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2021年高考真题数学【新高考全国Ⅰ卷】(山东卷)(含解析版).pdf

1、20212021 年普通高等学校招生全国统一考试(新高考年普通高等学校招生全国统一考试(新高考 I I 卷)卷)数数 学学 一、单选题 1.设集合,则()|24Axx 2,3,4,5B AB A.2B.2,3C.3,4D.2,3,4答案:B 解析:,选 B.2,3AB 2.已知,则()2zi()z ziA.62iB.42iC.62iD.42i答案:C 解析:,选 C.2,()(2)(22)62zi z ziiii3.已知圆锥的底面半径为,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为()2A.2B.2 2C.4D.4 2答案:B 解析:设母线长为,则.l2 22 2ll 4.下列区间中,函数单调递

2、增的区间是()()7sin()6f xxA.(0,)2B.(,)2C.3(,)2D.3(,2)2答案:A 解析:单调递增区间为:,令()f x222()22()26233kxkkZkxkkZ0k,故选 A.5.已知,是椭圆的两个焦点,点在上,则的最大值为()1F2F22:194xyCMC12|MFMFA.13B.12C.9D.6答案:C 解析:由椭圆定义,则,故选 C.12|6MFMF21212|()92MFMFMFMF6.若,则()tan2 sin(1 sin2)sincosA.65B.25C.25D.65答案:C 解析:,故选 C.22sin(1sin2)sin(sincos2sincos

3、)sincossincos22222sinsincostantan2sincostan157.若过点可以作曲线的两条切线,则()(,)a bxyeA.beaB.aebC.0baeD.0abe答案:D 解析:设切点为,00(,)P xy,xyexye则切线斜率,0 xke切线方程为,0()xybexa又在切线上以及上,00(,)P xyxye则有,000()xxebexa整理得,00(1)0 xexab令,()(1)xg xexab则,()()xg xexa在单调递减,在单调递增,()g x(,)a(,)a 则在时取到极小值即最小值,()g xxa()ag abe又由已知过可作的两条切线,(,)

4、a bxye等价于有两个不同的零点,()(1)xg xexab则,得,min()()0agxg abeaeb又当时,则,x (1)0 xexa(1)xexabb,0b 当时,有,1xaa(1)0gab即有两个不同的零点.()g x.0abe8.有个相同的球,分别标有数字,从中有放回的随机取两次,每次取 个球.甲表示事件“第一次61,2,3,4,5,61取出的球的数字是”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是128”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是”,则()7A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立 答案:B 解析

5、:由题意知,两点数和为的所有可能为:,8(2,6)(3,5)(4,4)(5,3)(6,2)两点数和为的所有可能为:,7(1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1),1()6P甲11()166P 乙5()36P丙61()=366P丁,()0P甲丙1()36P甲丁1()36P乙丙()0P丙丁故,B 正确,故选 B.()()()PPP甲丁甲丁二、多选题 9.有一组样本数据,由这组数据得到新样本数据,其中,12,nx xx12,ny yy1(1,2,)iyxc inc为非零常数,则()A.两组样本数据的样本平均数相同 B.两组样本数据的样本中位数相同 C.两组样本数据的样本标准差相同

6、D.两组样本数据的样本极差相同 答案:C、D 解析:对于 A 选项:,A 错误;121nxxxxn1212nnyyyxxxycnnxy对于 B 选项:可假设数据样本中位数为,由可知数据样本的中位数为12,nx xxmiiyxc12,ny yy,B 错误;mc对于 C 选项:2221121()()()nSxxxxxxn 2222121()()()nSyyyyyyn,C 正确;2221211()()()nxxxxxxSn对于 D 选项:,两组样本数据极差相同,D 正确。iiyxc10.已知为坐标原点,点,则O1(cos,sin)P2(cos,sin)P3(cos(),sin()P(1,0)A()A

7、.12|OPOPB.12|APAPC.312OA OPOP OP D.123OA OPOP OP 答案:A、C 解析:,A 正确;221|cossin1OP222|cos(sin)1OP,2221(cos1)sin22cosAP,,B 错;2222(cos1)(sin)22cosAP 22cos22cos,C 正确;3cos()OA OP 12coscossinsincos()OP OP,1cosOA OP 23coscos()sinsin()cos(2)OP OP D 错.11.已知点在圆上,点,则()P22(5)(5)16xy(4,0)A(0,2)BA.点到直线的距离小于 PAB10B.点

8、到直线的距离大于 PAB2C.当最小时,PBA|3 2PB D.当最大时,PBA|3 2PB 答案:A、C、D 解析:由已知易得直线的方程为.AB240 xy圆心到直线的距离,(5,5)AB2|5104|114512d直线与圆相离,AB则到的距离的取值范围为,PAB11114,455又,11455则 A 正确,B 错误,由图易得,当在点处时,与圆相切,P1P1BPC此时最小,1PBAPBA,22|5(52)34BC 1|4CP,13 2BP 同理当在点处,最大,P2P2PBAP BA 此时.22223 2BPBCPC故 C、D 正确.12.在正三棱柱中,点满足,其中,111ABCABC11AB

9、AAP1BPBCBB 0,10,1则()A.当时,的周长为定值 11AB PB.当时,三棱锥的体积为定值 11PABCC.当时,有且仅有一个点,使得 12P1APBPD.当时,有且仅有一个点,使得平面 12P1AB 1AB P答案:B、D 解析:对于 A,当时,此时在线段上运动,此时的周长不为11BPBCBB 1CPBB P1CC1AB P定值,A 错.对于 B,当时,此时在线段上运动,111BPBCBBB PBC P11BC平面,点到平面的距离即为点到平面的距离,11/BC1ABCP1ABC1B1ABC为定值,B 正确.111P A BCBA BCVV 对于 C,当时,分别取,的中点,此时在

10、线段上运动,要使12112BPBCBB BC11BC,E FPEF,只需在平面上的射影与垂直,此时在或的位置,有两个,C 错误.1APBP1AP11BCC BPFBPPEFP 对于 D,时,分别取的中点,则在线段上运动,正三棱12112BPBCBB 11,BB CC,M NPMN柱中,要使得平面,只需在平面上的111ABCABC11ABAA11ABAB1AB 1AB P1AB11BCC B射影与垂直,有且只有一个点即为点时,满足题意,D 正确.1B PPN 三、填空题 13.已知函数是偶函数,则 .3()(22)xxf xx aa 答案:1解析:因为为偶函数,则,即,整理则有()f x()()

11、fxf x33(22)(22)xxxxx ax a,故.(1)(22)0 xxa1a 14.已知为坐标原点,抛物线的焦点为,为上一点,与轴垂直,为轴O2:2(0)C ypx pFPCPFxQx上一点,且.若,则的准线方程为 .PQOP|6FQ C答案:32x 解析:因为垂直轴,故点坐标为,又因为,则,即,故,则准PFxP(,)2ppOPPF2FQPFPFOF62p3p 线方程为.32x 15.函数的最小值为 .()|21|2lnf xxx答案:1解析:当时,时,时,12x()212lnf xxx 2()2fxx()0fx112x()0fx1x 在上单调递减,在上单调递增,当时,函数单调递减,(

12、)f x1(,1)2(1,)102x()122lnf xxx 综上,函数在上单调递减,在上单调递增,所以函数最小值为.(0,1)(1,)(1)1f16.某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为的长20dm 12dm方形纸,对折 次共可以得到,两种规格的图形,它们的面积之和,110dm 12dm20dm6dm21240dmS 对折次共可以得到,三种规格的图形,它们的面积之和25dm 12dm10dm6dm20dm 3dm,以此类推.则对折次共可以得到不同规格图形的种数为 ;如果对折次,那么22180dmS 4n .1nkkS2dm答案:5 240720720

13、2nn解析:(1)易知有,共种规格.320dmdm4310dmdm25dm 3dm5dm 6dm25dm 12dm45(2)由题可知对折次共有种规格,且面积为,故,则,记k1k 2402k240(1)2kkkS1112402nnkkkkkS,则,故 112nnkkkT111122nnkkkT 1111111111112211()222222nnnnnkkkknkkkkkkkknT,则,故 11111(1)133421122212nnnnn 332nnnT.13240720240(3)72022nknnknnS四、解答题 17.已知数列满足,.na11a 11,2,nnnanaan为奇数为偶数(

14、1)记,写出,并求数列的通项公式;2nnba1b2b nb(2)求的前项和.na20答案:见解析;解析:(1),12112baa 3224aa24315baa,122221222(1)33nnnnnnnnbbaaaaaa 是以为公差的等差数列,.nb32(1)331nbnn(2),242010(229)1552aaa,.135192420111155 10145aaaaaaa 20155 145300S18.某学校组织“一带一路”知识竞赛,有,两类问题.每位参加比赛的同学先在 AB两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束;若 回答正确则从另一类问题中再随机抽取一

15、个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛 结束.类问题中的每个问题回答正确得分,否则得分;类问题中的每个问题 A200B回答正确得分,否则得分.800已知小明能正确回答类问题的概率为,能正确回答类问题的概率为,A0.8B0.6且能正确回答问题的概率与回答次序无关.(1)若小明先回答类问题,记为小明的累计得分,求的分布列;AXX(2)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题?并说明理由.答案:见解析;解析:(1)若小明先回答问题,记为小明累计得分,则的取值可能为:,因为各题互相独立,AXX100200由分步完成原理得,(100)0.8 0.60.48P X(20)0.8(1 0.6)0.

16、32P X,列表如下:(0)1 0.80.2P X 则的数学期望.X()100 0.4820 0.320 0.254.4E X (2)若小明先回答问题,记为小明的累计得分,则的取值可能为,因为各题互相独立,BYY100800由独立性原理知,列(100)0.6 0.80.48P Y(80)0.6 0.20.12P Y(0)1 0.60.4P Y 表如下:先答类,则的数学期望为:,BY()100 0.4880 0.120 0.457.6E Y 由(1)知,小明先选 B 类问题作答.()()E YE X19.记的内角的对边分别为.已知,点在边上,.ABC,A B C,a b c2bacDACsins

17、inBDABCaC(1)证明:;BDb(2)若,求.2ADDCcosABC答案:见解析;解析:(1)由,根据正弦定理可得,sinsinBDABCaCBD bac又,.2bac2BD bbBDb(2),又由(1)23ADb13CDbBDb,22222241399cos24233bbcbcADBb bb22222211099cos12233bbabaBDCb bb,coscos0ADBBDC222213202099bcba,或,2211203acca211()203ccaa3ca23或(舍),.222227cos2212acbacacABCacac767cos12ABC 20.如图,在三棱锥中,平

18、面平面,为的中点.ABCDABD BCDABADOBD(1)证明:;OACD(2)若是边长为 的等边三角形,点在棱上,且二面角的大小为OCD1EAD2DEEAEBCD45,求三棱锥的体积.ABCD 答案:见解析 解析:(1)平面平面,平面平面,为中点,ABD BCDABDBCDBDABADOBDAOBD平面,平面,平面,.AO ABDAO BCDCD BCDAOCD(2)方法一:取中点,为正三角形,过作与交于点,则ODFOCDCFODO/OMCFBCM,两两垂直,以为坐标原点,分别以,为,轴建立OMODOMODOAOOMODOAxyz空间直角坐标系,设,则,平面,(0,1,0)B3 1(,0)

19、22C(0,1,0)D(0,0,)At1 2(0,)3 3EtOA BCD平面的法向量为,不妨设,则,BCE(,)nx y z00n BCn BE 3302242033xyytz3x 1y 2zt,则,二面角的大小为,2(3,1,)ntEBCD45222244n OAn OAtt 1t,.1331 1224OCDS 32BCDS113313326A BCDBCDVSOA 方法二:过作交于点,再过作交于点,显然这样会有平面EEHBDBDHHHIBCBCIEH BCD,而这个正三角形加上,可知,意味着,同时很自然的也会有OCDBODOBCCD/HICDEHHI,而二面角很显然就是,这个是,说明,E

20、BCDEIH45EHHI综合上面的条件,会得到,然后,再然后,故,同时12OHAEDHED2BHDH23BHHIBDCD23HIEH,得到,那么就有.23EHEDAOAD1AO 11131133326A BCDBCDVAO S 21.在平面直角坐标系中,已知点,点满足.记的轨迹xOy1(17,0)F 2(17,0)FM12|2MFMFM为.C(1)求的方程;C(2)设点在直线上,过的两条直线分别交于,两点和,两点,且T12x TCABPQ,求直线的斜率与直线的斜率之和.|TATBTPTQABPQ答案:见解析 解析:(1),17c 22a 1a 4b 表示双曲线的右支,的方程为.CC221(1)

21、16yxx(2)设,设直线的方程为:,1(,)2TmAB11()2yk xm11(,)A x y22(,)B xy,1222211221()1116()2()162421616yk xmxkxxk m xmxy,22222111111(16)(2)1604kxkk m xkk mm22112112121111(1)()()(1)()2224TA TBkxxkx xxx,22211211122111162114(1)162 164k mkmk mkkkk22221122111212(1)(1)1616mmkkkk设,同理可得,2PQkk2222212(1)16mTP TQkk,222222221

22、2211222121212(1)(1)16161616mmkkkkkkkk2212kk,.12kk12kk 120kk22.已知函数.()(1 ln)f xxx(1)讨论的单调性;()f x(2)设,为两个不相等的正数,且,证明:.ablnlnbaabab112eab答案:见解析 解析:(1),令,()lnfxx()01fxx当,单调递增;当时,单调递减.01x()0fx()f x1x()0fx()f x(2),lnln11ababbaln1ln1abab令,即证,1ma1nb2mne(1 ln)(1 ln)mmnn令,令,()(1 ln)f xxx()lnfxx()01fxx当,单调递增;当时,单调递减.01x()0fx()f x1x()0fx()f x,()()f mf n01m1ne要证,即证,即证,2mn()(2)f nfm()(2)f mfm令,()()(2)(1 ln)(2)1 ln(2)F xf xfxxxxx(0,1)x,单调递增,左边证毕!再证右边:1()lnln(2)ln0(2)F xxxxx()F x()(1)0F xF,要证,即证,(1 ln)(1 ln)mmnnmmne(1 ln)nnne令,()(1 ln)g xxxx1xe()1 ln1 11 ln0g xxx 在上单调递增,证毕!()g x(1,)e()()g xg ee()g ne

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