数学八年级上册压轴题综合试题含答案.doc

数学八年级上册压轴题综合试题含答案
1、如图①，在等边△ABC中，点D、E分别是AB、AC上的点，BD=AE，BE与CD交于点O．
（1）填空：∠BOC＝　 　度；
（2）如图②，以CO为边作等边△OCF，AF与BO相等吗？并说明理由；
（3）如图③，若点G是BC的中点，连接AO、GO，判断AO与GO有什么数量关系？并说明理由．

2、在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D是AC上一动点，在BD的延长线上取一点E满足：AE＝AB；AF平分∠CAE交BE于点F．

(1)如图1，连CF，求证：△ACF≌△AEF．
(2)如图2，当∠ABC＝60°时，线段AF，EF，BF之间存在某种数量关系，写出你的结论并加以证明．
(3)如图3，当∠ACB＝45°时，且AE∥BC，若EF＝3，请直接写出线段BD的长是 　 　（只填写结果）．
3、△ABC、△DPC都是等边三角形．

(1)如图1，求证：AP＝BD；
(2)如图2，点P在△ABC内，M为AC的中点，连PM、PA、PB，若PA⊥PM，且PB＝2PM．
①求证：BP⊥BD；
②判断PC与PA的数量关系并证明．
4、等边中，点、分别在边、上，且，连接、交于点．
（1）如图1，求的度数；

图1
（2）连接，若，求的值；
（3）如图2，若点为边的中点，连接，且，则的大小是___________．

图2
5、完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．

例如：若，求的值．
解：因为
所以
所以
得．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若，求的值；
（2）①若,则 ；
②若则 ；
（3）如图，点是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
6、已知：AD为△ABC的中线，分别以AB和AC为一边在△ABC的外部作等腰三角形ABE和等腰三角形ACF，且AE＝AB，AF＝AC，连接EF，∠EAF+∠BAC＝180°．

(1)如图1，若∠ABE＝65°，∠ACF＝75°，求∠BAC的度数．
(2)如图1，求证：EF＝2AD．
(3)如图2，设EF交AB于点G，交AC于点R，FC与EB交于点M，若点G为EF中点，且∠BAE＝60°，请探究∠GAF和∠CAF的数量关系，并证明你的结论．
7、已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=BC．
（1）如图1，若∠BAD=90°，AD=2，求CD的长度；
（2）如图2，点P、Q分别在线段AD、DC上，满足PQ=AP+CQ，求证：∠PBQ=90°−∠ADC；
（3）如图3，若点Q运动到DC的延长线上，点P也运动到DA的延长线上时，仍然满足PQ=AP+CQ，则（2）中的结论是否成立？若成立，请给出证明过程，若不成立，请写出∠PBQ与∠ADC的数量关系，并给出证明过程.

8、如图1，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x、y轴上，以AB为边作等腰直角三角形ABC，使，点C在第一象限．

(1)若点A(a，0)，B(0，b)，且a、b满足，则______，_____，点C的坐标为_________；
(2)如图2，过点C作轴于点D，BE平分，交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点G，求证：CG垂直平分EF；
(3)试探究（2）中OD，OE与DF之间的关系，并说明理由．
【参考答案】
1、（1）120；（2）相等，理由见解析；（3）AO2OG．理由见解析
【分析】（1）证明△EAB≌△DBC（SAS），可得结论．
（2）结论：AF=BO，证明△FCA≌△OCB（SAS），可得结论．
【解析】（1）120；（2）相等，理由见解析；（3）AO=2OG．理由见解析
【分析】（1）证明△EAB≌△DBC（SAS），可得结论．
（2）结论：AF=BO，证明△FCA≌△OCB（SAS），可得结论．
（3）证明△AFO≌△OBR（SAS），推出OA=OR，可得结论．
【详解】解：（1）如图①中，

∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠A=∠CBD=60°，
在△EAB和△DBC中，
，
∴△EAB≌△DBC（SAS），
∴∠ABE=∠BCD，
∴∠BOD=∠BCD+∠CBE=∠ABE+∠CBE=∠CBA=60°，
∴∠BOC=180°-60°=120°．
故答案为：119、
（2）相等．
理由：如图②中，

∵△FCO，△ACB都是等边三角形，
∴CF=CO，CA=CB，∠FCO=∠ACB=60°，
∴∠FCA=∠OCB，
在△FCA和△OCB中，
，
∴△FCA≌△OCB（SAS），
∴AF=BO．
（3）如图③中，结论：AO=2OG．
理由：延长OG到R，使得GR=GO，连接CR，BR．

在△CGO和△BGR中，
，
∴△CGO≌△BGR（SAS）
∴CO=BR=OF，∠GCO=∠GBR，AF=BO，
∴CO∥BR，
∵△FCA≌△OCB，
∴∠AFC=∠BOC=120°，
∵∠CFO=∠COF=60°，
∴∠AFO=∠COF=60°，
∴AF∥CO，
∴AF∥BR，
∴∠AFO=∠RBO，
在△AFO和△OBR中，
，
∴△AFO≌△OBR（SAS），
∴OA=OR，
∵OR=2OG，
∴OA=2OG．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
2、(1)证明见解析
(2)，证明见解析
(3)6

【分析】（1）由角平分线的定义可知，再根据等量代换得出AC =AE，由此可直接利用“SAS”证明；
（2）在BE上截取BM=CF，连接AM．由所作辅助
【解析】(1)证明见解析
(2)，证明见解析
(3)6
【分析】（1）由角平分线的定义可知，再根据等量代换得出AC =AE，由此可直接利用“SAS”证明；
（2）在BE上截取BM=CF，连接AM．由所作辅助线易证，得出，．由题意易判断为等边三角形，即可求出，即说明为等边三角形，得出，由此即得出；
（3）延长BA，CF交于点N．由题意可知为等腰直角三角形，即，．根据平行线的性质和等边对等角即得出BE为的角平分线，从而可求出，进而可求出．由角平分线的性质可得出，从而可求出．又易证，即得出．
(1)
∵AF平分∠CAE，
∴．
∵AB=AC，AB=AE，
∴AC =AE．
又∵AF=AF，
∴．
(2)

证明：∵，
∴，．
如图，在BE上截取BM=CF，连接AM．

在和中，，
∴，
∴，．
∵，，
∴为等边三角形，
∴．
∵，
∴，即，
∴为等边三角形，
∴，
∴．
即AF，EF，BF之间存在的关系为：；
(3)
如图，延长BA，CF交于点N．

∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，．
∵AE∥BC，
∴．
∵，
∴，
∴．
由（1）可知，
∴，
∴，即．
∵为的角平分线，
∴．
∵，
∴，即．
在和中，，
∴，
∴．
故答案为：5、
【点睛】本题为三角形综合题，考查等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，角平分线的定义和性质，平行线的性质以及三角形内角和定理，综合性强，较难．解题关键是学会添加常用的辅助线，构造全等三角形解决问题．
3、(1)证明过程见解析；
(2)①证明过程见解析；②PC=2PA，理由见解析．
【分析】（1）证明△BCD≌△ACP（SAS），可得结论；
（2）①如图2中，延长PM到K，使得MK=PM，连接CK．证
【解析】(1)证明过程见解析；
(2)①证明过程见解析；②PC=2PA，理由见解析．
【分析】（1）证明△BCD≌△ACP（SAS），可得结论；
（2）①如图2中，延长PM到K，使得MK=PM，连接CK．证明△AMP≌△CMK（SAS），推出MP=MK，AP=CK，∠APM=∠K=90°，再证明△PDB≌△PCK（SSS），可得结论；
②结论：PC=2PA．想办法证明∠DPB=30°，可得结论．
（1）证明：如图1中，∵△ABC，△CDP都是等边三角形，∴CB=CA，CD=CP，∠ACB=∠DCP=60°，∴∠BCD=∠ACP，在△BCD和△ACP中，，∴△BCD≌△ACP（SAS），∴BD=AP；
（2）证明：如图2中，延长PM到K，使得MK=PM，连接CK．∵AP⊥PM，∴∠APM=90°，在△AMP和△CMK中，，∴△AMP≌△CMK（SAS），∴MP=MK，AP=CK，∠APM=∠K=90°，同法可证△BCD≌△ACP，∴BD=PA=CK，∵PB=2PM，∴PB=PK，∵PD=PC，∴△PDB≌△PCK（SSS），∴∠PBD=∠K=90°，∴PB⊥BD．②解：结论：PC=2PA．∵△PDB≌△PCK，∴∠DPB=∠CPK，设∠DPB=∠CPK=x，则∠BDP=90°-x，∵∠APC=∠CDB，∴90°+x=60°+90°-x，∴x=30°，∴∠DPB=30°，∵∠PBD=90°，∴PD=2BD，∵PC=PD，BD=PA，∴PC=2PA．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形30°角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，关注全等三角形解决问题．
4、（1）；（2）；（3）
【分析】（1）由是等边三角形，可得出，，再利用，可证，得出，由可求出，最后由补角定义求出.
（2）在上取点，使，由可证，再利用，，可证明，进而求出，再用补角的性质得知，在中利
【解析】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）由是等边三角形，可得出，，再利用，可证，得出，由可求出，最后由补角定义求出.
（2）在上取点，使，由可证，再利用，，可证明，进而求出，再用补角的性质得知，在中利用外角的性质可求出，进而证出为等腰三角形，最后可证出即可求解.
（3）延长至，使为等边三角形，延长交于，可得出，进而得出，利用角的和差得出，则证出，进而证出，再利用，证出为等边三角形，进而证出.
【详解】（1）∵是等边三角形，
∴，，
在和中，
，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）在上取点，使．

由（1）知，
又，
∴．
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）．
提示：目测即得答案．详细理由如下：
由（1）知．延长至，使为等边三角形．

延长交于．
∵ ，
∴，
在和中，
,
∴，
∴．
∴，
∴．
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∵
∴为等边三角形，
∴
∴．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质及等边三角形的判定和性质是解题的关键.
5、（1）12；（2）①6；②17；（3）
【分析】（1）根据完全平方公式的变形应用，解决问题；
（2）①两边平方，再将代入计算；
②两边平方，再将代入计算；
（3）由题意可得：，，两边平方从而得到，即
【解析】（1）12；（2）①6；②17；3）
【分析】（1）根据完全平方公式的变形应用，解决问题；
（2）①两边平方，再将代入计算；
②两边平方，再将代入计算；
（3）由题意可得：，，两边平方从而得到，即可算出结果．
【详解】解：（1）；
；
；
又；
，
，
∴．
（2）①，

；
又，
．
②由，
；
又，
．
（3）由题意可得，，；
，；
，
；
图中阴影部分面积为直角三角形面积，
，
．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的适当变形灵活应用，（1）可直接应用公式变形解决问题．（2）①②小题都需要根据题意得出两个因式和或者差的结果，合并同类项得①，②是解决本题的关键，再根据完全平方公式变形应用得出答案．（3）根据几何图形可知选段，再根据两个正方形面积和为18，利用完全平方公式变形应用得到，再根据直角三角形面积公式得出答案．
6、(1)∠BAC＝50°
(2)见解析
(3)∠GAF﹣∠CAF＝60°，理由见解析
【分析】（1）利用三角形的内角和定理求出∠EAB，∠CAF，再根据∠EAF+∠BAC＝180°构建方程即可解决问题
【解析】(1)∠BAC＝50°
(2)见解析
(3)∠GAF﹣∠CAF＝60°，理由见解析
【分析】（1）利用三角形的内角和定理求出∠EAB，∠CAF，再根据∠EAF+∠BAC＝180°构建方程即可解决问题；
（2）延长AD至H，使DH＝AD，连接BH，想办法证明△ABH≌△EAF即可解决问题；
（3）结论：∠GAF﹣∠CAF＝60°．想办法证明△ACD≌△FAG，推出∠ACD＝∠FAG，再证明∠BCF＝150°即可．
(1)
解：∵AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABE＝65°，
∴∠EAB＝50°，
∵AC＝AF，
∴∠ACF＝∠AFC＝75°，
∴∠CAF＝30°，
∵∠EAF+∠BAC＝180°，
∴∠EAB+2∠ABC+∠FAC＝180°，
∴50°+2∠BAC+30°＝180°，
∴∠BAC＝50°．
(2)
证明：证明：如图，延长AD至点H，使DH=AD，连接BH

∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC，
又∵DH=AD，∠BDH=∠ADC
∴△ADC≌△HDB（SAS），
∴BH=AC，∠BHD=∠DAC，
∴BH=AF，
∵∠BHD=∠DAC，
∴BH∥AC，
∴∠BAC+∠ABH=180°，
又∵∠EAF+∠BAC=180°，   
∴∠ABH=∠EAF，
又∵AB=AE，BH=AF，
∴△AEF≌△BAH（SAS），
∴EF=AH=2AD，
∴EF＝2AD；
(3)
结论：∠GAF﹣∠CAF＝60°．
理由：由（2）得，AD＝EF，又点G为EF中点，
∴EG＝AD，
由（2）△AEF≌△BAH，
∴∠AEG∠BAD，
在△EAG和△ABD中，
，
∴△EAG≌△ABD，
∴∠EAG＝∠ABC＝60°，AG=BD，
∴△AEB是等边三角形，AG=CD，
∴∠ABE＝60°，
∴∠CBM＝60°，
在△ACD和△FAG中，
，
∴△ACD≌△FAG，
∴∠ACD＝∠FAG，
∵AC＝AF，
∴∠ACF＝∠AFC，
在四边形ABCF中，∠ABC+∠BCF+∠CFA+∠BAF＝360°，
∴60°+2∠BCF＝360°，
∴∠BCF＝150°，
∴∠BCA+∠ACF＝150°，
∴∠GAF+（180°﹣∠CAF）＝150°，
∴∠GAF﹣∠CAF＝60°．
【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
7、（1）CD=2；（2）证明见解析；（3）（2）中结论不成立，应该是：，理由见解析.
【分析】（1）如图1，利用HL证得两个直角三角形全等：Rt△BAD≌Rt△BCD，则其对应边相等：AD=DC=2；
【解析】（1）CD=2；（2）证明见解析；（3）（2）中结论不成立，应该是：，理由见解析.
【分析】（1）如图1，利用HL证得两个直角三角形全等：Rt△BAD≌Rt△BCD，则其对应边相等：AD=DC=2；
（2）如图2，延长DC，在上面找一点K，使得CK=AP，连接BK，通过证△BPA≌△BCK（SAS）得到：∠1=∠2，BP=BK．然后由全等三角形△PBQ≌△BKQ的对应角相等求得∠PBQ=∠ABC，结合已知条件“∠ABC+∠ADC=180°”可以推知∠PBQ=90°-∠ADC；
（3）（2）中结论不成立，应该是：∠PBQ=90°+∠ADC．
如图3，在CD延长线上找一点K，使得KC=AP，连接BK，构建全等三角形：△BPA≌△BCK（SAS），由该全等三角形的性质和全等三角形的判定定理SSS证得：△PBQ≌△BKQ，则其对应角相等：∠PBQ=∠KBQ，结合四边形的内角和是360度可以推得：∠PBQ=90°+∠ADC．
【详解】（1）∵，     ∴
在Rt△BAD和Rt△BCD中，

∴Rt△BAD≌Rt△BCD（HL）
∴AD=DC=2       ∴DC=2     
（2）如图，延长DC，在上面找一点K，使得CK=AP，连接BK
∵
∴
∵
∴
在△BPA和△BCK中

∴△BPA≌△BCK（SAS）
∴，BP=BK
∵PQ=AP+CQ
∴PQ=QK
在△PBQ和△BKQ中

∴△PBQ≌△BKQ（SSS）
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴

（3）（2）中结论不成立，应该是：
在CD延长线上找一点K，使得KC=AP，连接BK
∵
∴
∵

∴
在△BPA和△BCK中

∴△BPA≌△BCK（SAS）
∴，BP=BK
∴
∵PQ=AP+CQ
∴PQ=QK
在△PBQ和△BKQ中

∴△PBQ≌△BKQ（SSS）
∴
∴
∴
∴

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形.
8、(1)，；C(8，4)；
(2)证明见解析；
(3)，理由见解析．
【分析】（1）利用绝对值的非负性求出a，b的值，作轴交于点D，
证明，进一步可求出点C坐标；
（2）利用已知证明，，再证明，得到，
【解析】(1)，；C(8，4)；
(2)证明见解析；
(3)，理由见解析．
【分析】（1）利用绝对值的非负性求出a，b的值，作轴交于点D，
证明，进一步可求出点C坐标；
（2）利用已知证明，，再证明，得到，，利用平行性质得到，进一步得，再利用HL定理证明，可得，即可证明CG垂直平分EF；
（3）证明得到，，又由（2）可知，进一步可得．
(1)
解：∵，即：，
∴，，
作轴交于点D，
∵，，
∴，
在和中，

∴，
∴，，
∴，即．

(2)
证明：∵，BE平分，
∴，，
在和中，

∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，

∴，
∴，即CG垂直平分EF．
(3)
解：，理由如下：
∵，
，
∴，
在和中，

∴，
∴，，
∵，
∴，
又由（2）可知，
∴，即．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，绝对值非负性，垂直平分线的判定，平行线的性质，坐标与图形．本题综合性较强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．