1、
2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）
理科数学
一、选择题
1.设集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论不正确的是（ ）
A.该地农户家庭年收入低于万元的农户比率估计为
B.该地农户家庭年收入不低于万元的农户比率估计为
C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过万元
D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于万元至万元之间
3.已知，则（
2、 ）
A. B.
C. D.
4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足.已知某同学视力的五分记录法的数据为，则其视力的小数记录法的数据约为（）（ ）
A. B.
C. D.
5.已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
6.在一个正方体中，过顶点的三条棱的中
3、点分别为，，，该正方体截去三棱锥后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ）
A. B.
C. D.
7.等比数列的公比为，前项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ）
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为（单位:)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．右图是三角高程测量法的一个示意图，现有，，三点，且，，在同一水平面上的
4、投影，，满足，.由点测得点的仰角为，与的差为:由点测得点的仰角为,则，两点到水平面的高度差约为（ ）（）
A.
B.
C.
D.
9.若，，则（ ）
A. B.
C. D.
10.将个和个随机排成一行，则个不相邻的概率为（ ）
A. B.
C. D.
11.已知是半径为的球的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为（ ）
A. B.
C.
5、 D.
12.设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题
13.曲线在点处的切线方程为 .
14.已知向量，，.若，则 .
15.已知，为椭圆的两个焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为 .
16.已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数为 .
三、解答题
（1）必考题
17.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两
6、台机床产品的质量，分別用两台机床各生产了件产品，产品的质量情况统计如下表：
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
（2）能否有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附：，
18.已知数列的各项均为正数，记为的前项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
①数列是等差数列：②数列是等差数列：③.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分，①，
19.已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，为棱上的点，.
（1）证明：；
（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正
7、弦值最小？
20.抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于，两点，且，已知点，且与相切.
（1）求，的方程；
（2）设，，是上的三个点，直线，均与相切，判断直线，与的位置关系，并说明理由.
21.已知且，函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围.
四、选考题（2选1）
22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）将的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点的直角坐标为，为上的动点，点满足，写出的轨迹的参数方程，并判断与是否有公共点.
23.已知函数，.
（1）画出和的图象；
（2）若，求的取值范围.
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