2021年江西高考理数真题及解析.doc

2021年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设2（z+）+3(z-)=4+6i，则z=( ).
A.1-2i B.1+2i C.1+I D.1-i
正确答案C
解析 设利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于a、b的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数z.
【详解】设，则，则，
所以，，解得，因此，.
故选：C.

2.已知集合S=｛s|s=2n+1,n∈Z｝，T=｛t|t=4n+1,n∈Z｝，则S∩T=( )
A.
B.S
C.T
D.Z
正确答案C
解析
分析可得，由此可得出结论.
【详解】任取，则，其中，所以，，故，
因此，.
故选：C.

3.已知命题p：x∈R，sinx＜1；命题q：x∈R，≥1，则下列命题中为真命题的是（ ）
A.pq
B.pq
C.pq
D.(pVq)
正确答案A
解析由正弦函数的有界性确定命题p的真假性，由指数函数的知识确定命题q的真假性，由此确定正确选项.
【详解】由于sin0=0，所以命题p为真命题；
由于在R上为增函数，，所以，所以命题q为真命题；
所以为真命题，、、为假命题.
故选：A．

4.设函数f(x)=，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A.f(x-1)-1
B.f(x-1)+1
C.f(x+1)-1
D.f(x+1)+1
正确答案B
解析分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
【详解】由题意可得，
对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B

5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（ ）
A.
B.
C.
D.
正确答案D
解析平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可.
【详解】
如图，连接，因为∥，
所以或其补角为直线与所成的角，
因为平面，所以，又，，
所以平面，所以，
设正方体棱长为2，则，
，所以.
故选：D

6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A.60种
B.120种
C.240种
D.480种
正确答案C
解析
先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.
【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，
故选：C.

7.把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y=sin(x-)的图像，则f(x)=（ ）
A.sin()
B. sin()
C. sin()
D. sin()
正确答案B
解析
解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式；
解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式.
【详解】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，
根据已知得到了函数的图象，所以，
令,则,
所以,所以；
解法二：由已知的函数逆向变换，
第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
即为的图象，所以.
故选：B.

8.在区间（0,1）与（1,2）中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
正确答案B
解析
设从区间中随机取出的数分别为，则实验的所有结果构成区域为，设事件A表示两数之和大于，则构成的区域为，分别求出对应的区域面积，根据几何概型的的概率公式即可解出．
【详解】如图所示：
设从区间中随机取出的数分别为，则实验的所有结果构成区域为，其面积为．
设事件A表示两数之和大于，则构成的区域为，即图中的阴影部分，其面积为，所以．
故选：B.

9.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海盗的高。如图，点E,H,G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”。则海岛的高AB=（ ）.

A：
B：
C：
D：
正确答案A
解析
利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出．
【详解】如图所示：

由平面相似可知，，而，所以
，而，
即＝．
故选：A.

10.设a≠0，若x=a为函数的极大值点，则（ ）.
A：a＜b
B：a＞b
C：ab＜a2
D：ab＞a2
正确答案D
解析
先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否编号，结合极大值点的性质，对a进行分类讨论，画出f(x)图象，即可得到a,b所满足的关系，由此确定正确选项.
【详解】若a=b，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.
有x=a和x=b两个不同零点，且在x=a左右附近是不变号，在x=b左右附近是变号的.依题意，x=a为函数的极大值点，在x=a左右附近都是小于零的.
当a<0时，由x>b，，画出f(x)的图象如下图所示：

由图可知b0时，由x>b时，f(x)>0，画出f(x)的图象如下图所示：

由图可知b>a，a>0，故.
综上所述，成立.
故选：D

11.设B是椭圆C：（a＞b＞0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足，则C的离心率的取值范围是（ ）.
A：
B：
C：
D：
正确答案C
解析
设，由，根据两点间的距离公式表示出，分类讨论求出的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．
【详解】设，由，因为，，所以
，
因为，当，即时，，即，符合题意，由可得，即；
当，即时，，即，化简得，，显然该不等式不成立．
故选：C．

12.设，，，则（ ）.
A：a＜b＜c
B：b＜c＜a
C：b＜a＜c
D：c＜a＜b
正确答案B
解析
利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
[详解],
所以;
下面比较C与a,b的大小关系.
记,则,，
由于
所以当0c;
令,则,,
由于，在x>0时,,
所以,即函数g(x)在[0,+∞)上单调递减，所以,即,即b知双曲线C：（m>0）的一条渐近线为+my=0，则C的焦距为 .
正确答案4
解析
将渐近线方程化成斜截式，得出a,b的关系，再结合双曲线中对应关系，联立求解m，再由关系式求得c，即可求解.
【详解】由渐近线方程化简得，即，同时平方得，又双曲线中，故，解得（舍去），，故焦距.
故答案为：4.

14.已知向量a=（1，3），b=（3，4），若（a-λb）⊥b，则λ= 。
正确答案
解析面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．
【详解】因为，所以由可得，
，解得．
故答案为：．

15.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B=60°，a2+c2=3ac，则b= .
正确答案
解析 由三角形面积公式可得ac=4，再结合余弦定理即可得解.
【详解】由题意，，
所以，
所以，解得（负值舍去）.
故答案为：.

16.以图①为正视图和俯视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 （写出符合要求的一组答案即可）.

正确答案③④（答案不唯一）
解析由题意结合所给的图形确定一组三视图的组合即可.
【详解】选择侧视图为③，俯视图为④，

如图所示，长方体中，，
分别为棱的中点，
则正视图①，侧视图③，俯视图④对应的几何体为三棱锥.
故答案为：③④.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17.（12分）
某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备
9.8
10.3
10.0
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
新设备
10.1
10.4
10.1
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为s12和s22
（1） 求，， s12，s22；
（2） 判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果-≥，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.
正确答案
（1）；
（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
解析
（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.
（2）根据题目所给判断依据，结合（1）的结论进行判断.
【详解】（1），
，
，
.
（2）依题意，，，
，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.

18.(12分)
如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M为BC的中点，且PB⊥AM，
（1） 求BC；
（2） 求二面角A-PM-B的正弦值。

正确答案（1）；（2）
解析（1）以点D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设BC=2a，由已知条件得出，求出a的值，即可得出BC的长；
（2）求出平面PAM、PBM的法向量，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果.
【详解】（1）平面ABCD，四边形ABCD为矩形，不妨以点D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系D-xyz，

设BC=2a，则、、、、，
则，，
，则，解得，故；
（2）设平面PAM的法向量为，则，，
由，取，可得，
设平面PBM的法向量为，，，
由，取，可得，
，
所以，，
因此，二面角的正弦值为.

19.（12分）
记S n为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项和，已知=2.
（1） 证明：数列{bn}是等差数列；
（2） 求{an}的通项公式.
正确答案（1）证明见解析；（2）.

解析
（1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列;
（2）由（1）可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得.
【详解】（1）由已知得,且，,
取,由得,
由于为数列的前n项积，
所以,
所以，
所以,
由于
所以，即,其中
所以数列是以为首项，以为公差等差数列;
（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
,
,
当n=1时，,
当n≥2时,,显然对于n=1不成立,
∴

20.（12分）
设函数f（x）=ln（a-x），已知x=0是函数y=xf（x）的极值点。
（1） 求a；
2） 设函数g（x）=，证明：g（x）＜1.
正确答案
（1）a=1；（2）证明见详解
解析
（1）由题意求出，由极值点处导数为0即可求解出参数a；
（2）由（1）得，x<1且，分类讨论和，可等价转化为要证，即证在和上恒成立，结合导数和换元法即可求解
【详解】（1）由，，
又x=0是函数的极值点，所以，解得a=1；
（2）由（1）得，，x<1且，
当 时，要证，， ，即证，化简得；
同理，当时，要证，， ，即证，化简得；
令，再令，则，，
令，，
当时，，单减，假设能取到，则，故；
当时，，单增，假设能取到，则，故；
综上所述，在恒成立

21.（12 分）
己知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，且F与圆M：x2+（y+4）2=1上点的距离的最小值为4.
（1）求p；
（2）若点P在M上，PA,PB是C的两条切线，A,B是切点，求PAB的最大值.
正确答案（1）p=2；（2）.
解析
（1）根据圆的几何性质可得出关于p的等式，即可解出p的值；
（2）设点、、，利用导数求出直线PA、PB，进一步可求得直线AB的方程，将直线AB的方程与抛物线的方程联立，求出以及点P到直线AB的距离，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得面积的最大值.
【详解】（1）抛物线C的焦点为，，
所以，F与圆上点的距离的最小值为，解得；

（2）抛物线C的方程为，即，对该函数求导得，
设点、、，
直线PA的方程为，即，即，
同理可知，直线PB的方程为，
由于点P为这两条直线的公共点，则，
所以，点A、B的坐标满足方程，
所以，直线AB的方程为，
联立，可得，
由韦达定理可得，，
所以，，
点P到直线AB的距离为，
所以，，
，
由已知可得，所以，当时，的面积取最大值.

（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.［选修4一4：坐标系与参数方程］（10分）
在直角坐标系xOy中，C的圆心为C（2，1），半径为1.
（1）写出C的一个参数方程；的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）过点F（4,1）作C的两条切线, 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条直线的极坐标方程.
正确答案（1），（为参数）；（2）或.
解析
（1）直接利用圆心及半径可得的圆的参数方程；
（2）先求得过（4，1）的圆的切线方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式化简即可.
【详解】（1）由题意，的普通方程为，
所以的参数方程为，（为参数）
（2）由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为，即，
由圆心到直线的距离等于1可得，
解得，所以切线方程为或，
将，代入化简得
或

23.[选修4一5：不等式选讲]（10分
已知函数f（x）=|x-a|+|x+3|.
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥6的解集；
（2）若f（x）≥ —a ,求a的取值范围.
正确答案
（1）.（2）.
解析
（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.
（2）利用绝对值不等式化简，由此求得a的取值范围.
【详解】（1）当a=1时，，表示数轴上的点到1和-3的距离之和，
则表示数轴上的点到1和-3的距离之和不小于6，
当x=-4或x=2时所对应的数轴上的点到1,3所对应的点距离之和等于6，
∴数轴上到1,3所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是或，
所以的解集为.

（2）依题意，即恒成立，
，
当且仅当时取等号，,
故，
所以或，
解得.
所以的取值范围是.

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