六年级数学思维训练：几何综合一.doc

2014年六年级数学思维训练：几何综合一

一、兴趣篇
1．图中八条边的长度正好分别是1、2、3、4、5、6、7、8厘米．已知a=2厘米，b=4厘米，c=5厘米，求图形的面积．

2．如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6等于　　　　　　度．

3．平行四边形ABCD周长为75厘米，以BC为底时高是14厘米（如图）；以CD为底时高是16厘米．求：平行四边形ABCD的面积．

4．如图，一个边长为1米的正方形被分成4个小长方形，它们的面积分别是平方米、平方米、平方米和平方米．已知图中的阴影部分是正方形，那么它的面积是多少平方米？

5．如图，红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个正方形盒内，它们之间互相叠合．已知露在外面的部分中，红色的面积是20，黄色的面积是14，绿色的面积是lO．那么，正方形盒子的底面积是多少？

6．如图，在三角形ABC中，IF和BC平行，GD和AB平行，HE和AC平行．已知AG：GF：FC=4：3：2，那么AH：HI：IB和BD：DE：EC分别是多少？

7．如图，已知三角形ABC的面积为60平方厘米，D、E分别是AB、AC边的中点，求三角形OBC的面积．

8．在如图的正方形中，A、B、C分别是ED、EG、GF的中点．请问：三角形CDO的面积是三角形ABO面积的几倍？

9．如图，ABCD是平行四边形，面积为72平方厘米，E，F分别为AB，BC的中点，则图中阴影部分的面积为　　　　　　平方厘米．

10．如图，在三角形ABC中，CE=2AE，F是AD的中点，三角形ABC的面积是1，那么阴影部分的面积是多少？

二、拓展篇
11．如图，A、B是两个大小完全一样的长方形，已知这两个长方形的长比宽长8厘米，图中的字母表示相应部分的长度．问：A、B　中阴影部分的周长哪个长？长多少？

12．如图，ABCDE是正五边形，CDF是正三角形，∠BFE等于多少度？

13．一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形，将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合，如图所示．问：图中的阴影部分（即折叠的部分）的面积是多少平方厘米？

14．图中大长方形被分成四个小长方形，面积分别为12、24、36、48．请问：图中阴影部分的面积是多少？

15．三个面积都是12的正方形放在一个长方形的盒子里面，如图，盒中空白部分的面积已经标出，求图中大长方形的面积．

16．如图，三角形ABC的面积为1，D、E分别为AB、AC的中点，F、G是BC边上的三等分点．求三角形DEF和三角形DOE的面积．

17．如图，梯形ABCD的上底AD长10厘米，下底BC长15厘米．如果EF与上、下底平行，那么EF的长度为多少？

18．如图，正六边形的面积为6，那么阴影部分的面积是多少？

19．两盏4米高的路灯相距10米，有一个身高1.5米的同学行走在这两盏路灯之间，那么他的两个影子总长度是多少米？
20．如图，D是长方形ABCD一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为3和4，那么阴影直角三角形的面积是多少？

21．如图，在三角形ABC中，AE=ED，D点是BC的四等分点，阴影部分的面积占三角形ABC面积的几分之几？

22．如图，在三角形ABC中，三角形AEO的面积是1，三角形ABO的面积是2，三角形BOD的面积是3，则四边形DCEO的面积是多少？

三、超越篇
23．如图，长方形的面积是60平方厘米，其内3条长度相等且两两夹角为120°的线段将长方形分成了两个梯形和一个三角形．请问：一个梯形的面积是多少平方厘米？

24．如图，P是三角形ABC内一点，DE平行于AB，FG平行于BC，HI平行于CA，四边形AIPD的面积是12，四边形PGCH的面积是15，四边形BEPF的面积是20．请问：三角形ABC的面积是多少？

25．如图所示，正方形ABCD的面积为1．E、F分别是BC和DC的中点，DE与BF交于M点，DE与AF交于N点，那么阴影三角形MFN的面积为多少？

26．如图，三角形ABC的面积为1，D、E、F分别是三条边上的三等分点，求阴影三角形的面积．
27．如图，小悦测出家里瓷砖的长为24厘米，宽为10厘米，而且还测出了边上的中间线段均为4厘米，那么中间菱形的面积是多少平方厘米？

28．如图，ED垂直于等腰梯形ABCD的上底AD，并交BC于G，AE平行于BD，∠DCB=45°，且三角形ABD和三角形EDC的面积分别为75、45，那么三角形AED的面积是多少？

29．在长方形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的点，将长方形的四个角分别沿着HE、EF、FG、GH对折后，A点与B点重合，C点与D点重合．已知EH=3，EF=4，求线段AD与AB的长度比．
30．如图，在长方形ABCD中，AE：ED=AF：AB=BG：GC．已知△EFC的面积为20，△FGD的面积为16，那么长方形ABCD的面积是多少？

2014年六年级数学思维训练：几何综合一
参考答案与试题解析

一、兴趣篇
1．图中八条边的长度正好分别是1、2、3、4、5、6、7、8厘米．已知a=2厘米，b=4厘米，c=5厘米，求图形的面积．

【分析】应先根据题目条件确定出每条边的长度，再进行等积变形，然后可据图形形状进行计算．
【解答】解：如图所示，

图形的面积为：
7×2+5×（7﹣4）+6×1
=14+15+6
=35（平方厘米）
答：图形的面积是35平方厘米．

2．如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6等于　360　度．

【分析】如图，∠3=∠7，所以∠2+∠3=180°﹣∠A；同理，∠6=∠8，所以∠1+∠6=180°﹣∠C；∠4+∠5=180°﹣∠B；
由此把这三个式子加起来即可得出，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180°×3﹣（∠A+∠B+∠C），又因为∠A+∠B+∠C=180°，所以，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°．

【解答】解：∠3=∠7，所以∠2+∠3=180°﹣∠A；
同理，∠6=∠8，所以∠1+∠6=180°﹣∠C；
∠4+∠5=180°﹣∠B；
则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6，
=180°×3﹣（∠A+∠B+∠C），
=540°﹣180°，
=360°，
答：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°．
故答案为：360．

3．平行四边形ABCD周长为75厘米，以BC为底时高是14厘米（如图）；以CD为底时高是16厘米．求：平行四边形ABCD的面积．

【分析】用平行四边形的面积公式先求出邻边的关系，再由平行四边形的周长得到邻边的和，从而求得平行四边形的一条边长，进而求得其面积．
【解答】解：由平行四边形面积公式知14×BC=16×CD，
即14BC=16CD，则BC：CD=16：14=8：7，BC=CD，
又2×（BC+CD）=75，
则BC+CD=37.5（厘米），
CD+CD=37.5（厘米）
CD=17.5（厘米），
因此，平行四边形ABCD的面积为：16×17.5=280（平方厘米）；
答：平行四边形ABCD的面积为280平方厘米．

4．如图，一个边长为1米的正方形被分成4个小长方形，它们的面积分别是平方米、平方米、平方米和平方米．已知图中的阴影部分是正方形，那么它的面积是多少平方米？

【分析】大正方形的面积是：+++=1（平方米）；大正方形的边长就是1米；
面积是平方米的长方形和面积是平方米的长方形的长相同，根据长方形的面积公式可知：它们的面积比是（FE×AE）：（FE×EB）=：，即：AE：EB=3：4；AE就是大正方形边长的；同理：面积是平方米的长方形的宽与面积是平方米长方形的长相等，所以CH：HD=2：1，CH就是大正方形边长的；
小正方形的边长GH=BE﹣AF，由此求出求出它的边长，进而求出面积．
【解答】解：如图所示：

+++=1（平方米）；大正方形的边长就是1米；
（FE×AE）：（FE×EB）=：，
即：AE：EB=3：4；
AE就是大正方形边长的；
1×=（米）；
（CH×HG）：（HG×HD）=：；
BE：EC=2：1；
CH是大正方形边长的；
1×=（米）；
FG=﹣=（米）；
×=（平方米）；
答：阴影部分的面积是平方米．

5．如图，红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个正方形盒内，它们之间互相叠合．已知露在外面的部分中，红色的面积是20，黄色的面积是14，绿色的面积是lO．那么，正方形盒子的底面积是多少？

【分析】如图，
把黄块向左移动就会发现，黄色减少的面积等于绿色增加的面积，从而得出黄+绿=24，黄和绿各是24÷2=12，设红块边长是b，与红色并排的绿边是a，根据正方形的面积公式，得大正方形面积b2=20，两个长方形的面积ab=12，小正方形的面积a2=（ab）2÷b2，则正方形盒子的底面积就是两个正方形面积加上两个长方形面积．
【解答】解：把黄块向左移动就会发现，黄色减少的面积等于绿色增加的面积，从而得出黄+绿=24，黄和绿各是24÷2=12，即两个长方形的面积都是12，
设红块边长是b，与红色并排的绿边是a，
则根据正方形的面积公式，得大正方形面积b2=20，
两个长方形的面积ab=12，
小正方形的面积a2=（ab）2÷b2
=12×12÷20
=144÷20，
=7.2；
底面积：20+12×2+7.2=51.2；
答：正方形盒子的底面积是51.2．

6．如图，在三角形ABC中，IF和BC平行，GD和AB平行，HE和AC平行．已知AG：GF：FC=4：3：2，那么AH：HI：IB和BD：DE：EC分别是多少？

【分析】先求AH：HI：IB的比值，由AG：GF：FC=4：3：2，得出AF：FC=72；
由△AIF∽△ABC，则AI：IB=AF：FC=7：2；
由△FGO∽△FAI，则FO：OI=FG：GA=3：4；
由△IHO∽△IAF，则HI：AH=OI：FO=4：3；
所以AH：HI：IB=3：4：2．同理可证：BD：DE：EC=4：2：3．
【解答】解：AG：GF：FC=4：3：2，则（AG+GF）：FC=（4+3）：2，即AF：FC=7：2；
因为IF和BC平行，所以△AIF∽△ABC，则AI：IB=AF：FC=7：2；
因为GD和AB平行，所以△FGO∽△FAI，则FO：OI=FG：GA=3：4；
因为HE和AC平行，所以△IHO∽△IAF，则HI：AH=OI：FO=4：3；
所以AH：HI：IB=3：4：2
同理可证：BD：DE：EC=4：2：3
答：AH：HI：IB=3：4：2；BD：DE：EC=4：2：3．

7．如图，已知三角形ABC的面积为60平方厘米，D、E分别是AB、AC边的中点，求三角形OBC的面积．

【分析】连接OA，如下图由题意等底同高的三角形的面积相等可知△CAD和△ABE的面积都等于△ABC的一半，即60÷2=30（平方厘米），这两个△的面积都减去四边形的ADOE的面积得到S△BOD=S△COE，再根据等底同高的三角形的面积相等可知S△AOE=S△COE，S△AOD=S△BOD，所以S△AOE=S△COES△AOD，S△ADC=S△AOE+S△COE+S△AOD=30平方厘米，所以S△COE=30÷3=10平方厘米，由此可推出阴影部分的面积．

【解答】解：由题意可知AE=CE，AD=BD，
根据等底同高的三角形的面积相等得：
S△ADC=S△BDC=60÷2=30平方厘米，S△AEB=S△CBE=30（平方厘米），
所以S△ADC=S△AEB=30（平方厘米），
则S△BOD=S△COE
再根据等底同高的三角形的面积相等得：
S△AOE=S△COE，S△AOD=S△BOD，
所以S△AOE=S△COE=S△AOD=S△BOD，
S△ADC=S△AOE+S△COE+S△AOD=30（平方厘米），
所以S△COE=30÷3=10（平方厘米），
所以S△BOC是：30﹣10=20（平方厘米），
答：S△BOC是20平方厘米．

8．在如图的正方形中，A、B、C分别是ED、EG、GF的中点．请问：三角形CDO的面积是三角形ABO面积的几倍？

【分析】该四边形是正方形，所以四条边都相等，而A、B、C分别是ED、EG、GF的中点，所以不难得到：S△BED=S△CAD，而=，所以S△ADO=S△BED=S△CAD，因为三角形CDA和三角形BAD是等第的三角形，且三角形CAD的高是三角形BAD高的2倍，所以S△ABD=S△CAD，再利用S△COD=S△CAD﹣S△AOD，S△COD=S△CAD﹣S△AOD，进而求出三角形CDO的面积和三角形ABO面积与三角形CAD面积的关系，据此解决即可．
【解答】解：因为四边形是正方形且A、B、C分别是ED、EG、GF的中点．
所以：AD=DE=CE=BE=DE，线段AO=BE
所以：S△BED=S△CAD，S△AOD=S△BED=S△CAD，S△ABD=S△CAD
所以：
S△AOB=S△BAD﹣S△AOD
=S△CAD﹣S△CAD
=S△CAD
S△COD=S△CAD﹣S△AOD
=S△CAD﹣S△CAD
=S△CAD
S△CDO÷S△ABO
=S△CAD÷S△CAD
=3
答三角形CDO的面积是三角形ABO面积的3倍．

9．如图，ABCD是平行四边形，面积为72平方厘米，E，F分别为AB，BC的中点，则图中阴影部分的面积为　48　平方厘米．

【分析】如图所示，DE、DF分别于AC交于点M、N，则S△ADM=S△DMN=S△DNC，而S△AEM=S△NFC=S△ADM，平行四边形的面积已知，则可以求出三角形ADM的面积，阴影部分的面积=平行四边形的面积﹣3个空白三角形的面积．
【解答】解：DE、DF分别于AC交于点M、N，M、N是AC的三等分点
因为平行四边形的面积=72平方厘米，
则S△ADC=72÷2=36（平方厘米），
S△ADM=S△DMN=S△DNC=S△ADC=×36=12（平方厘米），
S△AEM=S△NFC=S△ADM=×12=6（平方厘米），
所以阴影部分的面积=72﹣12﹣6﹣6
=60﹣12，
=48（平方厘米）；
答：阴影部分的面积是48平方厘米．
故答案为：48．

10．如图，在三角形ABC中，CE=2AE，F是AD的中点，三角形ABC的面积是1，那么阴影部分的面积是多少？

【分析】连接CF，因为CE=2AE，所以==，同理，=，设S△AEF=1份，那么S△CEF=2份，因为F是AD的中点，S△CFD=S△ACF=S△AEF+S△CEF=1+2=3份，同理，，又因为==，所以所以S△BDF=S△ABF=3份，这样S△ABC=1+2+3+3+3=9份；然后根据阴影部分的份数是2+3=5份，在解答即可．
【解答】解：连接CF，因为CE=2AE，根据燕尾定理，所以==，同理，=，
设S△AEF=1份，那么S△CEF=2份，
因为F是AD的中点，S△CFD=S△ACF=S△AEF+S△CEF=1+2=3份，
同理，，
又因为==，
所以，
所以S△BDF=S△ABF=3份，
这样S△ABC=1+2+3+3+3=9份，
阴影部分的份数是：2+3=5份，
5÷12=，即1×=．

二、拓展篇
11．如图，A、B是两个大小完全一样的长方形，已知这两个长方形的长比宽长8厘米，图中的字母表示相应部分的长度．问：A、B　中阴影部分的周长哪个长？长多少？

【分析】观察图形可知图形A中，阴影部分的周长分成两部分计算，分别是长a、宽a﹣b，和长2b、宽b的长方形的周长；
图形B中，阴影部分的左上方的小线段向上、向左平移后，阴影部分的周长正好等于这个大长方形的周长，由图可知，大长方形的长是a+2b，宽是a+b，即可求出它们各自的周长，再根据大长方形的长比宽长8厘米，即a+2b﹣（a+b）=8厘米，推出b=8厘米，据此即可解答．
【解答】解：图形A中阴影部分的周长是：2（a+a﹣b）+2（b+2b）=4a+4b，

图形B中阴影部分的周长是：2（a+2b+a+b）=4a+6b，
4a+6b﹣（4a+4b）=2b，

又因为大长方形的长比宽长8厘米，即a+2b﹣（a+b）=8，
可得b=8厘米，
所以2b=2×8=16（厘米），

答：图形B中的阴影部分的周长较长，比图形A中的阴影部分的周长长16厘米．

12．如图，ABCDE是正五边形，CDF是正三角形，∠BFE等于多少度？

【分析】根据正五边形的每个内角的度数是108°，正三角形的每个内角的度数是60°，可求∠BCF，∠EDF的度数，根据等腰三角形的性质，可求∠BFC，∠EFD的度数，再根据周角的定义可求∠BFE的度数．
【解答】解：∠BCF∠EDF=108°﹣60°=48°，
因为BC=CF，DF=DE，
所以∠BFC=∠EFD=（180°﹣48°）÷2=66°，
因此∠BFE=360°﹣66°×2﹣60°=168°．
答：∠BFE等于168度．

13．一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形，将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合，如图所示．问：图中的阴影部分（即折叠的部分）的面积是多少平方厘米？

【分析】根据“将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合”，可知DC是AB的高，图中阴影部分（即折叠的部分）的面积与△ADC的面积相等；据此只要求出△ADC的底边CD的长，再乘高除以2即可得解；进而根据△ABC的面积=×AB×DC=×BC×AE，代入数据即可求出DC的长度，进而得解．
【解答】解：见下图：

×13×DC=×（12﹣DC）×5，
13×DC=60﹣DC×5，

DC=（厘米）；
△ADC=△AEC=××5=（平方厘米）．
答：图中的阴影部分（即折叠的部分）的面积是平方厘米．

14．图中大长方形被分成四个小长方形，面积分别为12、24、36、48．请问：图中阴影部分的面积是多少？

【分析】如图，由于阴影部分是两个同底，高之和等于大长方形宽的三角形，其面积是EF×AJ，我们可以设大长方形长AC=a，宽AJ=b，则EF的长为a﹣a=a，则阴影部分面积为×（a×b），由于a×b是大长方形的面积，其面积是四个小长方形面积之和，从而使问题得解．
【解答】解：如图，阴影部分面积为：是EF×AJ，

设大长方形的长为a，宽为b，
则EF=a﹣a
=a，
因此，阴影部分面积为×a×b，

=×（a×b）

=×（12+24+36+48）

=×120
=

答：图中阴影部分的面积．
故答案为：．

15．三个面积都是12的正方形放在一个长方形的盒子里面，如图，盒中空白部分的面积已经标出，求图中大长方形的面积．

【分析】白色小长方形3、4、5的宽都是大长方形的宽减去正方形边长，小长方形3的面积=（大长方形的底边﹣2倍的正方形边长）×（大长方形宽﹣正方形边长）=3，小长方形4+小长方形5的面积=（大长方形底边﹣正方形边长）×（大长方形宽﹣正方形边长）=9，所以（大长方形底边﹣正方形边长）是（大长方形的底边﹣2倍的正方形边长）的3倍，所以大长方形面积=大长方形的底边×大长方形的宽=2.5倍正方形边长×1.5倍正方形边长=2.5×1.5倍的正方形面积=2.5×1.5×12=45．
【解答】解：由分析可知，
小长方形3的面积=（大长方形的底边﹣2倍的正方形边长）×（大长方形宽﹣正方形边长）=3，
小长方形4+小长方形5的面积=（大长方形底边﹣正方形边长）×（大长方形宽﹣正方形边长）=9，
（大长方形底边﹣正方形边长）÷（大长方形的底边﹣2倍的正方形边长）=3，
大长方形底边﹣正方形边长=3倍大长方形的底边﹣6倍的正方形边长，
2倍大长方形的底边=5倍的正方形边长，
大长方形的底边=2.5倍的正方形边长，
则大长方形的宽=1.5倍正方形边长，
大长方形面积=大长方形的底边×大长方形的宽
=2.5倍正方形边长×1.5倍正方形边长
=2.5×1.5倍的正方形面积
=2.5×1.5×12
=45．
答：大长方形的面积是45．

16．如图，三角形ABC的面积为1，D、E分别为AB、AC的中点，F、G是BC边上的三等分点．求三角形DEF和三角形DOE的面积．

【分析】根据条件可知：三角形DEF的底DE=BC的一半，高也是一半，即可求得；
利用DE和FG的倍数关系，在梯形DEGF中求出三角形DOE的面积．
三角形BDF面积=（1÷2）×（1÷3）=，
三角形CEF面积=（1÷2）×（2÷3）=，
三角形ADE面积=（1÷2）×（1÷2）=，
所以三角形DEF面积=1﹣﹣﹣=，
又因为DE=，FG=，所以=，
所以三角形DOE面积=三角形DEF面积×3÷（3+2）=×3÷5=．
【解答】解：

①过点A作线段BC的垂线，垂足为Q，过点D作线段BC的垂线，垂足为M，
所以线段DM=AQ
那么三角形ABC的面积是：BC×AQ÷2=1
所以：BC×AQ=2
因为D、E分别为AB、AC的中点，
所以线段DE=BC，
所以三角形DEF的面积：
DE×DM÷2
=×BC××AQ÷2
=×2÷2
=
②又因为DE=，FG=，所以=，
所以三角形DOE面积为：
三角形DEF面积×3÷（3+2）
=×3÷5
=．
答：三角形DEF的面积是，三角形DOE的面积．

17．如图，梯形ABCD的上底AD长10厘米，下底BC长15厘米．如果EF与上、下底平行，那么EF的长度为多少？

【分析】由平行线的性质可得===，得出OE与BC，OF与AD的关系，进而即可求解EF的长．
【解答】解：∵AD∥BC，EF∥BC，
∴===，
又==，==
∴OE=BC=×15=6（厘米），OF=AD=×10=6（厘米）
∴EF=OE+OF=6+6=12（厘米）
答：EF的长度为12厘米．

18．如图，正六边形的面积为6，那么阴影部分的面积是多少？

【分析】如图，连结AC、BF、CE、DF，根据正六边形的特征及梯形的蝴蝶定理，各三角形有如下关系，a：b：c：d=1：4：2：2，因此，阴影部分占六边形面积的，进而求出阴影部分面积．
【解答】解：如图，连结AC、BF、CE、DF，

根据六正边形的特征及蝴蝶定理，
阴影部分面积：×6
=×6
=
答：阴影部分的面积是．
故答案为：．

19．两盏4米高的路灯相距10米，有一个身高1.5米的同学行走在这两盏路灯之间，那么他的两个影子总长度是多少米？
【分析】根据题意作出图象，利用相似三角形的性质说明即可．
【解答】解：如图所示：

CD、EF为路灯高度，AB为该人高度，BM、BN为该人前后的两个影子．
由题意得：
b=4米，a=1.5米，DF=10米，
∵AB∥CD，
∴==，
∴==
即MB=DB
同理BN=FB
∴MB+BN=（DB+FB）
=0.6×10
=6（米）
答：他的两个影子总长度是6米．

20．如图，D是长方形ABCD一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为3和4，那么阴影直角三角形的面积是多少？

【分析】根据题意可知长方形的面积是4×4=16，所以三角形BQW的面积就是5，然后根据面积是5和3的三角形，得到WQ与DC的比即可知道：BQ：BC的值，进而求得阴影三角形的面积即可，如下图即可．
【解答】解：如图：

设BC=x，阴影部分三角形的高为h，DC=y
因为四边形ABCD是长方形，点O是对角线的中点，
所以S△ABC=2×4=8，S△BCD=8
所以：S△BWC=8﹣3=5
即为：xh÷2=5
xh=10
所以S长方形ABCD=xy=4×4=16
xh：xy=10：16
即为：h：y=5：8
所以：=
所以：=
S△BQW=×5=
答：阴影直角三角形的面积是．

21．如图，在三角形ABC中，AE=ED，D点是BC的四等分点，阴影部分的面积占三角形ABC面积的几分之几？

【分析】连接CE，设S△CDE=1，S△BDE=S△ABE=3，则，所以，S△AEF=，，据此解答．
【解答】解：连接CE，设S△CDE=1，
因为AE=ED，S△ACE=1，
D点是BC的四等分点，
根据燕尾模型可得：S△BDE=S△ABE=3，
则，
所以，S△AEF=，
．

22．如图，在三角形ABC中，三角形AEO的面积是1，三角形ABO的面积是2，三角形BOD的面积是3，则四边形DCEO的面积是多少？

【分析】根据题意可得所以==，==，所以所以：S△EOF：S△EBC=，S△AOF：S△ADC=，据此解决即可．
【解答】解：如图：

过点O作线段OF∥BC交AC于点F，
因为三角形AEO的面积是1，三角形ABO的面积是2，三角形BOD的面积是3，
所以==，==
所以：S△EOF：S△EBC=，S△AOF：S△ADC=
设S△EOF=x，S四边形EODF=y
所以x：（3+y+x）=1：9①
（1+x）：（1+x+y）=4：25②
由①②解得：x=3，y=21
所以四边形DCEO的面积是：
3+21=24
答：四边形DCEO的面积是24．

三、超越篇
23．如图，长方形的面积是60平方厘米，其内3条长度相等且两两夹角为120°的线段将长方形分成了两个梯形和一个三角形．请问：一个梯形的面积是多少平方厘米？

【分析】过F点作FG⊥BC于G，根据含30°的三角形的性质得到EF=BF=2FG，依此可得△BFC=长方形的面积×，再根据图意得到一个梯形的面积．
【解答】解：过F点作FG⊥BC于G．
因为∠BFC=120°，BF=CF=EF，
所以∠FBG=30°，
所以EF=BF=2FG，
所以FG=EG，
所以△BFC=长方形的面积×=10（平方厘米）
（60﹣10）÷2
=50÷2
=25（平方厘米）．
答：一个梯形的面积是25平方厘米．

24．如图，P是三角形ABC内一点，DE平行于AB，FG平行于BC，HI平行于CA，四边形AIPD的面积是12，四边形PGCH的面积是15，四边形BEPF的面积是20．请问：三角形ABC的面积是多少？

【分析】观察图形可知，DE平行于AB，FG平行于BC，HI平行于CA，四边形AIPD的面积是12，四边形PGCH的面积是15，四边形BEPF的面积是20．又因为四边形AIPD和四边形BEPF的高相等，所以它们的底的比就等于它们的面积之比，即DP：PE=12：20=3：5；则DG：GC=3：5，又因为三角形PDG与四边形PHCG高相等，所以三角形PDG的面积与四边形PHCG的面积的一半的比是3：5，据此即可求出三角形PDG的面积，同理，再求出三角形PEH和三角形PIF的面积，据此把三个平行四边形和三个三角形的面积都加起来即可求出三角形ABC的面积．

【解答】解：DE平行于AB，FG平行于BC，HI平行于CA，
四边形AIPD的面积是12，四边形PGCH的面积是15，四边形BEPF的面积是20．
又因为四边形AIPD和四边形BEPF的高相等，
所以DP：PE=12：20=3：5；则DG：GC=3：5，
又因为三角形PDG与平行四边形PHCG高相等，
所以三角形PDG的面积与四边形PHCG的面积的一半的比是3：5，
所以三角形PDG的面积是：（15÷2）×3÷5=4.5，
同理：三角形PEH的面积与平行四边形PFBE的面积的一半的比是：5：4，
所以三角形PEH的面积是：（20÷2）×5÷4=12.5，
同理三角形PIF的面积与四边形PEBF的面积的一半的比是4：5，
所以三角形PIF的面积是：（20÷2）×4÷5=8，
12+20+15+4.5+12.5+8=72．
答：三角形ABC的面积是72．

25．如图所示，正方形ABCD的面积为1．E、F分别是BC和DC的中点，DE与BF交于M点，DE与AF交于N点，那么阴影三角形MFN的面积为多少？

【分析】连接CM、EF和AE，根据中点的定义可知S△BEM=，S△DEF=，根据AN：FN=S△ADE：S△DEF=1：4，得到S△DFN=，再根据S△MFN=S△DEC﹣S△CME﹣S△CMF﹣S△DFN即可求解．
【解答】解：连接CM、EF和AE，
因为E、F是中点，
所以S△BEM=S△CEM=S△CMF=1÷4÷3=，
因为F是CD的中点，
所以S△DEF=1÷4÷2=，
AN：FN=S△ADE：S△DEF=（1÷2）：=1：4
所以S△DFN=1÷4÷（1+4）=，
所以S△MFN=S△DEC﹣S△CME﹣S△CMF﹣S△DFN
=﹣﹣﹣
=．
答：阴影三角形MFN的面积为．

26．如图，三角形ABC的面积为1，D、E、F分别是三条边上的三等分点，求阴影三角形的面积．
【分析】因为D是BC的三等分点，根据高一定时，三角形的面积与底成正比例的性质可得，三角形ABC的面积：三角形ABD的面积=3：2，所以可得三角形ABD的面积是：1×=，同理可得，三角形ABD的面积：三角形BED的面积=3：2，则三角形BED的面积=×=；三角形EFD的面积：三角形BEG的面积=3：2，则阴影三角形的面积=×=．
【解答】解：1×××
=××
=×
=．
答：阴影三角形的面积是．

27．如图，小悦测出家里瓷砖的长为24厘米，宽为10厘米，而且还测出了边上的中间线段均为4厘米，那么中间菱形的面积是多少平方厘米？

【分析】根据三角形全等和长方形知识，可知边上的小三角形都是等腰三角形；根据三角形相似的性质可求得左右两边三角形的高为：（10+4）×2÷7=4厘米，上下两个三角形的高为：（3+4）×2÷14=1厘米．从而可求四个小三角形的面积和为 （4×4÷2+4×1÷2）=20平方厘米，每个大直角三角形的面积为 7×14÷2=49平方厘米．故空白部分面积=49×4﹣20=176平方厘米，中间大菱形面积=24×10﹣176=64平方厘米．
【解答】解：左右两边三角形的高为：
（10+4）×2÷7=4（厘米）
上下两个三角形的高为：
（3+4）×2÷14=1（厘米）
四个小三角形的面积和为：
（4×4÷2+4×1÷2）=20（平方厘米）
大直角三角形的面积为：
7×14÷2=49（平方厘米）
空白部分面积为：
49×4﹣20=176（平方厘米）
中间大菱形面积为：
24×10﹣176=64（平方厘米）
答：中间菱形的面积为64平方厘米．

28．如图，ED垂直于等腰梯形ABCD的上底AD，并交BC于G，AE平行于BD，∠DCB=45°，且三角形ABD和三角形EDC的面积分别为75、45，那么三角形AED的面积是多少？

【分析】过A作AH⊥BC，垂足为H，AH交BD于F．根据等腰梯形和平行四边形的性质以及S△AED=S△ABD﹣S△AFB即可求解．
【解答】解：过A作AH⊥BC，垂足为H，AH交BD于F，则AH∥EG．
因为四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，∠DCB=45°，
所以∠ABC=45°，AH=DG=GC=BH，
又因为AE∥BD，
所以四边形AFDE是平行四边形，DE=AF，S△AED=S△AFD，
因为S△DEC=DE•GC=45，
S△ABD=S△AFD+S△AFB=75，
其中S△AFD=S△AED，S△AFB=AF•BH=DE•GC=S△DEC=45，
这样S△AED=S△ABD﹣S△AFB=75﹣45=30．
答：三角形AED的面积是30．

29．在长方形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的点，将长方形的四个角分别沿着HE、EF、FG、GH对折后，A点与B点重合，C点与D点重合．已知EH=3，EF=4，求线段AD与AB的长度比．
【分析】本题主要考查的是相似三角形的性质，利用相似三角形的性质和对称性解答即可．
【解答】解：由对称性得：∠AEH=∠A'EH，∠BEF=∠B'EF，∠AEH+∠A'EH+∠BEF+∠B'EF=180°，∠A'EH+∠B'EF=90°，∠HEF=90°．
根据勾股定理得：HF=5，HF×EA'=HE×EF=3×4=12，EA'=2.4．
由对称性得：AE=A'E BE=B'E A'E=B'E 所以AE=BE AE=BE=2.4，AB=4.8．
由对称性得：AH=A'H BF=B'F DH=D'H CF=C'F A'H+B'F+D'H+C'F=2HF=10
AH+BF+DH+CF=10
AD+BC=10
AD=5
AD：AB=5：4.8=25：24
答：线段AD与AB的长度比为25：24．

30．如图，在长方形ABCD中，AE：ED=AF：AB=BG：GC．已知△EFC的面积为20，△FGD的面积为16，那么长方形ABCD的面积是多少？

【分析】利用比例性质和图形中比较得出和差问题．三角形EFD和三角形CFG的面积之差是4．面积之和等于长方形CDEG的一半．通过比例的内项积等于外项积得到GC*AF=AB*BG，观察一下发现三角形EFD等于四边形ABGE的一半．而四边形EDGF恰好等于四边形ABGE的一半夹上四边形EDCG的一半，所以三角形FDG恰好等于四边形EDCG的一半．
【解答】解：设矩形ABCD的对边AB=CD=a，AD=BC=b，再设题中的比例常数
AE：ED=AF：AB=BG：GC=k，把这个表达式变换成k和矩形ABCD边长a、b的表达式，
则有：AE=BG=kb：（k+1）
ED=GC=
AF=ka，FB=（1﹣k）a
S（矩形ABCD）=ab=S（Rt△AFE）+S（△FEC）+S（ Rt△EDC）+S（Rt△FBC）
=×AF×AE+20+×ED×CD+×FB×BC
=×ka×kb：（k+1）+20+×b：（k+1）×a+×（1﹣k）a×b
=×ab+20
解ab，得：
ab= （1）
同理S（矩形ABCD）=ab=S（Rt△FBG）+S（△FGD）+S（ Rt△GDC）+S（Rt△AFD）
=FB×BG+16+GC×CD+AF×AD
=（1﹣k）a×+16++b×a+ka×b
=×ab+16
解ab，得：
ab=32（k+1）（2）
根据（1）（2），解得k=，代入（1）或（2），得到S（矩形ABCD）=ab=52cm

参与本试卷答题和审题的老师有：rdhx；xiaosh；TGT；duaizh；guangh；pysxzly；xuetao；pyl123；WX321；旭日芳草；chenyr；ycfml12082；kd274826（排名不分先后）
菁优网
2016年5月22日

考点卡片

1．角的度量
【知识点归纳】
1．角的度量：角度的测量是最基本的测量，最常用的工具是量角器．
2．角的度量单位通常有两种，一种是角度制，另一种就是弧度制．
角度制，就是用角的大小来度量角的大小的方法．在角度制中，我们把周角的看作1度，那么，半周就是180度，一周就是360度．由于1度的大小不因为圆的大小而改变，所以