计算方法复习题与答案.doc

复习题与答案
复习题一
复习题一答案
复习题二
复习题二答案
复习题三
复习题三答案
复习题四
复习题四答案
自测题

复习题（一）
一、填空题：
1、求方程的根，要求结果至少具有6位有效数字。已知，则两个根为 ， .（要有计算过程和结果）
2、，则A的LU分解为 。
3、，则 ， .
4、已知，则用抛物线（辛卜生）公式计算求得，用三点式求得 .
5、，则过这三点的二次插值多项式中的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 .
二、单项选择题：
1、      Jacobi迭代法解方程组的必要条件是（ ）.
A．A的各阶顺序主子式不为零 B.
C. D.
2、设，均差=( ) .
A.3 B. -3 C. 5 D.0
3、设，则为( ).
A. 2 B. 5 C. 7 D. 3
4、三点的高斯求积公式的代数精度为( ).
A. 2 B.5 C. 3 D. 4
5、幂法的收敛速度与特征值的分布（ ）。
A. 有关 B. 不一定 C. 无关
三、计算题：
1、用高斯-塞德尔方法解方程组 ，取，迭代四次(要求按五位有效数字计算).
2、求A、B使求积公式的代数精度尽量高,并求其代数精度；利用此公式求(保留四位小数)。
3、已知

1
3
4
5

2
6
5
4
分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求的三次插值多项式，并求的近似值（保留四位小数）.
4、取步长用预估-校正法解常微分方程初值问题

5、已知

-2
-1
0
1
2

4
2
1
3
5
求的二次拟合曲线，并求的近似值。
6、证明方程=0在区间（0,1）内只有一个根，并用迭代法（要求收敛）求根的近似值，五位小数稳定。

复习题（一）参考答案
一、 一、1、，
2、
3、，8
4、2.367 0.25
5、-1，
二、
三、1、迭代格式

k

0
0
0
0
1
2.7500
3.8125
2.5375
2
0.20938
31789
3.6805
3
0.24043
2.5997
3.1839
4
0.50420
2.4820
3.7019
2、是精确成立，即
得
求积公式为
当时，公式显然精确成立；当时，左=，右=。所以代数精度为3。

3、 

差商表为

一阶均差
二阶均差
三阶均差
1
2

3
6
2

4
5
-1
-1

5
4
-1
0

4、解：
即
n
0
1
2
3
4
5

0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0

1
1.82
5.8796
10.7137
19.4224
35.0279
5、解：

0
-2
4
4
-8
16
-8
16
1
-1
2
1
-1
1
-2
2
2
0
1
0
0
0
0
0
3
1
3
1
1
1
3
3
4
2
5
4
8
16
10
20

0
15
10
0
34
3
41
正规方程组为

复习题二）

一、填空题：
1、近似值关于真值有( )位有效数字；
2、的相对误差为的相对误差的( )倍；
3、设可微,求方程的牛顿迭代格式是( )；
4、对,差商( ),( )；
5、计算方法主要研究( )误差和( )误差；
6、用二分法求非线性方程f (x)=0在区间(a,b)内的根时，二分n次后的误差限为( )；
7、求解一阶常微分方程初值问题= f (x,y)，y(x0)=y0的改进的欧拉公式为( )；
8、已知f(1)＝2，f(2)＝3，f(4)＝5.9，则二次Newton插值多项式中x2系数为( )；
9、两点式高斯型求积公式≈( )，代数精度为( )；
10、解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为( )。
二、单项选择题：
1、求解线性方程组Ax=b的LLT分解法中，A须满足的条件是( )。
A. 对称阵 B. 正定矩阵
C. 任意阵 D. 各阶顺序主子式均不为零
2、舍入误差是( )产生的误差。
A. A.    只取有限位数 B.模型准确值与用数值方法求得的准确值
C. 观察与测量 D.数学模型准确值与实际值
3、3.141580是π的有( )位有效数字的近似值。
A. 6 B. 5 C. 4 D. 7
4、幂法是用来求矩阵( )特征值及特征向量的迭代法。
A. 按模最大 B. 按模最小 C. 所有的 D. 任意一个
5、用 1+x近似表示ex所产生的误差是( )误差。
A. 模型 B. 观测 C. 截断 D. 舍入
6、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是( )。
A.控制舍入误差 B. 减小方法误差
C.防止计算时溢出 D. 简化计算
7、解线性方程组Ax=b的迭代格式x(k+1)=Mx(k)+f收敛的充要条件是( )。
A. B. C. D.
三、计算题：
1、为了使的近似值的相对误差限小于0.1%，要取几位有效数字？
2、已知区间[0.4，0.8]的函数表

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

0.38942 0.47943 0.56464 0.64422 0.71736
如用二次插值求的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。
3、构造求解方程的根的迭代格式，讨论其收敛性，并将根求出来，。
4﹑利用矩阵的LU分解法解方程组 。
5﹑对方程组
（1）    试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由；
（2）    取初值，利用（1）中建立的迭代公式求解，要求。
6﹑用复合梯形求积公式计算，则至少应将[0,1]分为多少等份才能保证所得积分的近似值有5位有效数字?

复习题（二）参考答案
一、1、2； 2、倍； 3、；
4、； 5、截断，舍入；
6、； 7、；
8、 0.15； 9、；
10、A的各阶顺序主子式均不为零。
二、1、B 2、A 3、B 4、A、 5、C 6、A 7、D
三、1、解：设有n位有效数字，由 ，知
令 ,
取 ,
故
1、 1、解： 应选三个节点，使误差

尽量小，即应使尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点最好，实际计算结果
，
且

3、解：令 .
且，故在(0,1)内有唯一实根.将方程变形为

则当时
，
故迭代格式

收敛。取，计算结果列表如下：
n
0
1
2

答：放大镜的中间厚，边缘薄，光线在透过放大镜时会产生折射，因此会把物图像放大。3

0.5
0.035 127 872
0.096 424 785
0.089 877 325
n

答：我们在水中可发现变形虫、鼓藻、草履虫、船形硅藻等。4
5

10、生物学家列文虎克于1632年出生在荷兰，他制成了世界上最早的可放大300倍的金属结构的显微镜。他用自制的显微镜发现了微生物。6
7

18、建立自然保护区是保护生物多样性的有效方法，我国的九寨沟、长白山、四川卧龙等地都建立了自然保护区自然保护区为物种的生存、繁衍提供了良好的场所。

13、清洁的自来水被用来洗脸、刷牙、洗衣、拖地后就成了污水。0.090 595 993
0.090 517 340
0.090 525 950

答：可以，馒头中也含有淀粉，淀粉在咀嚼的过程中发生了变化，变得有甜味了。0.090 525 008

8、晶体的形状多种多样，但都很有规则。有的是立方体，有的像金字塔，有的像一簇簇的针……有的晶体较大，肉眼可见，有的较小，要在放大镜或显微镜下才能看见。且满足 .所以.
4、解：
令得，得.

7、对于生活中的一些废弃物，我们可以从垃圾中回收它们并重新加工利用。这样做不但能够减少垃圾的数量，而且能够节省大量的自然资源。5、解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优

故对应的高斯—塞德尔迭代法收敛.迭代格式为

8、铁生锈的原因是什么？人们怎样防止铁生锈？
取,经7步迭代可得：

答：火柴燃烧、铁钉生锈、白糖加热等。.
6、解：当0 ，为了减少舍入误差，应将表达式改写为 。
2、用二分法求方程在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为 ,进行两步后根的所在区间为 .
3、设,,则,,
,.
4、计算积分,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 ，用辛卜生公式计算求得的近似值为 ，梯形公式的代数精度为 ，辛卜生公式的代数精度为 。
5、求解方程组的高斯—塞德尔迭代格式为 ，该迭代格式的迭代矩阵的谱半径= 。
二、计算题：
1、已知下列实验数据
xi
1.36
1.95
2.16
f(xi)
16.844
17.378
18.435
试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据.
2、用列主元素消元法求解方程组 .
3、取节点,求函数在区间[0,1]上的二次插值多项式,并估计误差。
4、用幂法求矩阵按模最大的特征值及相应的特征向量，取，精确至7位有效数字。
5、用欧拉方法求

在点处的近似值。
6、给定方程
1) 分析该方程存在几个根；
2) 用迭代法求出这些根，精确到5位有效数字；
3)      说明所用的迭代格式是收敛的。

复习题（三）参考答案
一、 一、    1﹑，；
2﹑[0.5,1]， [0.5,0.75]；
3﹑，，，；
4﹑0.4268，0.4309，1，3；
5﹑，，收敛的；
二、 1、解：列表如下

0
1.36
16.844
1.8496
22.90784
1
1.95
17.378
3.8025
33.8871
2
2.16
18.435
4.6656
39.8196

5.47
52.657
10.3177
96.61454
设所求一次拟合多项式为，则

解得 ，
因而所求的一次拟合多项式为
.
2、解：

回代得 。
3、解：

又
故截断误差 。
4、解：幂法公式为 ，
取x0=(1,1)T，列表如下：
k
yT
mk
xT
1
(102，33.9)
102
(1,0.332353)
2
(99.997059,33.2991174)
99.997059
(1,0.3330009675)
3
(99.9990029,33.29970087)
99.9990029
(1,0.333000329)
4
(99.99900098,33.29970029)
99.99900098
(1,0.333000330)
因为，所以

5、解：等价于
()
记,取,.
则由欧拉公式
,
可得 ,

6、解：1）将方程 （1）
改写为
（2）
作函数，的图形（略）知（2）有唯一根。
2) 将方程（2）改写为
构造迭代格式
计算结果列表如下：
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
xk
1.22313
1.29431
1.27409
1.27969
1.27812
1.27856
1.27844
1.27847
1.27846
3) ，
当时，，且

所以迭代格式 对任意均收敛。
复习题（四）
一、填空题：
1、设,则 ，的二次牛顿插值多项式为 。
2、分别作为p的近似值有 , , 位有效数字。
3、求积公式的代数精度以( )求积公式为最高，具有( )次代数精度。；
4、解线性方程组的主元素消元法中，选择主元的目的是( )；
5、已知f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用抛物线求积公式求≈( )。
6、设f (1)=1， f(2)=2，f (3)=0，用三点式求( )。
二、单项选择题：
1、用1+近似表示所产生的误差是( )误差。
A. 舍入 B. 观测 C. 模型 D. 截断
2、-324.7500是舍入得到的近似值，它有( )位有效数字。
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
3、反幂法是用来求矩阵( )特征值及相应特征向量的一种向量迭代法。
A. 按模最大 B. 按模最小 C. 全部 D. 任意一个
4、( )是解方程组Ax=b的迭代格式x(k+1)=Mx(k)+f收敛的一个充分条件；
A. <1 B. <1 C. <1 D. <1
5、用s*=gt2表示自由落体运动距离与时间的关系式 ( g为重力加速度 )，
st是在时间t内的实际距离，则st- s*是（ ）误差。
A. 舍入 B. 观测 C. 模型 D. 截断
6、设f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,则抛物插值多项式中x2的系数为( )；
A. –0.5 B. 0.5 C. 2 D. -2
7、三点的高斯型求积公式的代数精度为( )。
A. 3 B. 4 C. 5 D. 2
8、求解线性方程组Ax=b的LLT分解法中，A须满足的条件是( )。
A. A.    对称阵 B. 各阶顺序主子式均大于零
C. 任意阵 D. 各阶顺序主子式均不为零
三、是非题（认为正确的在后面的括弧中打Ö，否则打´）
1、 1、已知观察值,用最小二乘法求n次拟合多项式时，的次数n可以任意取。 ( )
2、 2、用1-近似表示cosx产生舍入误差。 ( )
3、 3、表示在节点x1的二次(拉格朗日)插值基函数。 ( )
4、任给实数及向量，则。 ( )
5、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。 ( )
6、-23.1250有六位有效数字，误差限 £。 ( )
7、矩阵A=具有严格对角占优。 ( )
8、数据拟合的步骤是：
1）作散点图；2）解正规方程组；3）确定函数类型 ( )
9、 LLT分解可用于求系数矩阵为实对称的线性方程组。 ( )
10、幂法的收敛速度与特征值的分布无关。 ( )

四、计算题：（每小题7分，共42分）
2、 1、用牛顿(切线)法求的近似值。取x0=1.7, 计算三次，保留五位小数。
2、已知 A=，求，，。
4、 4、已知f (-1)=2，f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗日插值多项式及f (1.5)的近似值，取五位小数。
4、n=3,用复合梯形公式求的近似值（取四位小数）,并求误差估计。
5、用幂法求矩阵A=按模最大特征值及相应特征向量，列表
计算三次，取x0=(1，1，1)T，保留两位小数。
6、用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组 =，
取x(0)=(0,0,0)T,列表计算三次，保留三位小数。
7、用预估—校正法求解(0£x£1)，h=0.2，取两位小数。

复习题（四）参考答案
一、1、，； 2、 4 ,3 ,3；
3、高斯型，； 4、减少舍入误差； 5、12； 6、
二、1D， 2C， 3B， 4A， 5C， 6A， 7C， 8B
三、1、´，2、´，3、Ö 4、´，5、Ö，6、´，7、´，8、´，9、´，10、´
四、1、解：是的正根，，牛顿迭代公式为
， 即
取x0=1.7, 列表如下：

1
2
3

1.73235
1.73205
1.73205
2、解：，
，

得 ，所以 。
3、解：

4、解：
，时，

至少有两位有效数字。
5、幂法公式为 ，
取x0=(1,1,1)T，列表如下：
k
yT
mk
xT
1
(4， 0， 1)
4.00
(1, 0, 0.25)
2
(4， -1.25， 0.5)
4.00
(1,-0.31,0.13)
3
(4, -1.75, 0.57)
4.00
(1,-0.44,0.14)
,
6、解：Gauss-Seidel迭代格式为：

系数矩阵严格对角占优，故Gauss-Seidel迭代收敛.
取x(0)=(0,0,0)T，列表计算如下:

1
1.667
0.889
-2.195
2
2.398
0.867
-2.383
3
2.461
0.359
-2.526
7、解：预估—校正公式为

其中，，h=0.2，，代入上式得：

1
2
3
4
5

0.2
0.4
0.6
0.8
1.0

1.24
1.58
2.04
2.64
3.42

自测题
一、填空题（15分）：
1、-43.578是舍入得到的近似值，它有 ( ) 位有效数字，相对误差限为( )。
2、二分法求非线性方程在区间(1,3)内的根时，二分9次后的误差限为( )。
3、f(1)＝1，f(3)＝3.6，f(4)＝5.2，则过这三点的二次插值多项式中x2的系数为( )，插值基函数l1(x)=( )，二次插值多项式P2(x)=( )。
4、已知f (1)＝1，f (3)＝2，f (5)＝4，用复合梯形求积公式求得≈( )。
5、  (xi,yi) i=1,2, …,15的线性拟合曲线的正规方程组为( )。
6、  幂法的迭代公式为( )。
7、  已知f(1)＝1，f(3)＝2，则( )。
二、单项选择题：(5分)
1.      截断误差是 ( ) 产生的误差。
A. A. 只取有限位数 B. 模型准确值与用数值方法求得的准确值
C. 观察与测量 D. 数学模型准确值与实际值
2.      用x近似表示sinx所产生的误差是（ ）误差。
A. 模型 B. 观测 C. 截断 D. 舍入
3.       解线性方程组Ax=b的迭代格式x(k+1)=Mx(k)+f收敛的充要条件是（ ）。
A. <1 B. <1 C. <1 D. <1
4.       设为n维向量x的范数，则( )。
A. ‖x‖<1 B. ‖x‖>1 C. ‖x‖>0 D. ‖x‖≥0
5.       幂法是求矩阵（　　）特征值及相应特征向量的一种向量迭代法。
A. 按模最小 B. 所有 C. 按模最大 D. 任意一个
三、计算题：（50分）
1.     证明方程x2-x-3=0在区间(2,3)内有且仅有一个根,并用迭代法求方程在区间(2,3)内的根,精确到小数点后4位。
2.     设f (1)=2，f (3)=4，f (4)=6，用拉格朗日插值法求f (x)的二次插值多项式P2(x)，并求f (2)的近似值。
3.     用预估—校正公式求初值问题=2x-3y，y(0)=1 (0£x£1)在区间[0,1]上的数值解，步长h=0.2（保留3位小数）。
4.     用LU分解方法求方程组 =的解。
5.     用简单(Jacobi)迭代法解上题，取x(0)=(0,0,0)T,列表计算四次，保留三位小数（要求判断迭代收敛）。
6.     求一次数£ 3的多项式,使得,.
7.     求线性方程组 的最小二乘解。