2+4x+n经过点（0，1），
∴n=1．
如图4所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．

∵抛物线y=x2-4x-n经过点M（，1
∴+2-n=1，解得：n=．
∴1＜n≤时，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．
综上所述，n的取值范围是-3＜n≤-1或1＜n≤．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数y=-x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值是解题的关键．
10．（1）1；（2）y=；（3）PD的长为±1或．
【解析】
试题分析：（1）根据矩形ABCD ， A、P、F在一条直线上，且PF⊥BD，可得， ，得一，从而可得 ；
（2先证明∽ ，从而得到 ，由AD//BC ，可得，从而根据三角函数可得 ，由得 ，代入，即可得；
（3）分∠CPF的∠FPE的内部与外部两种情况进行讨论即可得.
试题解析：（1）∵矩形ABCD ，∴，
∴ ， ∵A、P、F在一条直线上，且PF⊥BD，
∴ ， ∴，
∴，∵，
∴ ， ∴，
∴ ；

（2）∵PF⊥BP ，∴，
∴ ，∵ ，∴，
∴， 又∵∠BAP =∠FPE，
∴∽ ，∴ ，
∵AD//BC ， ∴，
∴ ， 即 ，
∵ ， ∴ ，
∴，
∴；
（3）∠CPF=∠BPE，
①如图所示，当点F在CE上时，
∵∠BPF=∠FPD=90°，∴∠DPC=∠FPE，
∵∠FPE=∠BAP，∴∠DPC=∠BAP，
∵AB//CD，∴∠ABD=∠CDB，
∴△PAB∽△CPD，
∴PB：CD=AB：PD，
∴PB·PD=CD·AB，
∴x（）=2×2，
∴x=；

②如图所示，当点F在EC延长线上时，
过点P作PN⊥CD于点N，在CD上取一点M，连接PM，使∠MPF=∠CPF，
则有PC：PM=CH：MH，
∵∠BPF=∠DPF=90°，∴∠BPC=∠DPM，
∵∠BPE=∠CPF，∴∠BPE=∠EPF，
∵∠BAP=∠FPE，∴∠BAP=∠DPM，
∵∠ABD=∠BDC，
∴△PAB∽△MPD，
∴PB：MD=AB：PD，
由PD=x，tan∠PDM=tan∠PFC=2，
易得：DN= ，PN=，CN=2-，
PH=2x，FH= ，CH=2-x，
由PB：MD=AB：PD可得MD= ，从而可得MN，
在Rt△PCN中利用勾股定理可得PC，
由PC：PM=CH：MH可得PM，
在在Rt△PMN中利用勾股定理可得关于x 的方程，
解得x= ，

综上：PD的长为：或 .
【点睛】本题考查了相似综合题，涉及到的知识点有相似三角形的判定与性质，三角函数的应用，三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例等，解题的关键是根据图形正确地确定相似的三角形，添加适当的辅助线等.
11．（1）①详见解析；②30°；（2）
【解析】
【分析】
（1）①过G作MN⊥CD于N，与AB交于点M，则MN∥AD，证明AM=BM，再证明四边形ADNM是矩形，得MN垂直平分CD，再根据垂直平分线定理得结论；
②连接CF，证明CF=2CD，延长CD至H，使得DH=CD，连接EH，则CF=CH，由垂直平分线的性质得CF=HF=CH，得∠FCD=60°，由余角性质得∠BCF的度数，进而求得∠GCD，再根据三角形内角和定理得结果；
（2）过N点作NK⊥AB于点K，得四边形AKND是矩形，证明△ABP≌△KNM，得AP=KM，不妨设BM=MP=x，则AM=6-x证明△APM∽△DQP，列出x的方程，求得x的值便可得出结论．
【详解】
解：（1）①如图1，过G作MN⊥CD于N，与AB交于点M，则MN∥AD，
∵CE垂直平分BF，
∴GB=GF，
∴AM=BM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ADN=∠MND=90°，
∴四边形ADNM是矩形，
∴DN=AM=AB=CD，
∵MN垂直平分CD，
∴DG=CD；
②连接CF，如图1，
∵CE垂直平分BF，
∴CF=CB．
∴∠BCG=∠FCG=∠BCF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠CDF=∠BCD=90°，AD∥BC，
∵BC=2AB，
∴CF=2CD，
延长CD至H，使得DH=CD，连接EH，则CF=CH，
∴AD垂直平分CH，
∴FH=FC=CH，
∴∠FCD=60°，
∴∠BCF=90°-∠FCD=30°，
∴∠BCG=∠FCG=15°，
∴∠GDC=∠GCD=∠BCD-∠BCG=75°，
∴∠CGD=180°-75°×2=30°；

（2）过N点作NK⊥AB于点K，得四边形AKND是矩形，
∴AB=AD=MN，∠A=∠MKN=90°，
∵MN⊥BP，
∴∠ABP+∠KMN=∠KMN+∠KNM=90°，
∴∠ABP=∠KNM，
∴△ABP≌△KNM（ASA），
∴AP=KM，
∵MN垂直平分BP
∴MB=MP，
不妨设BM=MP=x，则AM=6-x，
∴AP=＝，
∴DP=，
∵Q是CD的中点，
∴DQ=3，
∵PQ⊥MP，∠A=∠D=90°，
∴∠APM+∠AMP=∠APM+∠DPQ=90°，
∴∠AMP=∠DPQ，
∴△APM∽△DQP，
∴，即，
解得，x=6或，
∴CN=BK=AB-AM-MK
∴CN=0或．
舍去CN=0，
∴CN=．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，相似三角形的性质与判定，难度中等，第（2）题的关键在证明相似三角形与全等三角形．
12．（1）4；（2）①（3，），②（3， ）；（3， ）；（3，- ）
【解析】
【分析】
（1）由点A的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k值；
（2）①设AC，BD交于点M，利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出点B的坐标，结合AC⊥x轴，BD⊥y轴可得出BD，AM的长，利用三角形的面积公式结合△ABD的面积为4可求出a的值，进而可得出点B的坐标；
②设点E的坐标为（m，n），分AB为对角线、AC为对角线以及BC为对角线三种情况考虑，利用平行四边形的性质（对角线互相平分）可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出点E的坐标．
【详解】
解：（1）∵函数y=（x＞0）的图象经过点A（1，4），
∴k=1×4=4．
（2）①设AC，BD交于点M，如图1所示．

∵点B的横坐标为a（a＞1），点B在y=的图象上，
∴点B的坐标为（a，）．
∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，
∴BD=a，AM=AC-CM=4-．
∵△ABD的面积为4，
∴BD•AM=4，即a（4-）=8，
∴a=3，
∴点B的坐标为（3，）
②存在，设点E的坐标为（m，n）．
分三种情况考虑，如图2所示．

（i）当AB为对角线时，∵A（1，4），B（3，），C（1，0），
∴ ，解得：，
∴点E1的坐标为（3， ）；
（ii）当AC为对角线时，∵A（1，4），B（3，），C（1，