fluent-传热模拟.doc

FLUENT 第十一章中文帮助
译文说明
l 本文依据FLUENT6.0的HELP文件翻译而成。事先并未征得原文版权所有者FLUENT公司或其在中国代理人海基公司的同意。
l 本文的写作目的仅在于为在教育与科研领域从事研究工作的人员提供参考与帮助，无意于将其用于商业目的。
l 对本文在教育与科研领域的转移、存储、复制，本文作者不提供基于任何商业目的或有损于原文版权所有者的利益、形象等权益的帮助或便利。
l 对出于研究与教学目的人员或机构，中文翻译者愿意并尽其可能的提供帮助、商议或回应其它形式的要求。
l 一旦原文（英文）版权所有者对中文译文的发布提出异议并明确通知译文作者，同时援引有效、适用的法律、法规条款，译文作者愿意立刻终止其为本文的发布、传播而所做出的一切形式努力。
注：本文以ADOBE公司的PDF格式发布。如需要相应中文WORD格式文档，请发邮件到west_wing@.11. Modeling Heat Transfer 传热模拟
· 11.1 Overview of Heat Transfer Models in FLUENT FLUENT中的传热模型概述
· 11.2 Convective and Conductive Heat Transfer 导热与对流换热
o 11.2.1 Theory 理论
o 11.2.2 User Inputs for Heat Transfer 有关传热的用户输入项
o 11.2.3 Solution Process for Heat Transfer 传热计算的求解过程
o 11.2.4 Reporting and Displaying Heat Transfer Quantities 传热变量的输出与显示
o 11.2.5 Exporting Heat Flux Data 热流数据的输出
· 11.3 Radiative Heat Transfer 辐射传热
o 11.3.1 Introduction to Radiative Heat Transfer 辐射传热简介
o 11.3.2 Choosing a Radiation Model 选择辐射模型
o 11.3.3 The Discrete Transfer Radiation Model (DTRM) 离散传播辐射模型
o 11.3.4 The P-1 Radiation Model P-1辐射模型
o 11.3.5 The Rosseland Radiation Model Rosseland辐射模型
o 11.3.6 The Discrete Ordinates (DO) Radiation Model 离散坐标辐射模型
o 11.3.7 The Surface-to-Surface (S2S) Radiation Model 多表面辐射传热模型
o 11.3.8 Radiation in Combusting Flows 燃烧过程的辐射
o 11.3.9 Overview of Using the Radiation Models 辐射模型使用概览
o 11.3.10 Selecting the Radiation Model 辐射模型的选择
o 11.3.11 Defining the Ray Tracing for the DTRM离散传播模型的跟踪射线的定义
o 11.3.12 Computing or Reading the View Factors for the S2S Model 表面辐射模型中角系数的计算与数据读取
o 11.3.13 Defining the Angular Discretization for the DO Model DO辐射模型离散角的定义
o 11.3.14 Defining Non-Gray Radiation for the DO Model离散坐标辐射模型中的非灰体辐射
o 11.3.15 Defining Material Properties for Radiation 有关辐射性能的材料属性定义
o 11.3.16 Setting Radiation Boundary Conditions 辐射边界条件设定
o 11.3.17 Setting Solution Parameters for Radiation 辐射计算参数的设定
o 11.3.18 Solving the Problem 问题求解过程
o 11.3.19 Reporting and Displaying Radiation Quantities 辐射变量的和输出与显示
o 11.3.20 Displaying Rays and Clusters for the DTRM DTRM表面束和射线显示
· 11.4 Periodic Heat Transfer 周期性传热问题
o 11.4.1 Overview and Limitations 概述与适用范围
o 11.4.2 Theory 理论
o 11.4.3 Modeling Periodic Heat Transfer周期性传热问题的模拟
o 11.4.4 Solution Strategies for Periodic Heat Transfer 周期性传热问题求解策略
o 11.4.5 Monitoring Convergence 监视收敛
o 11.4.6 Postprocessing for Periodic Heat Transfer 周期性传热问题的后处理
· 11.5 Buoyancy-Driven Flows 浮力驱动流动
o 11.5.1 Theory 理论
o 11.5.2 Modeling Natural Convection in a Closed Domain 封闭区域内自然对流的模拟
o 11.5.3 The Boussinesq Model Boussinesq模型
o 11.5.4 User Inputs for Buoyancy-Driven Flows 浮力驱动流动的用户输入
o 11.5.5 Solution Strategies for Buoyancy-Driven Flows 浮力驱动流动的求解策略
o 11.5.6 Postprocessing for Buoyancy-Driven Flows 浮力驱动流动的后处理

west_wing@
- 11 -
11.1 FLUENT中的传热模型概述
占据一定体积的物质所据有的热能从一处转移到另一处，这种现象称为传热。引发传热的原因有三种：导热、对流传热、辐射传热。只涉及热传导或／和对流的传热过程是最简单的情况，而涉及到浮力驱动流动或者自然对流、辐射的传热过程却比较复杂。依据问题的不同，FLUENT求解不同的能量方程以考虑用户设定的传热模型。FLUENT也可以预报出具有周期对称性几何结构所对应的周期性传热，这样就可以大大减少计算量。

11.2 导热与对流换热
FLUENT允许用户在其模型中包含有流体与／和固体的传热求解。从流体热混合到固体的热传导可以在FLUENT中应用这一节所介绍的模型和用户输入项进行耦合求解。11.3节介绍辐射传热模型、11.5节介绍自然对流。
· 11.2.1 Theory
· 11.2.2 User Inputs for Heat Transfer
· 11.2.3 Solution Process for Heat Transfer
· 11.2.4 Reporting and Displaying Heat Transfer Quantities
· 11.2.5 Exporting Heat Flux Data
11.2.1 理论
能量方程
FLUENT求解如下的能量方程：
（11.2.1）
其中，为有效导热率（，其中，为湍流引致的导热率，由模型中使用的湍流模型确定）。为组分的扩散通量。方程11.2-1右边的前三项分别表示由于热传导、组分扩散、粘性耗散而引起的能量转移。包含化学反应放（吸）热以及任何其它的由用户定义的体积热源。
方程11.2-1中：
（11.2.2）
其中，显焓的定义（对理想气体）为：
（11.2.3）
对不可压流体：
（11.2.4）
方程11.2-3、11.2-4中为组分的质量分数：

其中为298.15K。
非预混燃烧模型的能量方程：
当激活非绝热、非预混燃烧模型时，FLUENT求解以总焓表示的能量方程：
（11.2.6）
上式假定刘易斯数（Le）＝1，方程右边的第一项包含热传导与组分扩散，粘性耗散作为非守恒形式被包含在第二项中。总焓的定义为：

其中，为组分的质量分数：
（11.2.8）
为组分处于参考温度的生成焓。
考虑压力做功以及动能
方程11.2-1包含有在不可压流动中经常被忽略的压力做功和动能。因此，在缺省情况下，分离式求解器在计算不可压流体时，不考虑压力做功和动能的影响。如果用户希望考虑这两个因素，可以使用define/models/energy?命令行激活这两个影响因素。在处理可压缩流动或使用任何耦合式求解器时，总是考虑压力做功和动能。
考虑粘性耗散
方程11.2-1和11.2-6包含有粘性耗散项，它表示了由于流动过程中粘性剪切作用而产生的热量。
在使用分离式求解器时，FLUENT的缺省能量方程不包含这一项（因为一般灰忽略粘性产生的热量）。当Brinkman数，Br，接近或大于1 时，流体粘性生成的热量不可忽视：
（11.2.9）
其中，为计算区域内的温差。
当用户的问题需要考虑粘性耗散项，并且使用的是分离式求解器时，用户应该在Viscous Model panel面板中使用Viscous Heating选项激活此项。对于一般的可压缩流动，。需要注意的是，如果用户已经定义了可压缩流动，但使用了分离式求解器，FLUENT不会自动激活粘性耗散选项。
对于任一种耦合式求解器，在求解能量方程时，粘性耗散项总是被考虑进去。
考虑组分扩散项：
由于组分扩散的作用，方程11.2-1、11.2-6均包含有焓的输运。
当使用分离式求解器时，此项：

在缺省情况下被包含在方程11.2-1中。若用户希望禁止此项，可以使用Species Model panel.面板中的Diffusion Energy Source选项来屏蔽。
在使用非绝热、非预混燃烧模型时，因为方程112-6中的第一项中已经包含了这一项，所以它不会显式的包含在方程中。
使用耦合式求解器时，这一项总是被包含在能量方程中。
化学反应引起的传热源项
方程11.2-1中的能量源项包含化学反应带来的热量；
（11.2.10）
其中，为组分的生成焓，为组分的体积释热率。
对于非绝热、非预混燃烧模型的能量方程（方程11.2-6），由于组分生成热已经被包含在焓的定义之中（请参阅方程11.2-6），所以，能量的反应源项不包含在源项之中。
辐射引起的能量源项
一旦使用了某种辐射模型，方程11.2-1、11.2-6中的源项也包含有辐射源项。细节请参阅11.3节。
相间能量交换源项
需要指出的是，能量源项中也包含连续相与离散相之间的热量交换。进一步的讨论请参阅19.5节。
壁面传热边界条件
壁面传热边界条件在10.8.2节介绍。
固体计算域的能量方程
在固体区域，FLUENT使用的能量方程形式如下：
（11.2.11）
其中：

方程11.2-11左边第二项表示固体由于旋转或平移而引起的对流传热。速度由用户对固体区域的运动属性的设定而计算得到（请参阅6.18节）。方程11.2-11右边两项分别表示传导引起的热流以及固体内部的体积热源。
固体内各向异性热传导
当使用分离式求解器时，FLUET允许用户对固体介质设定各向异性的导热率。对于各向异性导热的 ，其热传导项为：
（11.2.12）
其中，为导热率张量。关于如何对固体设定各向异性导热率，请参阅7.4.5节。
入口区的扩散
在入口区的总能量输运既包括对流传热，也包括扩散传热。对流传热由用户设定的入口温度所确定。但是，扩散传热却依赖于计算域中的温度梯度。这样，我们不能预先设定扩散传热量，从而就不能确定入口的总传热量。
在某些场合，用户可能希望给定入口的中传热量而不是入口温度。如果使用分离式求解器，用户可以禁止掉入口的能量扩散来达到此目的。缺省情况下，在入口区，FLUENT包含有扩散传热。为了禁止入口的扩散传热，可使用define/models/energy?命令行。
如果使用耦合式求解器，那么，入口区的扩散传热不能禁止掉。
11.2.2有关传热的用户输入项
在FLUENT中使用的模型考虑传热时，用户需要激活相应的模型、提供热边界条件、给出控制传热和／或依赖于温度而变化的各种介质参数。这一节介绍这些输入项。
设定传热问题的步骤如下所述（需要注意的是，这里介绍的只包括针对传热而必须的设定步骤，用户还需要设定其它的模型参数、边界条件等）。
1. 为了激活传热计算，请在Energy panel面板（图11.2.1）中激活Energy Equation选项。
Define Models Energy...

图表 11.2.1 Energy面板

2. 如果模拟的是粘性流动，并且希望在能量方程中包含粘性生成热，请在Viscous Model panel.面板中激活Viscous Heating选项（可选的，且仅适用于离散求解器，）。正如11.2.1节所介绍的，在使用离散求解器时，缺省情况下，FLUENT在能量方程中忽略了粘性生成热（各个耦合求解器总是包含有粘性生成热）。对于流体剪切应力较大（例如流体润滑问题），和／或高速可压缩流动（请参阅方程11.2-9），用户应该考虑粘性耗散。
Define Models Viscous...
3. 在流动入口、出口以及壁面定义热边界条件
Define Boundary Conditions
在入口、出口边界用户应设定温度条件；在壁面，用户可以设定如下的热边界条件：
l 设定热流
l 设定温度
l 对流传热条件
l 辐射条件
l 辐射与对流的混合边界
6.13.1节详细介绍了决定上述热边界条件所需要的模型输入参数。入口的缺省热边界条件为温度＝300K；壁面的缺省热边界条件为热流＝0（即壁面绝热）。关于边界条件输入参数的细节请参阅第六章。
！！若用户的传热计算涉及到两个彼此分离的流动区域，请看下面的介绍。
4. 定义介质的热参数
Define Materials...
必须定义介质的比热和导热率，并且用户可以把很多参数设定为温度的函数（请参阅第七章）。
！！若用户的传热计算涉及到两个彼此分离的流动区域，请看下面的介绍。
温度的高限与低限值
出于计算稳定性的考虑，FLUENT对温度的计算范围加以限制。设定温度的高低限是为了提高计算的稳定性，因为物理上真实的温度应该处于某个确定的温度范围之内。有时，在方程求解刚开始时，温度可能会超出温度限制，而异常温度所对应的各种参数将是不真实的。温度的高／低限值确保了计算出的温度处在用户所期望的可能的温度范围之内。如果FLUENT在计算过程中得到的温度超出了温度高限，那么，计算温度值就被固定在温度高限上。缺省的温度高限值是5000K。若FLUENT在计算过程中得到的温度低于温度低限，那么，计算温度值就被固定在温度低限上。缺省的温度低限值为1K。
若用户计算域内的温度可能超过5000K，那么，可以使用Solution Limits panel面板的Maximum Temperature.选项来提高温度高限值。
Solve Controls Limits...
模拟分离的两个区域内的传热
如果用户的传热计算域涉及到由固体区域或某个壁面分开的两个流动区域（如图11.2.2所示），那么，就需要仔细的设定此计算模型：
l 在任一个流动区域都不能使用outflow边界条件
l 通过对每个计算域设定不同的流体介质，用户可以创建单独的流体介质属性（但是，对于需要组分计算的情况，用户只能对整个计算域设定一个单一的混合介质）。

图表 2 涉及到两个彼此分离流动的典型逆流换热
11.2.3传热计算的求解过程
尽管使用FLUENT中预先设定的缺省求解参数可以很好的求解简单传热问题，用户可以使用本节介绍的方法来加速计算的收敛或者／和提高求解过程的稳定性。
能量方程的亚松弛
当用户使用分离式求解器时，FLUENT使用亚松弛参数（系数，在Solution Controls panel面板中由用户定义，请参阅22.9节）来对能量方程进行亚松弛处理。
Solve Controls Solution...
如果使用非绝热、非预混燃烧模型，用户可以设定能量方程的亚松弛系数，也可以对温度进行亚松弛处理，如下所述。
无论能量方程采用那种形式（温度或焓），FLUENT使用的缺省亚松弛系数都是1.0。在能量场影响到流场的情况下（通过依赖于温度的变量的改变或者浮力的影响），用户应该使用较小的亚松弛系数（一般为0.8～1.0）。对于流场不受温度场影响的情况（没有依赖于温度的变量或者浮力的影响），用户可以保持缺省的亚松弛系数值为1.0。
求解焓方程时的温度亚松弛
在能量方程以焓的形式表示时（例如，当用户使用非绝热、非预混燃烧模型），FLUENT对温度急性亚松弛处理，即每次对温度变化只进行部分更新从而对焓值就进行了亚松弛处理。这种间接方式亚松弛使用户可以令焓值迅速改变，而温度（会影响到流体的属性）相对要滞后。FLUENT中温度亚松弛系数的缺省值为1.0。用户可以在Solution Controls panel.面板中进行更改。
禁止组分扩散项
如果使用分离式求解器时收敛困难，那么，用户可以考虑在Species Model panel.面板中禁止Diffusion Energy Source选项。
Define Models Species...
当此选项被禁止时，FLUENT将忽略能量方程中的组分扩散的影响。
需要注意的是，对于任何耦合求解器，总是包含有组分扩散的影响。
逐步求解
对于传热计算，更有效的计算策略是先计算绝热流动，然后再考虑能量方程的计算。依据流动与传热是否耦合，求解过程稍有不同。
非耦合的流动-传热计算
若用户的问题是非耦合的流动-传热过程（没有依赖于温度的介质属性或浮力），那么，用户可以先求解绝热流动（屏蔽掉能量方程）以得到收敛的流场，然后再单独求解能量输运方程。
！！由于耦合求解器同时求解流动与能量方程，所以，上述的能量方程单独求解过程仅对分离式求解器有效。
用户在Solution Controls panel（请参阅22.19.2节）面板中的Equations列表中不选择Energy选项，就可以临时性的屏蔽掉能量方程的求解。
Solve Controls Solution...
流动与传热的耦合计算
对于流动与传热耦合问题（例如，模型中包含有依赖于温度的介质属性或浮力），在计算能量方程之前，用户可以首先求解流动方程。获得收敛的流场计算结果之后，用户可以再选择能量方程，然后同时求解流动与传热方程，最终获得问题的完整解。
11.2.4传热变量的输出与显示
对于传热过程，FLUENT提供另外的几种输出（汇报）选项。用户可以生成如下的图形或输出变量／函数：
l 温度
l 总温（滞止温度）
l 焓
l 相对滞止温度
l Rothalpy
l 壁面温度（外表面）
l 壁面温度（内表面）
l 滞止焓
l 滞止焓梯度
l 熵
l 总能
l 内能
l 表面总热流密度
l 表面传热系数
l 表面努塞尔数
l 表面斯坦顿数
上述的前12个变量列于后处理面板中的Temperature...目录下的下拉列表中，其余的变量列于Wall Fluxes...目录之下。关于这些变量的定义请参阅第27章。
输出与显示总的焓与能量的定义
依据流体是否可压缩，焓与能量的输出值的定义有所不同。关于完整的变量定义请参阅27.4节。
穿过边界的热流量（热通量）的输出
用户可以使用面板来计算求解域中每个边界的传热量，或者是对所有边界的传热量求和以检查热量的平衡。
Report Fluxes...
我们推荐用户进行热平衡的检查以确保计算结果达到真实收敛状态。关于生成热流量的输出项目请参阅26.2节。
穿过表面的热流通量的输出
用户可以使用Surface Integrals panel面板（请参阅26.5节）来计算穿过任一边界或表面（使用第24章所介绍的方法创建而成）的热流通量。
Report Surface Integrals...
为了要输出焓的流率（通量）：
（11.2.13）
在Surface Integrals面板中选定Mass Flow Rate选项，然后在Field Variable区选定Enthalpy（在Temperature...目录列表下），然后点取希望进行积分的表面。
平均传热系数的输出
Surface Integrals panel面板可以用来输出某个面的平均传热系数。
Report Surface Integrals...
在Surface Integrals面板中，选定Area-Weighted Average选项，然后在Field Variable区选定Surface Heat Transfer Coef.（在Temperature...目录列表下），点取某个表面即可。
11.2.5 热流数据的输出
用户可以把壁面区域（包括辐射体）的热流数据输出到文件中，然后就可以进行计算数据的检查或在在其它程序中使用。为了存贮热流数据文件，用户可以使用custom-heat-flux命令行。
file export custom-heat-flux
用户选定的区域（面区域，face zone）热流数据文件的输出格式为：
zone-name nfaces
x_f y_f z_f A Q T_w T_c
.
.
每个数据区以区域名称（zone-name）开始，然后是在此区域包含的面的总数（nfaces）。接下来是每一个面的相关数据（共有nfaces行），每行数据包含面的几何中心坐标（x_f, y_f, and, 三维时还包含, z_f）、面的面积（A)）、包扩辐射传热的总热流量（Q）、面的温度（T_w）以及相邻单元的温度（T_c）。

FLUENT中文帮助-第十一章
11.3 辐射传热
对辐射模型的介绍组织如下：

11.3.1 辐射传热简介
11.3.2 选择辐射模型
11.3.3 离散传播辐射模型
11.3.4 P-1辐射模型
11.3.5 Rosseland辐射模型
11.3.6 离散坐标辐射模型
11.3.7 表面辐射模型
11.3.8 燃烧过程的辐射
11.3.9 辐射模型使用概览
11.3.10 辐射模型的选择
11.3.11 离散传播模型的跟踪射线的定义
11.3.12 表面辐射模型中角系数的计算与数据读取
11.3.13 Defining the Angular Discretization for the DO Model
11.3.14 离散坐标辐射模型中的非灰体辐射
11.3.15 有关辐射性能的材料属性定义
11.3.16 辐射边界条件设定
11.3.17 辐射计算参数的设定
11.3.18 问题求解过程
11.3.19 Reporting and Displaying Radiation Quantities 辐射
11.3.20 Displaying Rays and Clusters for the DTRM

11.3.1 辐射传热简介
FLUENT提供五种辐射模型，用户可以在其传热计算中使用这些模型（可以包括／不包括辐射性介质）：
l 离散传播辐射（DTRM）模型[ 30, 208]
l P-1辐射模型[ 35, 210]
l Rosseland辐射模型[ 210]
l 表面辐射（S2S）模型[ 210]
l 离散坐标辐射（DO）模型[ 37, 183]
是用上述的辐射模型，用户就可以在其计算中考虑壁面由于辐射而引起的加热／冷却以及流体相的由辐射引起的热量源／汇。
辐射传热方程
对于具有吸收、发射、散射性质的介质，在位置、沿方向的辐射传播方程（RTE）为：
（11.3.1）
其中：
位置向量
方向向量
散射方向
沿程长度（行程长度）
吸收系数
折射系数
散射系数
斯蒂芬－玻耳兹曼常数（）
辐射强度，依赖于位置（）与方向（）
当地温度
相位函数
空间立体角
为介质的光学深度（光学模糊度）。对于半透明介质的辐射，折射系数很重要。图11.3.1为辐射传热过程的示意图。

图表 3 辐射传播方程
DTRM、P-1、Rosseland以及DO辐射模型需要把吸收系数作为输入项。和散射系数可以是常数；也可以是当地H2O和CO2、行程长度以及总压的函数。FLUENT提供灰气体加权平均模型（WSGGM）来计算变化的吸收系数。细节请参阅11.3.8。离散坐标模型可以模拟半透明介质内的辐射传递过程，对于这类问题，必须给出介质的折射系数。
辐射传播方程的应用范围
辐射传播方程能够应用的典型场合包括：
l 火焰辐射
l 表面辐射换热
l 导热、对流与辐射的耦合问题
l HVAC（Heating Ventilating and Air Conditioning，采暖、通风和空调工业）中通过开口的辐射换热以及汽车工业中车厢的传热分析
l 玻璃加工、玻璃纤维拉拔过程以及陶瓷工业中的辐射传热
在辐射换热量（）与导热、对流换热量相比较大时，用户应该考虑在其计算中包含由辐射传热过程。在高温情况下，由于辐射换热量与温度四次方成比例，这时，辐射传热将占据传热的主导地位。

11.3.2 选择辐射模型
对于某些问题，某个辐射模型可能比其它模型更适用。在确定使用何种辐射模型时，需要考虑的因素如下：
l 光学深度：光学深度是确定选择辐射模型较好的指标。其中，为计算域大致的长度标尺。例如，对于燃烧室内的流动，为燃烧室的直径。如果，那么，最好的选择是使用P-1或Rosseland辐射模型。P-1模型一般都用于光学深度>1的情况。若光学深度>3，Rosseland模型计算量更小而且更加有效。DTRM 和 DO对于任何的光学深度都适用，但是，它们计算量也更大。因此，如果问题允许的话，应尽可能的选择具有“光学深度限制”的P-1或Rosseland辐射模型。对于光学深度较小的问题，只有DTRM 和 DO模型时适用的。
l 散射与发射：P-1, Rosseland 和 DO模型考虑散射的影响，而DTRM忽略此项。由于Rosseland模型在壁面使用具有温度滑移的边界条件，所以，它对壁面的发射率（黑度）不敏感。
l 只有P-1和DO模型考虑气体与颗粒之间的辐射换热（请参阅方程11.3-15）。
l 半透明介质与镜面边界：只有DO模型允许出现镜面反射（全反射，例如镜子）以及在半透明介质（例如玻璃）内的辐射。
l 非灰体辐射：只有DO模型能够允许用户使用灰带模型计算非灰体辐射。
l 局部热源：对于具有局部热源的问题，P-1模型可能会过高估计辐射热流。这种情况下，DO模型可能会是最好的辐射计算方法，当然，如果具有足够多的射线数目，DTRM模型的计算结果也可以接受
l 没有辐射介质情况下的封闭腔体内的辐射传热：表面辐射换热模型（S2S）适用于这种情况。从原理上讲，使用具有辐射介质的各种辐射模型也可以计算辐射表面间的换热，但计算结果并非总是很好。
来自计算区域外的辐射
如果用户希望考虑计算区域之外的辐射的影响,那么,可在其模型中使用外部辐射边界条件（请参阅6.13.1节）。如果用户并不关心计算域内的辐射过程，那么，使用这种边界条件就不需要使用任何辐射模型。
DTRM辐射模型的优缺点

11.3.3离散传播辐射模型（DTRM）
DTRM辐射模型的主要假设是用单一的（辐射）射线代替从辐射表面沿某个立体角的所有辐射效应。这一节详细介绍DTRM模型中所使用的方程。
DTRM方程
辐射强度（辐射密度）的变化，，沿其行程的微分方程为：
（11.3.2）
其中：＝气体辐射吸收（发射，黑度）系数
＝辐射强度
＝当地气体温度
斯蒂芬－玻耳兹曼常数（）
方程中，假设气体的折射系数为1。在DTRM模型中，对方程11.3.2从边界面出发，沿辐射行程积分。若沿着射线行程，为常数，那么，对于，有：
（11.3.3）
其中，为射线行程起始点的辐射强度，它由相应的边界条件确定（关于辐射边界条件，请参阅下面的介绍）。跟踪穿过流体计算单元中的每条射线，求得他们的辐射强度变化之后，对所有的辐射变化求和，就得到对应于每个流体单元内能量方程的热量源项（由辐射引起的）。
DTRM模型使用的“射线跟踪”方法可用来计算各个表面之间的辐射传热，而却不需要去计算（表面的）角系数。此模型的计算精度主要由所跟踪射线的数目以及计算网格密度决定。
射线跟踪
射线行程的计算与存储先于流体流动的计算。在每个辐射面，射线按照一定的经度角和纬度角进行离散处理（图11.3.2）。为了覆盖辐射半球空间，（纬度角）从0变化到；（经度角）从0变化到。然后，跟踪每条射线以确定与射线相交的计算单元和射线穿越单元的距离。这些信息存储在一个辐射文件中，在开始流体计算之前，必须首先把这个文件读进来。

图表 4 P点在半球空间沿一定经/纬度角的空间立体角的定义
射线（辐射面）束
当跟踪多个表面，并且射线穿越很多计算单元时，DTRM的计算量非常大。为了减少计算量，辐射表面和吸收辐射的计算单元被分成射线束和辐射吸收体。辐射吸收体的组成由某个计算单元开始，加上此单元的临近单元，直到总单元数目达到设定的每个辐射吸收体所包含的单元总数。同理，射线束的组成由某个面（单元）开始，加上此面单元的临近面，直到面单元数目达到每个设定的射线束所包含的面单元总数。
对于每个射线束与辐射吸收体，分别计算其入射辐射通量，与（能量方程中的）体积源相。这些量值被分配到射线束与辐射吸收体所包含内的每个单元，据此来计算壁面与（计算控制）单元的温度。由于辐射源相的高度非线性（）用户必须仔细计算表面束与吸收体的温度以及辐射通量和源相在组成这些束（体）的各个单元之间的分配。
表面束与吸收体的温度是通过对面积的加权平均得到的：
（11.3.4）
（11.3.5）
其中，分别为表面束与吸收体的温度；分别为某个表面（单元）的面积与温度；分别为某个计算单元的面积与温度。求和是对射线束和吸收体内的所有单元进行的。
DTRM辐射模型中壁面边界条件的处理
对紧靠壁面一点的辐射强度积分就得到入射辐射热流：
（11.3.6）
其中，为半球立体角，为入射射线的辐射强度，为射线方向，为表面的法线方向（指向外）。表面的净（出射）辐射热流就等于入射辐射加上对入射辐射的反射和表面的自身辐射：
（11.3.7）
其中，为表面P点的壁面温度，为由用户作为边界条件设定的壁面发射率（黑度）。方城11.3.7也同时给出了从P点发出的辐射射线的辐射强度的边界条件：
（11.3.8）
DTRM模型在流动入口与出口的边界条件处理
在流动入口与出口，净辐射热流的计算方法与上述的方法相同。除非用户更改设定，FLUENT假定在入（出）口的黑度均为1.0（绝对黑体）。
FLUENT中，对于流动的入（出）口，用户可以对辐射与对流设定不同的温度值。在入（出）口的外部区域的温度与内部区域的温度相差很大时，这种处理方法非常有用。细节请参阅11.3.16节。
11.34 P-1辐射模型
P-1辐射模型是P-N模型中最简单的类型。P-N模型的出发点是把辐射强度展开成为正交的球谐函数（正交序列级数，[ 35, 210]）。本节详细介绍P-1辐射模型所使用的各个方程。
P-1辐射模型方程
正如上文所说，P-1辐射模型是P-N模型中最简单的类型。如果只取正交球谐函数的前四项，对于辐射热流，我们能得到如下的方程：
（11.3.9）
其中，为吸收系数，为散射系数，为入射辐射，为线性各相异性相位函数系数（linear-anisotropic phase function，请参阅下面的介绍），引入参数：
（11.3.10）
之后，方程11.3.9可化为：
（11.3.11）
的输运方程为：
（11.3.12）
其中，为斯蒂芬－玻尔兹曼常数，为用户定义的辐射源相。使用P－1模型时，FLUENT求解这个方程以得到当地辐射强度。
合并方程11.3-11和11.3-12，可得到如下方程：
（11.3.13）
的表达式可以直接带入能量方程，从而得到由于辐射所引起的热量源（汇）。
各相异性散射
P－1模型可以模拟各相异性散射问题。FLUENT使用一个线性各相异性散射相位函数来模拟这种各相异性散射问题：
（11.3.14）
其中，为散射方向的单位向量；为入射辐射方向的单位向量，为线性各相异性散射相位函数常数，此常数为流体的物性参数。的取值范围是-1.0～1.0。若为正值，则表明向前的散射辐射量大于向后的散射辐射量；若为负值，则表明向后的散射辐射量大于向前的散射辐射量；若为零（FLUENT的缺省值），表明散射为各向同性（即散射量在所有的方向均相同）。只有在介质具有明显的各相异性属性时，用户才需要修改此缺省值。
P-1模型中颗粒的影响
当模型中包含有颗粒分散相时，用户可以在P-1辐射模型中考虑颗粒的影响。一旦考虑颗粒辐射时，FLUENT将忽略气相的散射（即在方程11.3-15中，假定所有的散射全部由颗粒引起）。
对于包含有吸收、发射、散射性质颗粒的具有吸收、发射、散射的灰体介质，入射辐射的输运方程为
（11.3.15）
其中，为颗粒的等效辐射，为颗粒的等效吸收系数。它们的定义如下：
（11.3.16）
（11.3.17）
方程11.3.16、11.3.17中，分别为第个颗粒的黑度、投影面积（垂直辐射方向）和温度。求和是对控制体内的所有个颗粒进行的。FLUENT中在进行颗粒的跟踪计算时，这些量一并进行计算。
第个颗粒的投影面积的定义为：
（11.3.18）
其中，为第个颗粒的直径。
方程11.3-15中的定义为：
（11.3.19）
其中，等效颗粒散射因子定义为：
（11.3.20）
它是在颗粒跟踪计算过程中得到的。方程11.3-20中的为第个颗粒的散射系数。
能量方程中，由于颗粒辐射引起的热量源项的表达式为：
（11.3.21）
P-1模型的壁面边界条件处理
为了得到入射辐射方程的边界条件，用（边界）法线向量点乘方程11.3-11得：

（11.3.22）
（11.3.23）
这样，入射辐射热流在壁面为。壁面的辐射热流使用下面的边界条件计算得到：
（11.3.24）
（11.3.25）
其中，为壁面发射率。然后应用Marshak边界条件来消除辐射角度的影响[ 171]：
（11.3.26）
把方程11.3-24和11.3-25代入方程11.3-