2020-2021初三数学一模试题分类汇编——二次函数综合及详细答案.doc

2020-2021初三数学一模试题分类汇编——二次函数综合及详细答案

一、二次函数
1．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3），顶点为G．
（1）求抛物线和直线AC的解析式；
（2）如图，设E（m，0）为x轴上一动点，若△CGE和△CGO的面积满足S△CGE＝S△CGO，求点E的坐标；
（3）如图，设点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，运动时间为ts，点M为射线AC上一动点，过点M作MN∥x轴交抛物线对称轴右侧部分于点N．试探究点P在运动过程中，是否存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；直线AC解析式为：y＝3x+3；（2）点E坐标为（1，0）或（﹣7，0）；（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为或或．
【解析】
【分析】
（1）用待定系数法即能求出抛物线和直线AC解析式．
（2）△CGE与△CGO虽然有公共底边CG，但高不好求，故把△CGE构造在比较好求的三角形内计算．延长GC交x轴于点F，则△FGE与△FCE的差即为△CGE．
（3）设M的坐标（e，3e+3），分别以M、N、P为直角顶点作分类讨论，利用等腰直角三角形的特殊线段长度关系，用e表示相关线段并列方程求解，再根据e与AP的关系求t的值．
【详解】
（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3），
, 解得：，
∴抛物线解析式为：y=-x2+2x+3，
设直线AC解析式为y=kx+3，
∴-k+3=0，得：k=3，
∴直线AC解析式为：y=3x+3.
（2）延长GC交x轴于点F，过G作GH⊥x轴于点H，

∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴G（1，4），GH=4，
∴S△CGO=OC•xG=×3×1=，
∴S△CGE=S△CGO=×=2，
①若点E在x轴正半轴上，
设直线CG：y=k1x+3，
∴k1+3=4  得：k1=1，
∴直线CG解析式：y=x+3，
∴F（-3，0），
∵E（m，0），
∴EF=m-（-3）=m+3，
∴S△CGE=S△FGE-S△FCE=EF•GH-EF•OC=EF•（GH-OC）=（m+3）•（4-3）=，
∴=2，解得：m=1，
∴E的坐标为（1，0）.
②若点E在x轴负半轴上，则点E到直线CG的距离与点（1，0）到直线CG距离相等，
即点E到F的距离等于点（1，0）到F的距离，
∴EF=-3-m=1-（-3）=4，
解得：m=-7  即E（-7，0），
综上所述，点E坐标为（1，0）或（-7，0）
（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，
设M（e，3e+3），则yN=yM=3e+3，
①若∠MPN=90°，PM=PN，如图2，过点M作MQ⊥x轴于点Q，过点N作NR⊥x轴于点R，

∵MN∥x轴，
∴MQ=NR=3e+3，
∴Rt△MQP≌Rt△NRP（HL），
∴PQ=PR，∠MPQ=∠NPR=45°，
∴MQ=PQ=PR=NR=3e+3，
∴xN=xM+3e+3+3e+3=7e+6，即N（7e+6，3e+3），
∵N在抛物线上，
∴-（7e+6）2+2（7e+6）+3=3e+3，
解得：e1=-1（舍去），e2=−，
∵AP=t，OP=t1，OP+OQ=PQ，
∴t-1-e=3e+3，
∴t=4e+4=，
②若∠PMN=90°，PM=MN，如图3，

∴MN=PM=3e+3，
∴xN=xM+3e+3=4e+3，即N（4e+3，3e+3），
∴-（4e+3）2+2（4e+3）+3=3e+3，
解得：e1=-1（舍去），e2=−，
∴t=AP=e-（-1）=−+1＝，
③若∠PNM=90°，PN=MN，如图4，

∴MN=PN=3e+3，N（4e+3，3e+3），
解得：e=−，
∴t=AP=OA+OP=1+4e+3=，
综上所述，存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为或或．
【点睛】
本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标系中三角形面积计算，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，考查了分类讨论和方程思想．第（3）题根据等腰直角三角形的性质找到相关线段长的关系是解题关键，灵活运用因式分解法解一元二次方程能简便运算．

2．如图，已知抛物线经过A（－3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；
（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（ E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．
①求S与m的函数关系式；
②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标； 若不存在，请说明理由．
【答案】（1）.
（2）.
（3）①.
②当m=﹣2时，S最大，最大值为1，此时点E的坐标为（﹣2，2）.
【解析】
【分析】
（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可.
（2）根据BC是定值，得到当PB+PC最小时，△PBC的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可.
（3）设点E的横坐标为m，表示出E（m，2m+6），F（m，），最后表示出EF的长，从而表示出S于m的函数关系，然后求二次函数的最值即可.
【详解】
解：（1）∵抛物线经过A（－3，0），B（1，0），
∴可设抛物线交点式为.
又∵抛物线经过C（0，3），∴.
∴抛物线的解析式为：，即.
（2）∵△PBC的周长为：PB+PC+BC，且BC是定值.
∴当PB+PC最小时，△PBC的周长最小.
∵点A、点B关于对称轴I对称，
∴连接AC交l于点P，即点P为所求的点.

∵AP=BP，∴△PBC的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC.
∵A（－3，0），B（1，0），C（0，3），∴AC=3，BC=.
∴△PBC的周长最小是：.
（3）①∵抛物线顶点D的坐标为（﹣1，4），A（﹣3，0），
∴直线AD的解析式为y=2x+6
∵点E的横坐标为m，∴E（m，2m+6），F（m，）
∴.
∴.
∴S与m的函数关系式为.
②，
∴当m=﹣2时，S最大，最大值为1，此时点E的坐标为（﹣2，2）.

3．（12分）如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m，宽是4 m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3 m，到地面OA的距离为m.
（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？

【答案】（1）抛物线的函数关系式为y=x2+2x+4，拱顶D到地面OA的距离为10 m；(2)两排灯的水平距离最小是4 m．
【解析】
【详解】
试题分析：根据点B和点C在函数图象上，利用待定系数法求出b和c的值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标，得出最大值；根据题意得出车最外侧与地面OA的交点为（2,0）（或（10,0）），然后求出当x=2或x=10时y的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过；将y=8代入函数，得出x的值，然后进行做差得出最小值．
试题解析：（1）由题知点在抛物线上
所以，解得，所以
所以，当时，
答：，拱顶D到地面OA的距离为10米
（2）由题知车最外侧与地面OA的交点为（2,0）（或（10,0））
当x=2或x=10时，，所以可以通过
（3）令，即，可得，解得

答：两排灯的水平距离最小是
考点：二次函数的实际应用．

4．如图，已知二次函数的图象过点O（0，0）．A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x＝3．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若M是OB上的一点，作MN∥AB交OA于N，当△ANM面积最大时，求M的坐标；
（3）P是x轴上的点，过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q．过A作AC⊥x轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标．

【答案】（1）；（2）当t＝3时，S△AMN有最大值3，此时M点坐标为（3，0）；（3）P点坐标为（14，0）或（﹣2，0）或（4，0）或（8，0）．
【解析】
【分析】
（1）先利用抛物线的对称性确定B（6，0），然后设交点式求抛物线解析式；
（2）设M（t，0），先其求出直线OA的解析式为直线AB的解析式为y=2x-12，直线MN的解析式为y=2x-2t，再通过解方程组得N（），接着利用三角形面积公式，利用S△AMN=S△AOM-S△NOM得到然后根据二次函数的性质解决问题；
（3）设Q，根据相似三角形的判定方法，当时，△PQO∽△COA，则；当时，△PQO∽△CAO，则，然后分别解关于m的绝对值方程可得到对应的P点坐标．
【详解】
解：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线x＝3，
∴B点坐标为（6，0），
设抛物线解析式为y＝ax（x﹣6），
把A（8，4）代入得a•8•2＝4，解得a＝，
∴抛物线解析式为y＝x（x﹣6），即y＝x2﹣x；
（2）设M（t，0），
易得直线OA的解析式为y＝x，
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把B（6，0），A（8，4）代入得，解得，
∴直线AB的解析式为y＝2x﹣12，
∵MN∥AB，
∴设直线MN的解析式为y＝2x+n，
把M（t，0）代入得2t+n＝0，解得n＝﹣2t，
∴直线MN的解析式为y＝2x﹣2t，
解方程组得，则，
∴S△AMN＝S△AOM﹣S△NOM

，
当t＝3时，S△AMN有最大值3，此时M点坐标为（3，0）；
（3）设，
∵∠OPQ＝∠ACO，
∴当时，△PQO∽△COA，即，
∴PQ＝2PO，即，
解方程得m1＝0（舍去），m2＝14，此时P点坐标为（14，0）；
解方程得m1＝0（舍去），m2＝﹣2，此时P点坐标为（﹣2，0）；
∴当时，△PQO∽△CAO，即，
∴PQ＝PO，即，
解方程得m1＝0（舍去），m2＝8，此时P点坐标为（8，0）；
解方程得m1＝0（舍去），m2＝4，此时P点坐标为（4，0）；
综上所述，P点坐标为（14，0）或（﹣2，0）或（4，0）或（8，0）．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；灵活运用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．

5．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，P为线段BC上一点过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，当△CDP为等腰三角形时，求点P的坐标；
（3）如图2，抛物线的顶点为E，EF⊥x轴于点F，N是线段EF上一动点，M（m，0）是x轴一个动点，若∠MNC＝90°，请求出m的取值范围．

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点P的坐标为（1，2）或（2，1）或（3﹣）；（3）
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；
（2）由待定系数法即可求得直线BC的解析式，再设P（t，3﹣t），即可得D（t，﹣t2+2t+3），即可求得PD的长，然后分三种情况讨论，求点P的坐标；
（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列出关系式m＝（n﹣）2﹣，然后根据n的取值得到最小值．
【详解】
解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，A（﹣1，0），C（0，3），
∴，解得b＝2，c＝3．
故该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3．
（2）令﹣x2+2x+3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
即B（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b′，
则，
解得：k=-1,b’=3
故直线BC的解析式为y＝﹣x+3；
∴设P（t，3﹣t），
∴D（t，﹣t2+2t+3），
∴PD＝（﹣t2+2t+3）﹣（3﹣t）＝﹣t2+3t，
∵OB＝OC＝3，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴∠OCB＝45°，
当CD＝PC时，则∠CPD＝∠CDP，
∵PD∥y轴，
∴∠CPD＝∠OCB＝45°，
∴∠CDP＝45°，
∴∠PCD＝90°，
∴直线CD的解析式为y＝x+3，
解得或
∴D（1，4），
此时P（1，2）；
当CD＝PD时，则∠DCP＝∠CPD＝45°，
∴∠CDP＝90°，
∴CD∥x轴，
∴D点的纵坐标为3，
代入y＝﹣x2+2x+3得，3＝﹣x2+2x+3，
解得x＝0或x＝2，
此时P（2，1）；
当PC＝PD时，∵PC＝t，
∴t＝﹣t2+3t，
解得t＝0或t＝3﹣，
此时P（3﹣，）；
综上，当△CDP为等腰三角形时，点P的坐标为（1，2）或（2，1）或（3﹣，）
（3）如图2，由（1）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴E（1，4），
设N（1，n），则0≤n≤4，
取CM的中点Q（，），
∵∠MNC＝90°，
∴NQ＝CM，
∴4NQ2＝CM2，
∵NQ2＝（1﹣）2+（n﹣）2，
∴4[（1﹣）2+（n﹣）2]＝m2+9，
整理得，m＝（n﹣）2﹣，
∵0≤n≤4，
当n＝时，m最小值＝﹣，n＝4时，m＝5，
综上，m的取值范围为：﹣≤m≤5．

【点睛】
此题考查了待定系数法求函数的解析式、平行线的性质、二次函数的最值问题、判别式的应用以及等腰直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．

6．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2＝0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设x1，x2是方程两根，且，求k的值．
【答案】（1）k≥﹣；（2）k＝．
【解析】
【分析】
（1）根据方程有两个实数根可以得到△≥0，从而求得k的取值范围；（2）利用根与系数的关系将两根之和和两根之积代入代数式求k的值即可.
【详解】
解：（1）△＝（2k+1）2﹣4k2＝4k2+4k+1﹣4k2＝4k+1
∵△≥0
∴4k+1≥0
∴k≥﹣；
（2∵x1，x2是方程两根，
∴x1+x2＝2k+1
x1x2＝k2，
又∵，
∴，
即 ，
解得：，
又∵k≥﹣ ，
即：k＝．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，牢记“两根之和等于 ，两根之积等于”是解题的关键.

7．如图1，二次函数的图像与轴交于两点(点在点的左侧)，与轴交于点.

（1）求二次函数的表达式及点、点的坐标;
（2）若点在二次函数图像上，且，求点的横坐标;
（3）将直线向下平移，与二次函数图像交于两点(在左侧)，如图2，过作轴，与直线交于点，过作轴，与直线交于点，当的值最大时，求点的坐标.
【答案】1）y＝，A（﹣1，0），B（4，0）；（2）D点的横坐标为2+2，2﹣2，2；（3）M（，﹣）
【解析】
【分析】
（1）求出a，即可求解；
（2）求出直线BC的解析式，过点D作DH∥y轴，与直线BC交于点H，根据三角形面积的关系求解；
（3）过点M作MG∥x轴，交FN的延长线于点G，设M（m，m2﹣m﹣3），N（n，n2﹣n﹣3），判断四边形MNFE是平行四边形，根据ME＝NF，求出m+n＝4，再确定ME+MN＝﹣m2+3m+5﹣m＝﹣（m﹣）2+，即可求M；
【详解】
（1）y＝ax2﹣3ax﹣4a与y轴交于点C（0，﹣3），
∴a＝，
∴y＝x2﹣x﹣3，
与x轴交点A（﹣1，0），B（4，0）；
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝x﹣3；
过点D作DH∥y轴，与直线BC交于点H，
设H（x，x﹣3），D（x，x2﹣x﹣3），
∴DH＝|x2﹣3x|，
∵S△ABC＝，
∴S△DBC＝＝6，
∴S△DBC＝2×|x2﹣3x|＝6，
∴x＝2+2，x＝2﹣2，x＝2；
∴D点的横坐标为2+2，2﹣2，2；

（3）过点M作MG∥x轴，交FN的延长线于点G，
设M（m，m2﹣m﹣3），N（n，n2﹣n﹣3），
则E（m，m﹣3），F（n，n﹣3），
∴ME＝﹣m2+3m，NF＝﹣n2+3n，
∵EF∥MN，ME∥NF，
∴四边形MNFE是平行四边形，
∴ME＝NF，
∴﹣m2+3m＝﹣n2+3n，
∴m+n＝4，
∴MG＝n﹣m＝4﹣2m，
∴∠NMG＝∠OBC，
∴cos∠NMG＝cos∠OBC＝,
∵B（4，0），C（0，﹣3），
∴OB＝4，OC＝3，
在Rt△BOC中，BC＝5，
∴MN＝（n﹣m）＝（4﹣2m）＝5﹣m，
∴ME+MN＝﹣m2+3m+5﹣m＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝时，ME+MN有最大值，
∴M（，﹣）
【点睛】
本题考查二次函数图象及性质，一次函数图象及性质；熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，结合三角形的性质解题.

8．已知：二次函数(a为常数)．
(1)请写出该二次函数图象的三条性质；
(2)在同一直角坐标系中，若该二次函数的图象在的部分与一次函数的图象有两个交点，求的取值范围．
【答案】(1)见解析；(2)．
【解析】
【分析】
(1)可从开口方向、对称轴、最值等角度来研究即可；
(2) 先由二次函数的图象与一次函数的图象有两个交点，即关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，由此可得，再根据二次函数的图象在的部分与一次函数的图象有两个交点，也就是说二次函数的图象与轴的部分有两个交点，画出函数的图象，结合图象，可知当时，，将x=4代入求得a的取值范围，由此即可求得答案.
【详解】
(1)①图象开口向上；②图象的对称轴为直线；③当时，随的增大而增大；④当时，随的增大而减小；⑤当时，函数有最小值；
(2)∵二次函数的图象与一次函数的图象有两个交点，
∴，即，
，解得，
∵二次函数的图象在的部分与一次函数的图象有两个交点，
∴二次函数的图象与轴的部分有两个交点，
画出二次函数的图象，结合图象，
可知当时，，

∴当时，，得，
∴当二次函数的图象在的部分与一次函数的图象有两个交点时，
的取值范围为．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合题，涉及了二次函数的性质，二次函数图象与一次函数图象的交点问题，二次函数的图象与x轴交点问题，正确进行分析并运用数形结合思想、灵活运用相关知识是解题的关键.

9．已知函数（为常数）
（1）当，
①点在此函数图象上，求的值；
②求此函数的最大值．
（2）已知线段的两个端点坐标分别为，当此函数的图象与线段只有一个交点时，直接写出的取值范围．
（3）当此函数图象上有4个点到轴的距离等于4，求的取值范围．
【答案】（1）①②；（2），时，图象与线段只有一个交点；（3）函数图象上有4个点到轴的距离等于4时，或．
【解析】
【分析】
（1）①将代入；②当时，当时有最大值为5；当时，当时有最大值为；故函数的最大值为；
（2）将点代入中，得到，所以时，图象与线段只有一个交点；将点）代入和中，得到，
所以时图象与线段只有一个交点；
（3）当时，，得到；当时，，得到，当时，，．
【详解】
解：（1）当时，
，
①将代入，
∴；
②当时，当时有最大值为5；
当时，当时有最大值为；
∴函数的最大值为；
（2）将点代入中，
∴，
∴时，图象与线段只有一个交点；
将点代入中，
∴，
将点代入中，
∴，
∴时图象与线段只有一个交点；
综上所述：，时，图象与线段只有一个交点；
（3）当时，，
，∴；
当时，，
，∴，
当时，，
；
∴函数图象上有4个点到轴的距离等于4时，或．
【点睛】
考核知识点：二次函数综合.数形结合分析问题是关键

10．在平面直角坐标系xOy中，顶点为A的抛物线与x轴交于B、C两点，与y轴交于点D，已知A(1，4)，B(3，0)．
(1)求抛物线对应的二次函数表达式；
(2)探究：如图1，连接OA，作DE∥OA交BA的延长线于点E，连接OE交AD于点F，M是BE的中点，则OM是否将四边形OBAD分成面积相等的两部分？请说明理由；
(3)应用：如图2，P(m，n)是抛物线在第四象限的图象上的点，且m+n＝﹣1，连接PA、PC，在线段PC上确定一点M，使AN平分四边形ADCP的面积，求点N的坐标．提示：若点A、B的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则线段AB的中点坐标为(，)．

【答案】(1)y＝﹣x2+2x﹣3；(2)OM将四边形OBAD分成面积相等的两部分，理由见解析；(3)点N(，﹣)．
【解析】
【分析】
(1)函数表达式为：y＝a(x﹣1)2+4，将点B坐标的坐标代入上式，即可求解；
(2)利用同底等高的两个三角形的面积相等，即可求解；
(3)由(2)知：点N是PQ的中点，根据C,P点的坐标求出直线PC的解析式，同理求出AC,DQ的解析式，并联立方程求出Q点的坐标，从而即可求N点的坐标．
【详解】
(1)函数表达式为：y＝a(x﹣1)2+4，
将点B坐标的坐标代入上式得：0＝a(3﹣1)2+4，
解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x﹣3；
(2)OM将四边形OBAD分成面积相等的两部分，理由：
如图1，∵DE∥AO，S△ODA＝S△OEA，
S△ODA+S△AOM＝S△OEA+S△AOM，即：S四边形OMAD＝S△OBM，
∴S△OME＝S△OBM，
∴S四边形OMAD＝S△OBM；
(3)设点P(m，n)，n＝﹣m2+2m+3，而m+n＝﹣1，
解得：m＝﹣1或4，故点P(4，﹣5)；
如图2，故点D作QD∥AC交PC的延长线于点Q，

由(2)知：点N是PQ的中点，
设直线PC的解析式为y=kx+b，
将点C(﹣1，0)、P(4，﹣5)的坐标代入得：，
解得：，
所以直线PC的表达式为：y＝﹣x﹣1…①，
同理可得直线AC的表达式为：y＝2x+2，
直线DQ∥CA，且直线DQ经过点D(0，3)，
同理可得直线DQ的表达式为：y＝2x+3…②，
联立①②并解得：x＝﹣，即点Q(﹣，)，
∵点N是PQ的中点，
由中点公式得：点N(，﹣)．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形面积的计算等，其中(3)直接利用(2)的结论，即点N是PQ的中点，是本题解题的突破点．

11．如图①，抛物线与x轴交于A、B两点(点A位于点B的左侧)，与y轴交于点C，已知的面积为6.
(1)求的值；
(2)求外接圆圆心的坐标；
(3)如图②，P是抛物线上一点，点Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，的面积为，且，求点Q的坐标.

【答案】(1)-3；(2)坐标(-1，1)；(3)Q.
【解析】
【分析】
（1）利用抛物线解析式得到A、B、C三点坐标，然后利用三角形面积公式列出方程解出a；（2）利用第一问得到A、B、C三点坐标，求出AC解析式，找到AC垂直平分线的解析式，与AB垂直平分线解析式联立，解出x、y即为圆心坐标；（3）过点P做PD⊥x轴，PD=d，发现△ABP与△QBP的面积相等，得到A、D两点到PB得距离相等，可得，求出PB解析式，与二次函数解析式联立得到P点坐标，又易证，得到BQ=AP=，设出Q点坐标，点与点的距离列出方程，解出Q点坐标即可
【详解】
(1)解：由题意得
由图知：
所以A()，,
=6

∴
(2)由(1)得A()，,
∴直线AC得解析式为：
AC中点坐标为
∴AC的垂直平分线为：
又∵AB的垂直平分线为：
∴ 得
外接圆圆心的坐标(-1，1).
(3)解：过点P做PD⊥x轴
由题意得：PD=d，

∴
=2d
∵的面积为
∴，即A、D两点到PB得距离相等
∴
设PB直线解析式为;过点
∴
∴易得
所以P(-4,-5),
由题意及
易得：
∴BQ=AP=
设Q(m，-1)()
∴

∴Q.
【点睛】
本题考查二次函数综合性问题，涉及到一次函数、三角形外接圆圆心、全等三角形等知识点，第一问关键在于用a表示出A、B、C三点坐标；第二问关键在于找到AC垂直平分线的解析式，与AB垂直平分线解析式；第三问关键在于能够求出PB的解析式

12．抛物线与x轴交于A，B两点（OA＜OB），与y轴交于点C．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点E也从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设点P的运动时间为t秒（0＜t＜2）．
①过点E作x轴的平行线，与BC相交于点D（如图所示），当t为何值时，的值最小，求出这个最小值并写出此时点E，P的坐标；

②在满足①的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F，使△EFP为直角三角形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）A（2，0），B（4，0），C（0，2）；（2）①t=1时，有最小值1，此时OP=2，OE=1，∴E（0，1），P（2，0）；②F（3，2），（3，7）．
【解析】
试题分析：（1）在抛物线的解析式中，令y=0，令x=0，解方程即可得到结果；
（2）①由题意得：OP=2t，OE=t，通过△CDE∽△CBO得到，即，求得有最小值1，即可求得结果；
②存在，求得抛物线的对称方程为x=3，设F（3，m），当△EFP为直角三角形时，①当∠EPF=90°时，②当∠EFP=90°时，③当∠PEF=90°时，根据勾股定理列方程即可求得结果．
试题解析：（1）在抛物线的解析式中，令y=0，即，解得：，，∵OA＜OB，∴A（2，0），B（4，0），在抛物线的解析式中，令x=0，得y=2，∴C（0，2）；
（2）①由题意得：OP=2t，OE=t，∵DE∥OB，∴△CDE∽△CBO，∴，即，∴DE=4﹣2t，
∴===，∵0＜t＜2，始终为正数，且t=1时，有最大值1，∴t=1时，有最小值1，即t=1时，有最小值1，此时OP=2，OE=1∴E（0，1），P（2，0）；
②存在，∵抛物线的对称轴方程为x=3，设F（3，m），∴，=，=，
当△EFP为直角三角形时，
①当∠EPF=90°时，，即，解得：m=2，
②当∠EFP=90°时，，即，解得；m=0或m=1，不合题意舍去，∴当∠EFP=90°时，这种情况不存在，
③当∠PEF=90°时，，即，解得：m=7，
综上所述，F（3，2），（3，7）．
考点：1．二次函数综合题；2．动点型；3．最值问题；4．二次函数的最值；5．分类讨论；6．压轴题．

13．如图，抛物线与x轴交于点A（，0）、点B（2，0），与y轴交于点C（0，1），连接BC．

（1）求抛物线的函数关系式；
（2）点N为抛物线上的一个动点，过点N作NP⊥x轴于点P，设点N的横坐标为t（），求△ABN的面积S与t的函数关系式；
（3）若且时△OPN∽△COB，求点N的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）（，）或（1，2）．
【解析】
试题分析：（1）可设抛物线的解析式为，用待定系数法就可得到结论；
（2）当时，点N在x轴的上方，则NP等于点N的纵坐标，只需求出AB，就可得到S与t的函数关系式；
（3）由相似三角形的性质可得PN=2PO．而PO=，需分和0＜t＜2两种情况讨论，由PN=2PO得到关于t的方程，解这个方程，就可得到答案．
试题解析：（1）设抛物线的解析式为，把C（0，1）代入可得：，∴，∴抛物线的函数关系式为：，即；
（2）当时，＞0，∴NP===，
∴S=AB•PN==；
（3）∵△OPN∽△COB，∴，∴，∴PN=2PO．
①当时，PN===，PO==，∴，整理得：，解得：=，=，∵＞0，＜＜0，∴t=，此时点N的坐标为（，）；
②当0＜t＜2时，PN===，PO==t，∴，整理得：，解得：=，=1．∵＜0，0＜1＜2，∴t=1，此时点N的坐标为（1，2）．
综上所述：点N的坐标为（，）或（1，2）．
考点：1．二次函数综合题；2．待定系数法求二次函数解析式；3．相似三角形的性质．

14．如图，已知二次函数y=ax2+bx+3 的图象与x轴分别交于A(1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C

（1）求此二次函数解析式；
（2）点D为抛物线的顶点，试判断△BCD的形状，并说明理由；
（3）将直线BC向上平移t(t>0)个单位，平移后的直线与抛物线交于M，N两点（点M在y轴的右侧），当△AMN为直角三角形时，求t的值．
【答案】（1）；（2）△BCD为直角三角形，理由见解析；（3）当△AMN为直角三角形时，t的值为1或4．
【解析】
【分析】
（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数解析式；
（2）利用配方法及二次函数图象上点的坐标特征，可求出点C、D的坐标，利用两点间的距离公式可求出CD、BD、BC的长，由勾股定理的逆定理可证出△BCD为直角三角形；
（3）根据点B、C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的解析式，进而可找出平移后直线的解析式，联立两函数解析式成方程组，通过解方程组可找出点M、N的坐标，利用两点间的距离公式可求出AM2、AN2、MN2的值，分别令三个角为直角，利用勾股定理可得出关于t的无理方程，解之即可得出结论．
【详解】
（1）将、代入，得：
，解得：，
此二次函数解析式为．
（2）为直角三角形，理由如下：
，
顶点的坐标为．
当时，，
点的坐标为．
点的坐标为，
，
，
．
，
，
为直角三角形．
（3）设直线的解析式为，
将，代入，得：
，解得：，
直线的解析式为，
将直线向上平移个单位得到的直线的解析式为．
联立新直线与抛物线的解析式成方程组，得：，
解得：，，
点的坐标为，，点的坐标为，．
点的坐标为，
，，．
为直角三角形，
分三种情况考虑：
①当时，有，即，
整理，得：，
解得：，（不合题意，舍去）；
②当时，有，即，
整理，得：，
解得：，（不合题意，舍去）；
③当时，有，即，
整理，得：．
，
该方程无解（或解均为增解）．
综上所述：当为直角三角形时，的值为1或4．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点间的距离公式结合勾股定理的逆定理找出BC2+BD2=CD2；（3）分∠MAN=90°、∠AMN=90°及∠ANM=90°三种情况考虑．

15．如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．

（1）求此抛物线的解析式；
（2）求证：AO=AM；
（3）探究：
①当k=0时直线y=kx与x轴重合，求出此时的值；
②试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数．
【答案】解：（1）y=x2﹣1
（2）详见解析
（3）详见解析
【解析】
【分析】
（1）把点C、D的坐标代入抛物线解析式求出a、c，即可得解。
（2）根据抛物线解析式设出点A的坐标，然后求出AO、AM的长，即可得证。
（3）①k=0时，求出AM、BN的长，然后代入计算即可得解；
②设点A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），然后表示出，再联立抛物线与直线解析式，消掉未知数y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出x1+x2，x1•2，并求出x12+x22，x12•x22，然后代入进行计算即可得解。
【详解】
解：（1）∵抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1），
∴，解得。
∴抛物线的解析式为y=x2﹣1。
（2）证明：设点A的坐标为（m，m2﹣1），
则。
∵直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，∴点M的纵坐标为﹣2。
∴AM=m2﹣1﹣（﹣2）=m2+1。
∴AO=AM。
（3）①k=0时，直线y=kx与x轴重合，点A、B在x轴上，
∴AM=BN=0﹣（﹣2）=2，
∴。
②k取任何值时，设点A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），
则。
联立，消掉y得，x2﹣4kx﹣4=0，
由根与系数的关系得，x1+x2=4k，x1•x2=﹣4，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=16k2+8，x12•x22=16。
∴。
∴无论k取何值，的值都等于同一个常数1。