ch31微分中值定理.pptx

第一节第一节 微分中值定理微分中值定理0 洛尔定理洛尔定理0 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理0 柯西中值定理柯西中值定理费马定理费马定理 设函数设函数 f(x)在在a,b上有定义，并且在点上有定义，并且在点c(a,b)取到最值，取到最值，f(x)在点在点c可导，则可导，则 f (c)=0。证明：不失一般性。设证明：不失一般性。设 f(x)在点在点 x=c=c 取到最大值，取到最大值，则则 f(x)f(c)(c)，x(a,b)(a,b)。从而从而 f (c)=0。一、罗尔一、罗尔(Rolle)定理定理例如例如,几何解释几何解释:证证罗尔定理的三个条件，缺一不可罗尔定理的三个条件，缺一不可.例如例如,又例又例,注注:罗尔定理结论均不成立罗尔定理结论均不成立.不满足条件不满足条件(3),不满足条件不满足条件(1);不满足条件不满足条件(3),不满足条件不满足条件(1);例例1验证洛尔定理对函数验证洛尔定理对函数 f(x)=sinx在在0,上的正确性。上的正确性。解：解：f(x)在在0,上连续，在上连续，在(0,)上可导，上可导，且且 f(0)=f()由洛尔定理知：由洛尔定理知：在在(0,)内至少有一点内至少有一点，使，使 f ()=0，即即:cos =0,故故=/2。例例2 2证证由零点定理由零点定理即为方程的小于即为方程的小于1的正实根的正实根.矛盾矛盾,二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理作辅助函数作辅助函数拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式证法二证法二F(x)在闭区间在闭区间 a,b 上连续上连续,在开区间在开区间(a,b)内可导内可导,由由R-定理知定理知:注意注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.拉格朗日中值定理又称拉格朗日中值定理又称有限增量定理有限增量定理.微分中值定理微分中值定理拉格朗日中值公式的拉格朗日中值公式的有限增量公式有限增量公式形式：形式：证明：设证明：设x1,x2是是(a,b)内任意两点，由内任意两点，由拉格朗日拉格朗日定理有定理有(在在x1,x2之间之间)由由x1,x2的任意性知的任意性知:f(x)=常数常数,x(a,b).定理得证定理得证设设 如果对任意的如果对任意的x(a,b)都有都有f (x)=0,则则 f(x)在在(a,b)内恒为一常数内恒为一常数.推论推论例例5 5证证例例6 6证证由上式得由上式得例例7 7三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理几何解释几何解释:证证1作辅助函数作辅助函数特别特别证证2柯西定理的几何意义柯西定理的几何意义:注意注意:弦的斜率弦的斜率切线斜率切线斜率曲线上到弦曲线上到弦ABAB的距离的距离最远点处的切线平行最远点处的切线平行于于ABAB AB弦的方程：弦的方程：曲线上点曲线上点M(g(x),f(x)到到AB弦的距离为弦的距离为柯西定理证明分析曲线上到弦曲线上到弦AB的距离的距离最远点处的切线平行于最远点处的切线平行于AB 柯西定理证明作辅助函数作辅助函数对任意对任意x 有有；由费马引理知，由费马引理知，例例8 8例例9 9证一证一结论可变形为结论可变形为证二证二例例10 设设f(x)在在a,b上可微，且上可微，且ab0，求证：，求证：(ab)证明证明 令令 a,b同号，故同号，故x=0不在不在(a,b)内内;(x),g(x)在在(a,b)内可微。内可微。由柯西中值定理由柯西中值定理例例1111四、小结四、小结Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；之间的关系；注意定理成立的条件；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.Z 思考思考证明证明解答解答2o 对对f(x)在在b,a上用拉格朗日公式上用拉格朗日公式,即即证明证明 1o 由所要证明的不等式选定一函数由所要证明的不等式选定一函数f(x)及及定义区间定义区间:令令 f(x)=lnx,xb,a.Z 思考思考证证解解柯西柯西(1789 1857)法国数学家,他对数学的贡献主要集中在微积分学,柯 西全集共有 27 卷.其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的分析教程,无穷小分析概论,微积分在几何上的应用 等,有思想有创建,响广泛而深远.对数学的影他是经典分析的奠人之一,他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展.复变函数和微分方程方面.一生发表论文800余篇,著书 7 本,