本科毕业设计---矩阵特征值和特征向量的求法与应用.doc

毕业论文（设计）

题 目： 矩阵特征值和特征向量的求法与应用
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摘要：特征值与特征向量是代数中一个重要的部分，在理论学习和实际生活中有很重要的作用.本文主要讨论并归纳总结了特征值与特征向量的相关性质以及相关求法，通过实例展示了特征值与特征向量的相关应用。

关键词：矩阵；特征值；特征向量；基础解系
Abstract:As an important part of algebra,Eigenvalue and Eigenvector of a Matrix have very important applications in theoretical study and practical life. In this paper,some properties of eigenvalue and eigenvector are discussed and summarized,it shows the superiority of eigenvalue and eigenvector through examples.

Key words: matrix；eigenvalue；eigenvector；system of fundamental solutions
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目 录
1 绪 论 3
1.1研究背景 3
1.2研究现状 3
2 特征值与特征向量 4
2.1特征值与特征向量的定义 4
2.2特征值与特征向量的性质 4
3 特征值与特征向量的求法 4
3.1矩阵特征值和特征向量的一般求法 4
3.2乘幂法求特征值与特征向量 5
3.3雅克比法求特征值和特征向量 8
3.4法求特征值和特征向量 11
4 矩阵的特征值与特征向量的应用研究 14
4.1阶矩阵的高次幂的求解 14
4.2矩阵特征值求解矩阵元素的应用 15
4.3常系数线性微分方程组中求解特征值的应用 16
4.4阻尼自由振动中特征根求解的应用 18
总 结 21
参考文献 22
致 谢 23

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1 绪论

特征值与特征向量是代数中一个重要的部分，并在理论学习和实际生活有很重要的作用.本文主要讨论并归纳了特征值与特征向量的相关性质，相关方法及相关应用.比如乘幂法，雅可比法和法求解矩阵的特征值和特征向量，列举了常微分齐次方程组求解特征根和特征向量等问题的一些应用.

1.1 研究背景

矩阵是高等数学中的一个重要的基本概念之一,也是代数学的一个主要研究对象.矩阵的特征值与特征向量问题是矩阵理论的重要组成部分，它在高等代数中占有重要的位置.同时它又贯穿了高等代数的许多重要方面，对于该内容的研究加深了我们对高等代数各个部分的认识，从而使我们更深刻的了解高等代数的相关理论. 对矩阵的特征值与特征向量的理论研究和及其应用探究，不仅对提高高等代数以及相关课程的理解有很大帮助，而且在理论上也很重要，可以解决物理中关于阻尼振动方面的问题，矩阵特征值与特征向量在求解数学中常微分线性方程组解方面也有其独特的应用.

1.2 研究现状

已有很多专家学者涉足研究该问题.郭华、刘小明在2000年《特征值与特征向量在矩阵运算中的作用》中从方阵的特征值与特征向量的性质出发，结合具体的例子阐述了特征值与特征向量在简化矩阵运算中所起的作用.汪庆丽在2001年《用矩阵的初等变换求矩阵的特征值与特征向量》中研究了一种只对矩阵作适当的初等行变换就能求到矩阵的特征值与特征向量的方法.岳嵘在2005年《由特征值特征向量去顶矩阵的方法证明及应用》中探究了已知阶对称矩阵的个互不相等的特征值及个特征向量计算出矩阵的计算方法.张红玉在2009年《矩阵特征值的理论及应用》中讨论了通过阶方阵的特征值得出一系列相关矩阵的特征值,再由特征值与正定矩阵的关系得出正定矩阵的结论.刘学鹏、杨军在2006年《矩阵的特征值、特征向量和应用》一文中讨论了矩阵的特征值和特征向量的一些特殊情况，以及在矩阵对角化方面的应用.

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2 特征值与特征向量

2.1 特征值与特征向量的定义

定义：设是阶方阵，如果存在数和维非零向量，使得成立，则称为的特征值，是的对应特征值的特征向量.

2.2 特征值与特征向量的性质

性质 1 如果都是矩阵的属于特征值的特征向量,则当时, 仍是的属于特征值的特征向量.
性质2 如果是矩阵的互不相同的特征值，其对应的特征向量分别是，则线性无关.
性质 3 实对称矩阵的特征值都是实数，属于不同特征值的特征向量正交.

3 特征值与特征向量的求法

3.1矩阵特征值和特征向量的一般求法
设是阶方阵的特征值，是属于的一个特征向量，则，将改写成，由上式可得，这表明，是齐次线性方程组 （11.2）的一个非零解.方程组（11.2）的系数矩阵 （11.3）
定义11.2 设是阶方阵，含有未知量的矩阵的行列式
（11.4）称为矩阵的特征多项式.
一般的，阶方阵的特征多项式（11.4）等于
，它是关于的一个次多项式.
由（11.3）可见，矩阵的特征值是的特征多项式的一个根.进一步，我们可以证明
定理11.1 设是阶方阵，则是的特征值，是属于的特征向量的充分必要条件是:是的特征多项式的根，是齐次线性方程组的
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一个非零解.
根据定理11.1，我们得到求阶方阵的特征值与特征向量的方法如下：
（1）计算的特征多项式；
（2）求多项式的全部根：，这就是的特征值；
（3）对每个特征值，求出齐次线性方程组的一个基础解系，这是属于的线性无关的特征向量.于是，的属于的全部特征向量是，其中是不全为零的任意一组数.

例 求矩阵
的特征值和特征向量.
解 的特征多项式

所以的特征值是.
对于，解齐次线性方程组，即

得一个基础解系 ，
所以属于3的全部特征向量是（是任意非零常数）.
对于，解齐次线性方程组，即

得一个基础解系 ，所以属于-4的全部特征向量是.
3.2 乘幂法求特征值与特征向量

乘幂法是计算矩阵的按模最大值特征值及相应特征向量的方法，若辅以相应的收缩技巧，则可以逐次计算出该矩阵的按模由大到小得全部特征值及相应的特征向量.

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方法描述
设为单构阵（仅有两个互异正特征根的矩阵），其特征值按模的下降次序排列为
（2.1）相应的个线性无关特征向量是
乘幂法的基本思想是任取一非零向量，通过逐次左乘以矩阵构造出一向量序列： （2.2）
由假设 ，（23），其中（有时由于任选，有可能使，但由于计算有舍入误差，计算若干步后会使得在方向上的分量不为零，故不妨一开始就设）此时（2.2）又可写为
（2.4）
由于，若记，则立即知（零向量），则按方向收敛于.另外，若记的第个分量，则有
故当时， （2.5）
于是可以将乘幂法的基本原理总结如下：任取初始向量，若的特征值分布满足，相应的特征向量形成完备特征向量系，则序列按方向收敛于.相邻两次迭代向量与的对应向量的比值收敛于.
现在考察（2.4），当时，的分量的模会随着的增大而无限变大，而当时，的分量的模会随着的增大而无限变小，为防止这两种情况对实际计算的影响，即防止实际计算中出现上溢与下溢现象.计算中应适当规范化，于是有实际计算中使用的乘幂法：
(1)任取规范化初始向量，（即的模最大的分量为1，以后不再说明）.
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(2)
(3)
(4)
关于乘幂法（2.6），我们有
定理4.8 设有完备特征向量系，特征值分布满足（2.1）：
，则对任取的规范化初始向量，按迭代格式（2.6）构造的序列和分别收敛于和.

例 用乘幂法求矩阵
的按模最大特征值和相应的特征向量.
解： 取迭代初始向量为，按格式（2.6）计算，结果列表如下：

表5.1
k
max(y(k))
x(k) = y(k)/max(x(k))
x(k+1) = Ay(k)
0
1
(1, 1, 1)
(10, 8, 1)
1
10
(1, 0.8, 0.1)
(7.2, 5.4, -0.8)
2
7.2
(1, 0.75, -0.111111)
(6.5, 4.75, -1.222222)
3
6.57
(1, 0.730769, -0.203704)
(6.230766, 4.499997, -1.407408)
4
6.230766
(1, 0.722222, -0.225880)
(6.111108, 4.388886, -1.1451767)
5
6.111108
(1, 0.718182, -0.237561)
(6.054548, 4.336336, -1.475122)
6
6.054548
(1, 0.716216, -0.243639)
(6.027024, 4.310808, -1.487278)
7
6.027024
(1, 0.715247, -0.246768)
(6.013458, 4.298211, -1.483536)
8
6.013458
(1, 0.714765, -0.248366)
(6.00671, 4.291945, -1.496732)
9
6.00671
(1, 0.714525, -0.249177)
(6.00335, 4.28825, -1.496354)
10
6.00335
(1, 0.714405, -0.249586)
(6.00167, 4.287265, -1.499172)
11
6.00167
(1, 0.714345, -0.239792)
(6.00083, 4.286485, -1.499584)

12
6.00083
(1, 0.714315, -0.249896)

8
由上表，得的按模最大特征值为-5，相应的特征向量为.

3.3雅克比法求特征值与特征向量

雅克比 方法是求实对称矩阵全部特征值及对应的特征向量的方法.它也是一种迭代法，其基本思想是把对称矩阵经一系列正交相似变换约化为一个近似对角阵，从而该对角阵的对角元就是的近似特征值，由各个正交变换阵的乘积可得对应的特征向量.
考虑n阶矩阵的情况：
设矩阵是对称矩阵，记，对A作一系列旋转相似变换，即

其中仍是对称矩阵，的形式

也就是

对任何角，可以验证是一个正交阵，我们称它是平面上的旋转矩阵，相应地把变换（2.16）称为旋转变换；和Ｉ仅在、、和上不同，只改变的第行，第行的元素，只改变A的第行、行、列、列的元素；和的元素仅在第行（列）和第行（列）不同，它们之间有如下的关系：

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我们选取，使得，因此需使满足

常将 限制在下列范围内

如果，当时，取；当时，取
实际上不需要计算，而直接从三角函数关系式计算 和，记

则

当时，有下面三角恒等式：

于是
始终取正值，关于 的计算有几种方法，最简单的一种是利用公式，这个方程有一个缺点，当 接近于1时，的有效位数就不多了，为避免这个缺点，采用下面公式计算

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由于的对称性，实际上只要计算的上三角元素，而下三角元素由对称性获得，这样即节省了计算量，又能保证是严格对称的。
一般地，不能指望通过有限次旋转变换把原矩阵化为对角阵，因为中的零元素（在前面变换中得到的）可能在中成为非零元素，尽管如此，仍可以证明：
当时
其中是矩阵A的特征值，但没有一定的大小排列顺序.

例 用雅可比方法求矩阵

的特征值与特征向量.
解 ： 首先取,由于,故取所以

再取由

得

所以

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继续做下去,直到非对角线元素趋于零,进行九次变换后,得

的对角线元素就是A的特征值，即

相应的特征向量为

相应的特征值的精确值

相应的特征向量为

由此可见，雅可比方法变换九次的结果已经相当精确了.

3.4 法求特征值与特征向量

算法也是一种迭代算法,是目前计算任意实的非奇异矩阵全部特征值问题的最有效的方法之一.该方法的基础是构造矩阵序列,并对它进行分解.
由线性代数知识知道,若为非奇异方阵,则可以分解为正交矩阵与上三角形矩阵的乘积,即,而且当的对角线元素符号取定时,分解式是唯一的.
若为奇异方阵,则零为的特征值.任取一数不是的特征值,则为非奇
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异方阵.只要求出的特征值,就很容易求出的特征值,所以假设为非奇异方阵,并不妨碍讨论的一般性.
设A为非奇异方阵,令,对进行分解,即把分解为正交矩阵与上三角形矩阵的乘积

做矩阵

继续对进行QR分解
并定义
一般地,递推公式为

QR算法就是利用矩阵的QR分解,按上述递推公式构造矩阵序列.只要A为非奇异方阵,则由QR算法就完全确定.这个矩阵序列具有下列性质.
性质1 所有都相似,它们具有相同的特征值.
证明 因为

若令,则为正交阵,且有

因此与A相似,它们具有相同的特征值.
性质2 的分解式为

其中

证明 用归纳法.显然当k=1时,有

假设有分解式
于是

因为,所以

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因为都是正交阵,所以也是正交阵,同样也是上三角形阵,从而的分解式为

由前面的讨论知.这说明算法的收敛性有正交矩阵序列的性质决定.

例 用带原点位移的方法实对称矩阵

的全部特征值

解：矩阵已是对称三对角阵
采用第一种位移方法， 取.
将进行分解. 注意到

生成

取，将进行分解. 然后再生成,以下类推.

得特征值，收缩

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取 则有

故A的特征值可近似地求得为

而A的特征值为

4 矩阵的特征值与特征向量的应用研究

4.1 阶矩阵的高次幂的求解的应用

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当阶矩阵可对角化时，即矩阵可与对角阵相似时，计算其高次幂有简
单的方法，当阶矩阵满足下面的四个条件之一时，即可对角化，即.
（1）阶矩阵有个线性无关的特征向量；
（2）阶矩阵有个互不相等的特征值；
（3）阶矩阵的每个特征值，均有，即特征值的几何常数等于其代数常数；
（4）为对称矩阵.
对于，是由的个特征向量组成的矩阵. 是由的个特征值构成的对角阵，那么有：

其中，故.
例 已知矩阵，求（其中为正整数）.
分析 矩阵的高次幂的求解一般是有技巧的，这里因矩阵为是对称矩阵，故可对角化，可按上面讨论的方法求之.
解：因为，所以矩阵为是对称矩阵，故可对角化.
由例4.1.1知，矩阵的3个特征值为，其对应的特征向量为
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，故对角阵，，
且，又，那么有，则

.

4.2 矩阵特征值在求解矩阵元素的应用

矩阵特征值求解矩阵元素，即根据矩阵的特征值和特征向量的信息来决定矩阵中的元素.当矩阵有个互不相等的特征值时，必有个线性无关的特征向量，那么矩阵必可对角化，故，其中相似变换矩阵由的个线性无关的特征向量组成.
例 设3阶方阵的特征值为，对应于特征向量分别是：，，，求
分析 此题给出了矩阵的3个不相同的特征值及其特征向量.那么矩阵可对角化，显然是矩阵特征值的反问题，可按上面讨论的方法求之.
解： 由于是方阵对应于特征值的特征向量，于是有：，

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令，那么
则有，其中.由上式可得即为所求.

4.3常系数线性微分方程组中求解特征值的应用
　　由线性代数知识可知，对于任一矩阵，恒存在非奇异的矩阵
使矩阵成为若尔当标准型。为此，对方程组(3.20)引入非奇异线性变换 （3.21）其中，将方程组(3.20)化为
（3.22）我们知道，若尔当标准型的形式与矩阵的特征方程
（3.23）的根的情况有关。上述方程也称为常系数齐次方程组(3.20)的特征方程式，它的根称为矩阵的特征根.
我们已经知道，求解方程组

归结为求矩阵的特征根和对应的特征向量.

下面来看矩阵的特征根均为单根的情况
设特征根为，这时

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方程组（3.23）变为
（3.23）

易见方程组（3.23）有个解

把这个解代回变换（3.21）之中，便得到方程组（3.20）的个解

这里是矩阵第列向量，它恰好是矩阵关于特征根的特征向量，并且由线性方程组所确定.

例 试求方程组
的通解.
解 它的系数矩阵是
的特征方程是

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即

所以矩阵的特征根为。先求对应的特征向量
满足方程

即

可得.取一组非零解，例如令就有.同样，可求出另两个特征根所对应的特征向量，这样，这三个特征根所对应的特征向量分别是

故方程组的通解是

4.4 阻尼自由振动中特征根求解的应用
本节主要描述弹簧振动的方程

并且研究其解的物理意义.
如果，即假定没有外力，这时得到方程
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而称弹簧的振动为阻尼自由振动。

如果令，则方程（4.1）就变为

的形式。它是一个二阶常系数线性齐次方程。它的特征方程是，特征根是

现在分三种情况讨论
(1)，这时对应于介质阻尼相对不太大的情形。如果令
则(4.48)为

的形式，这时，方程(4.47)的通解为

用类似(4.46)的方法可将它化为

如果初值条件为：当时. 为了确定出相应的及，先来计算

将代入及的表达式中，可得

把第二个方程的两端除以第一个方程相应的两端，得

从而，于是

因为

5

(4.49)式表明，这时所发生的是阻尼振动，振幅是时间的递减函数，且当时，
振动的周期由式子
确定.
振动频率较简谐振动的频率小，它也与物体的初始状态无关.
(2),这时通解为

此时运动不具振动性质，且当时，

(3) ,这时对应与介质阻尼相对较大的情形，令，特征根为

因为，故这时两个特征根均为负，通解易见，此时运动不是周期的，因而不具振
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动性质，且当时，.

总 结

矩阵是线性代数中的一个重要部分，特征值与特征向量问题是矩阵理论的重要组成部分，特征值与特征向量有着许多具体的应用，本文通过查阅相关的资料并在指导老师的指导和建议下对特征值与特征向量原理进行了归纳总结.首先简单的叙述了特征值与特征向量的概念及其性质，探究了特征值与特征向量的几种解法，在此基础上重点介绍了特征值与特征向量的应用问题.矩阵的高次幂的求解是有技巧的，当矩阵可对角化时，利用特征值与特征向量把矩阵对角化，可以简便的解出矩阵高次幂的值.本文通过应用举例说明了特征值在求解二次型的条件最值问题的应用，给出了特征值法原理，运用特征值法求二次型的条件最值问题.给出了特征值与特征向量在矩阵运算中使用的性质，并且举例说明了特征值与特征向量在矩阵运算中的应用.运用一些特征值与特征向量的性质和方法，可以使问题更简单，运算上更方便，是简化有关复杂问题的一种有效途径。特征值与特征向量理论的应用是多方面的，不仅在数学领域，而且在力学、物理、科技方面都有十分广泛的应用，值得我们深入探究

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参考文献

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[8]邵逸民.矩阵的公共特征值和特征向量研究[M].太元师范学院出版社，2008

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致 谢

本论文是在我的指导老师黄玉才老师的悉心指导下完成的.黄老师严肃的科学态度,严谨的治学精神,精益求精的工作作风,深深地感染和激励着我.从一开始论文题目的选择到写作的最终完成,黄老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持.黄老师在论文学业上给我以精心指导,在此谨向黄老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意.此外,我还要感谢我的同学们,由于你们的帮助和支持,我才能克服一个个的困难和疑惑,直到本文顺利完成.在论文即将完成之际,我的心情无法平静,从开始进入课题到论文的顺利完成,这都与黄老师精心的指导分不开.
最后,我还要感谢帮助我的老师和同学,正是由于你们的帮助和支持,我才能克服一个又一个的困难和疑惑,直至本文的顺利完成,衷心的谢谢你们！

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