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2007年福建高考文科数学真题及答案

第I卷 （选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知全集U=|1,2,3,4,5|,且A＝{2,3,4},B={1,2},则（CUB）等于
A.{2} B.{5} C.{3,4} D.{2,3,4,5}
解析：（CUB）={3，4，5}，（CUB）={3，4}，选C
(2)等比数列{an}中，a4=4,则a2·a6等于
A.4 B.8 C.16 D.32
解析：a2·a6= a42=16，选C
(3)sin15°cos75°+cos15°sin105°等于
A.0 B. C. D.1
解析：sin15°cos75°+cos15°sin105°= sin215°+cos215°=1，选D
（4）“|x|<2”是“x2-x-6<0”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：由|x|<2得-2解析：由2x+=kπ得x=，对称点为（，0）（），当k=1时为（，0），选A
（6）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、BC1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于
A.45° B.60° C.90° D.120°

解析：连A1B、BC1、A1C1，则A1B=BC1=A1C1，且EF∥A1B、GH∥BC1，所以异面直线EF与GH所成的角等于.60°，选B
（7）已知f(x)为R上的减函数，则满足的实数x的取值范围是
A.（-，1） B.（1，+）
C.（-，0）（0，1） D.（0）（1，+）
解析：由已知得解得或x>1，选D
（8）对于向量a、b、c和实数，下列命题中真命题是
A.若a·b＝0，则a=0或b=0 B.若a=0,则＝0或a=0
C.若a2=b2,则a=b或a=-b D.若a-b=a·c，则b=c
解析： a⊥b时也有a·b＝0，故A不正确；同理C不正确；由a·b=a·c得不到b=c，如a为零向量或a与b、c垂直时，选B
(9)已知m,n为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是
A.∥，n∥ ∥
B.∥，，m∥n
C.m⊥，m⊥nn∥
D.n∥m,n⊥m⊥
解析：A中m、n少相交条件，不正确；B中分别在两个平行平面的两条直线不一定平行，不正确；C中n可以在内，不正确，选D
(10)以双曲线x2-y2=2的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是
A.x2+y2-4x-3=0 B.x2+y2-4x+3=0
C.x2+y2+4x-5=0 D.x2+y2+4x+5=0
解析：双曲线x2-y2=2的右焦点为（2，0），即圆心为（2，0），右准线为x=1，半径为1，圆方程为，即x2+y2-4x+3=0，选B
(11)已知对任意实数x,有f（-x）=-f (x)，g(-x)=g(x),且x>0时f’’(x)>0,g’ (x) >0,则x<0时
A.f’(x)>0,g’(x)>0 B.f ’(x)>0,g’(x)<0
C.f ’(x)<0,g’(x)<0 D.f ’ (x)<0,g’(x)<0
解析：由已知f(x)为奇函数,图像关于原点对称,在对称区间的单调性相同;g(x)为偶函数,在对称区间的单调性相反, x>0时f’’(x)>0,g’ (x) >0,递增,当x<0时, f(x) 递增, f ’(x)>0; g(x)递减, g’(x)<0,选B
(12)某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10000个号码.公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”
的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为
A.2000 B.4096 C.5904 D.8320
解析：10000个号码中不含4、7的有84=4096，故这组号码中“优惠卡”的个数为10000-4096=5904，选C
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡的相应位置。
（13）（x2+）6的展开式中常数项是 .（用数字作答）
解析：法一：由组合数性质，要使出现常数项必须取2个x2，4个，故常数项为
法二：展开后可得常数项为15
（14）已知实数x、y满足则z=2x-y的取值范围是 .
解析：画出可行域知z=2x-y在（-1，3）取得最小值-5，在（5，3）取得最大值7，范围是[-5，7]
（15）已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为 。
解析：由已知C=2，
（16）中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等.如果集合A中元素之间的一个关系“-”满足以下三个条件：
（1）自反性：对于任意a∈A,都有a-a;
(2)对称性：对于a,b∈A，若a-b,则有b-a;
(3)传递性：对于a,b,c∈A,若a-b,b-c,则有a-c.
则称“-”是集合A的一个等价关系.例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）.请你再列出两个等价关系： .
解析：答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等.
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）
在△ABC中，tanA=,tanB=.
(I)求角C的大小;
(II)若AB边的长为，求BC边的长
本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理知运算能力.满分12分.
解：（I）∵C＝-(A+B),
∴tanC=-tan(A+B)=
又∵0记“甲第i次试跳成功”为事件A1，“乙第i次试跳成功”为事件B1.
依题意得P（A1）＝0.7，P（B1）＝0.6，且A1B1（i=1,2,3）相互独立.
(I)“甲第三次试跳才成功”为事件A3，且三次试跳相互独立，
∴P（A3）＝P（）P=0.3×0.3×0.7=0.063.
答：甲第三次试跳才成功的概率为0.063.
(II)甲、乙两支在第一次试跳中至少有一人成功为事件C，
解法一：C＝A1彼此互斥，
∴P（C）
＝
＝0.7×0.4+0.3×0.6+0.7×0.6
= 0.88.
解法二：P（C）＝1-＝1-0.3×0.4=0.88.
答甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为0.88.
（III）设“甲在两次试跳中成功i次”为事件Mi（i=0,1,2）,
“乙在两次试跳中成功i次”为事件Ni(i=0,1,2),
∵事件“甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为M1N0+M2N1,且M1N0、M2N1为互斥事件.
∴所求的概率为

＝×0.7×0.3×0.42+0.72××0.6×0.4
=0.0672+0.2352
=0.3024.
答：甲、乙每人试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为0.3024.

（19）（本小题满分12分）
如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点.
(I)求证：AB1⊥平面A1BD;
(II)求二面角A-A1D-B的大小.
本小题主要考查直线与平面的位置关系，三面角的大小等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力
解法一：（I）取BC中点O，连结AO.
∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC.
∵正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1,
∴AO⊥平面BCC1B1,
连结B1O，在正方形BB1C1C中,O、D分别为BC、CC1的中点，
∴B1O⊥BD,
∴AB1⊥BD.
在正方形ABB1A1中，AB1⊥A1B，
∴AB1⊥平面A1BD.
(II)设AB1与A1B交于点C，在平面A1BD中，作GF⊥A1D于F，连结AF，由（I）得AB1⊥平面A1BD，
∴∠AFG为二面A-A1B-B的平面角.
在△AA1D中，由等面积法可求得AF＝，
又∵AG＝=,
∴sin∠AFG=,
所以二面角A-A1D-B的大小为arcsin.
解法二：（I）取BC中点O，连结AO.

∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC.
∵正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，
∴AO⊥平面BCC1B1.
取B1C1中点O1，以a为原点，的方向为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B（1,0,0）,D (-1,1,0),A1(0,2,),A(0,0,),B1(1,2,0),
∴
∵
∴⊥⊥,
∴AB1⊥平面A1BD.
(II)设平面A1AD的法向量为n=(x,y,z).

∵n⊥⊥,
∴ ∵ ∴
令z=1得a=(-,0,1)为平面A1AD的一个法向量.
由（I）知AB1⊥A1BD.
∴为平面A1BD的法向量.
cos===-.
∴二面角A-A1D-B的大小为arccos.

(20)（本小题满分12分）
设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0).
(I)求f (x)的最小值h(t);
(II)若h(t)<-2t+m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围
本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力.
解：（I）∵ （），
∴当x=-t时，f(x)取最小值f(-t)=-t2+t-1,
即h(t)=-t3+t-1.
(II)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,
由g’(t)=-3t2+3=0得t=1,t=-1（不合题意，舍去）.
当t变化时g’(t)、g(t)的变化情况如下表：
T
(0,1)
1
(1,2)
g’(t)
+
0
-
g(t)
递增
极大值1-m
递减

∴g(t)在（0，2）内有最大值g(1)=1-m
h(t)<-2t+m在（0，2）内恒成立等价于g(t)<0在（0，2）内恒成立，
即等价于1-m<0
所以m的取值范围为m>1

（21）（本小题满分12分）
数列{an}的前N项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn (n∈N*).
(I)求数列{an}的通项an;
(II)求数列｛nan｝的前n项和T.
本小题考查数列的基本知识，考查等比数列的概念、通项公式及数列的求和，考查分类讨论及归的数学思想方法，以及推理和运算能力.满分12分.
解：（I）∵an+1=2Sn,,
∴Sn+1-Sn=2Sn,
∴=3.
又∵S1＝a1=1,
∴数列｛Sn｝是首项为1、公比为3的等比数列，Sn=3n-1(n∈N*).
∴当n2时，an-2Sn-1=2·3n-2(n2),
∴an=
(II)Tn=a1+2a2+3a3+…+nan.
当n=1时，T1=1;
当n2时，Tn=1+4·30+6·31+2n·3 n-2,…………①
3Tn=3+4·31+6·32+…+2n·3n-1,…………②
①-②得：-2Tn=-2+4+2(31+32+…+3n-2)-2n·3 n-1
=2+2·
=-1+(1-2n)·3n-1
∴Tn=+(n-)3n-1 (n2).
又∵Tn=a1=1也满足上式，
∴Tn=+(n-)3n-1(n∈N*)

(22)（本小题满分14分）
如图，已知点F（1，0），直线l:x=-1,P为平面上的动点，过P作l的垂线，垂足为点Q，且
·
（I）求动点P的轨迹C的方程;
（II）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M.
（1）已知的值;
(2)求||·||的最小值.
)本小题考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力.满分14分.
解法一：（I）设点P（x,y）,则Q（-1，y）,由得：
(x+1,0)·(2,-y)=(x-1,y)·(-2,y),化简得C：y2=4x.
(II)（1）设直线AB的方程为：

x=my+1(m≠0).
设A（x1,y1）,B(x2,y2),又M（-1,-）.
联立方程组,消去x得：
y2-4my-4=0,
△ =(-4m)2+12>0,

由得：
，整理得：
,
∴
=
=-2-
=0.
解法二：（I）由
∴·，
∴=0,
∴
所以点P的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹C的方程为：y2=4x.
(II)(1)由已知
则：…………①
过点A、B分别作准l的垂线，垂足分别为A1、B1,
则有：…………②
由①②得：
（II）（2）解：由解法一：
·＝（）2|y1-yM||y2-yM|
=(1+m2)|y1y2-yM(y1+y2)|+yM2|
=(1+m2)|-4+ ×4m+|
=
=4(2+m2+) 4(2+2)=16.
当且仅当，即m=1时等号成立，所以·最小值为16.