2021年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅲ）（含解析版）.pdf

20212021 年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）卷）文科数学 一、选择题 1.设集合，则（）1,3,5,7,9M|27NxxMNA.7,9B.5,7,9C.3,5,7,9D.1,3,5,7,9答案：B 解析：依题意可知，所以.|3.5Nx x5,7,9MN2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论不正确的是（）A.该地农户家庭年收入低于万元的农户比率估计为 4.56%B.该地农户家庭年收入不低于万元的农户比率估计为 10.510%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过万元 6.5D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于万元至万元之间 4.58.5答案：C 解析：A.低于万元的比率估计为，正确.4.50.02 1 0.04 10.066%B.不低于万元的比率估计为，正确.10.5(0.040.02 3)10.110%C.平均值为(3 0.024 0.045 0.16 0.147 0.28 0.29 0.1 10 0.1 万元，不正确.11 0.04 12 0.02 13 0.02 14 0.02)17.68 D.万到万的比率为，正确.4.58.50.1 1 0.14 1 0.2 1 0.2 10.64 3.已知，则（）2(1)32iziz A.312i B.312i C.32iD.32i答案：B 解析：.232322331(1)222iiiziii 4.下列函数中是增函数的是（）A.()f xx B.2()()3xf x C.2()f xxD.3()f xx答案：D 解析：，在上单调递减，在上单调递减，故 A，B，C 错误；()f xx 2()()3xf x R2()f xx(,0)在上单调递增，故 D 正确.3()f xxR5.点到双曲线的一条渐近线的距离为（）(3,0)221169xyA.95B.85C.65D.45答案：A 解析：双 曲 线的 渐 近 线 为，则 点到 双 曲 线的 一 条 渐 近 线 的 距 离 为221169xy34yx(3,0)221169xy.223 309534 6.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足.已知某同学视力的五分记录法的数据为LV5lgLV，则其视力的小数记录法的数据约为（）（）4.910101.259A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6答案：C 解析：代入，知，故.5lgLVlg4.950.1V 0.1101100.810V7.在一个正方体中，过顶点的三条棱的中点分别为，该正方体截去三棱锥后，所得多AEFGAEFG面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）A.B.C.D.答案：D 解析：由题可得直观图，如下图.故选 D.8.在中，已知，则（）ABC120B 19AC 2AB BC A.1B.2C.5D.3答案：D 解析：由余弦定理可得，解得.22222cos2150ACABBCAB BCABCBCBC3BC 9.记为等比数列的前项和.若，则（）nSnan24S 46S 6S A.7B.8C.9D.10答案：A 解析：由等比数列的性质可知：成等比数列，即成等比数列，所以，即24264,S SS SS64,2,6S 661S，故选 A.67S 10.将个 和个随机排成一行，则个不相邻的概率为（）312020A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8答案：C 解析：求出所有的排列数，先将个 排成一排，有个空位，当每个空位排一个，即从个空位中选个，有种3140426排法，此时个不相邻；当两个相邻时，即从个空位中选出一个来排两个，有种选法，从而总的排200404法数有个，再根据古典概型概率公式可得概率，故选 C.1060.610 11.若，则（）(0,)2costan22sintanA.1515B.55C.53D.153答案：A 解析：.costan22sin 2222tan2sincoscostan21tancossin2sin 222sin(2sin)cossin 22224sin2sincossin12sin.1sin4又.如图，.(0,)2115tan1515 12.设是定义域为的奇函数，且.若，则（）()f xR(1)()fxfx11()33f 5()3fA.53B.13C.13D.53答案：C 解析：是定义在上的奇函数，()f xR(1)()()fxfxf x，(1)()fxf x (2)(1)()fxfxf x 周期为的周期函数.()f x2.5511()(2)()3333fff二、填空题 13.若向量满足，则 .,a b|3a|5ab1a b|b 答案：3 2解析：，|5ab22225aabb22|2|25aabb292|25b，.2|18b|3 2b 14.已知一个圆锥的底面半径为，其体积为，则该圆锥的侧面积为 630 .答案：39解析：圆锥底面半径，体积，则圆锥的高，则母线长，则圆锥的侧面6r 21303Vr h52h 22132lhr积.12392Srl15.已知函数的部分图像如图所示，则 .()2cos()f xx()2f 答案：3解析：由图可知，由31332241234TT，131313()22cos()2212666f 所以.()2cos(2)3226f 16.已知，为椭圆的两个焦点，为上关于坐标原点对称的两点，且1F2F22:1164xyCPQC12|PQFF，则四边形的面积为 .12PFQF答案：解析：答案：8解析：如图，由及椭圆对称性可知，四边形为矩形.12|PQF F12PFQF设，则，得.所以，四边形面积为.1|PFm2|PFn222128|48mnmnF F22216mn 12PFQF8mn 三、解答题 17.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分別用两台机床各生产了件产品，产品的质量情况统计如下表：200（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？（2）能否有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？99%附：，22()()()()()n adbcKab cd ac bd 答案：见解析 解析：（1）由表格数据得：甲机床生产的产品中一级品的频率为；1503=2004乙机床生产的产品中一级品的频率为；12032005（2）由题意.222()400(150 80 120 50)()()()()200 200 270 30n adbckab cd ac bd10.2566.635所以有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.99%18.记为数列的前项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.nSnan0na 213aanSna答案：见解析 解析：为等差数列，设公差为.，即.nSd21SSd114aad，.11adS1(1)nSSndnd，22nSn d222221(1)(21)nnnaSSn dndnd(2)n 即，又同样满足通项公式，所以是等差数列.222nadnd(2)n 211aSdna19已知直三棱柱中，侧面为正方形分别为和的中点，111112，1 1 1(1)求三棱锥 FEBC 的体积；(2)已知 为棱上的点，证明：11 ABCDEFA1B1C1答案：见解析；解析；（1），则.11BFAB2229BFABAFBFAB又则.22228AFFCACACABBC,.2 2AC 111112 2 122323F EBCFABCVV （2）连，取中点连，1AEBCM1B MEM由为，的中点，则，EMACBC/EMAB又，则共面，故面.11/ABAB11/ABEM11AB MEDE 11AB ME又在侧面中，则 11BCC B1FCBMBB 1BFMB又，则.1111111111111,BFABMBABBBFAB MEMB ABAB ME面面BFDE 20.设函数，其中.2()3ln1f xa xaxx0a（1）讨论的单调性；()f x（2）若的图象与轴没有公共点，求的取值范围.()yf xxa答案：见解析 解析：（1）222323(23)(1)()2a xaxaxaxfxa xaxxx，当时函数单调递减，0a 0 x 230ax1(0,)xa()0fx当时，函数单调递增.1(,)xa()0fx在上递减，在上递增，()f x1(0,)a1(,)a（2）当时，结合函数单调性可知若与无交点时 0 x()0f x()f xxmin()0f x即.221111()3ln10faaaaaa 化简可得即.所以参数的取值范围为 1ln1a11eaaea1(,)e21.抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于，两点，且，已知点COx:1l x CPQOPOQ，且与 相切.(2,0)MMl（1）求，的方程；CM（2）设，是上的三个点，直线，均与相切，判断直线与的位置关系，1A2A3AC12A A13A AM23A AM并说明理由.答案：见解析 解析：（1），.2:C yx22:(2)1Mxy（2）设，.21(,)A aa22(,)A b b23(,)A c c，所以 1221:()()0A Alyaxaxab yabab.2|2|11()abdrab，所以 1 321:()()0A Blyaxaxac yacac.2|2|11()acdrac所以，是方程的两根.bc2222|2|1(1)2301()axaxaxaax 又，所以 23:()0A Alxbc ybc.22224223|2|2|1|1121()211()1abcaadabcaaa所以，即直线与相切.dr23A AM 22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为xOyxC.2 2cos（1）将的极坐标方程化为直角坐标方程；C（2）设点的直角坐标为，为上的动点，点满足，写出的轨迹的参数方程，A(1,0)MCP2APAM P1C并判断与是否有公共点.C1C答案：见解析 解析：（1）.222222 2cos2 2(2)2xyxxy（2）设，由(,)P x y00(,)M xy.222222(1,)(1,0)(1,)22222APAMOMAPOAxyxy 又在上，所以 MC.2222232(21)()2(23)4222xyxy则为为圆心，半径为的圆，所以 1C(32,0)2112C Crr所以，两圆为内含关系，所以，圆与圆无公共点.C1C 23.已知函数，.()|2|f xx()|23|21|g xxx（1）画出和的图象；()yf x()yg x（2）若，求的取值范围.()()f xag xa 答案：见解析；解析：（1）；2,2()2,2xxf xx x34,231()42,2214,2xg xxxx （2）当时，恒不满足，此时；0a(2)0(2)4faaga当时，恒成立，必有 0a()()f xag x.11311()()|42222fagaa当时，112a 时，所以.3(,)2x()0g x()0f x()()f xg x时，令，所以3 1,2 2x()42g xx()2f xxa()()()34F xf xg xxa.111()()022F xFa时，.1(,)2x()2f xxa()4g x，所以.()()()6F xf xg xxa1()()02F xF所以，.11,)2a