2000年北京高考理科数学真题及答案.doc

2000年北京高考理科数学真题及答案

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷（选择题共60分）

注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．
3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．
参考公式：
三角函数和差化积公式

正棱台、圆台的侧面积公式

其中c′、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长
台体的体积公式

其中S′、S分别表示上、下底面积，h表示高

一、选择题：本大题共14小题；第(1)─(10)题每小题4分，第(11)—(14)题每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
[ ]
A．第一象限　　　B．第二象限　　　
　 C．第三象限　　　　D．第四象限

是 [ ]

（3）双曲线的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是 [ ]

(4)曲线xy=1的参数方程是 [ ]

(5)一个圆锥的底面直径和高都同一个球的直径相等，那么圆锥与球的体积之比是 [ ]
A．1∶3 B．2∶3 C．1∶2 D．2∶9
(6)直线θ=α和直线ρsin(θ-α)=1的位置关系是 [ ]
A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．重合
(7)函数y=lg|x| [ ]
A．是偶函数，在区间(-∞,0)上单调递增
B．是偶函数，在区间(-∞,0)上单调递减
C．是奇函数，在区间(0,+∞)上单调递增
D．是奇函数，在区间(0,+∞)上单调递减
(8)从单词“equation”中选取5个不同的字母排成一排，含有“qu”(其中“qu”相连且顺序不变)的不同排列共有
A．120个　　B．480个　　　C．720个　　　D．840个
(9)椭圆短轴长是2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线距离是 [ ]

(12)设α，β是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确的是 [ ]

[ ]

A．b∈(-∞,0) B．b∈(0,1) C．b∈(1,2) D．b∈(2,+∞)

第Ⅱ卷（非选择题）

注意事项：
1．第Ⅰ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中．
2．答卷前将密封线内的项目写清楚．

二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．

(16)下图是一体积为72的正四面体，连结两个面的重心E、F，则线段EF的长是______．

(18)在空间，下列命题正确的是______．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
①如果两直线a、b分别与直线l平行，那么a∥b
②如果直线a与平面β内的一条直线b平行，那么a∥β
③如果直线a与平面β内的两条直线b、c都垂直，那么a⊥β
④如果平面β内的一条直线a垂直平面γ，那么β⊥γ

三、解答题：本大题共6小题；共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
(19)（本小题满分12分）
在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c．证明：

=a（如图一），将△ADC沿AC折起，使D到D′．记面ACD′为α，面ABC为β，面BCD′为γ．
(Ⅰ)若二面角α-AC-β为直二面角（如图二），求二面角β-BC-γ的大小；
(Ⅱ)若二面角α-AC-β为60°（如图三），求三棱锥D′-ABC的体积．

(21)（本小题满分12分）
设函数f(x)=|lgx|，若0＜a＜b，且(a)＞f(b)，证明：ab＜1.

(22)（本小题满分12分）

知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．

(23)（本小题满分12分）
某地区上年度电价为0.8元/kW·h，年用电量为akW·h，本年度计划将电价降到0.55元/kW·h至0.75元/kW·h之间，而用户期望电价为0.4元/kW·h，经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k）．该地区电力的成本价为0.3元/kW·h．
(Ⅰ)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；
(Ⅱ)设k=0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？
（注：收益=实际用电量×(实际电价-成本价)）

(24)（本小题满分14分）

绝密★启用前
2000年普通高等学校春季招生考试（北京、安徽卷）
数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准

说明：
一、本解答指出了每题考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变试题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。第(1)—(10)题每小题4分，第(11)—(14)题每小题5分，满分60分。
(1)D
(2)A
(3)C
(4)D
(5)C
(6)B
(7)B
(8)B
(9)D
(10)B
(11)A
(12)D
(13)C
(14)A

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分。

三、解答题
(19)本小题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理等基础知识，考查三角函数简单的变形技能，满分12分。

(20)本小题主要考查空间线面关系，及运算、推理、空间想象能力，满分12分。

解：(Ⅰ)在直角梯形ABCD中，由已知△DAC为等腰直角三角形，

取AC的中点E，连结D′E，
则D′E⊥AC。
又 ∵二面角a-AC-β为直角二面角，
∴D′E⊥β。

∴∠D′CA为二面角β-BC-γ的平面角。
由于∠D′CA=45°，
∴ 二面角β-BC-γ为45°。
(Ⅱ)取AC的中点E，连结D′E，再过D′作D′O⊥β，垂足为O，连结OE。
∵AC⊥D′E，
∴AC⊥OE。
∴∠D′EO为二面角α-AC-β的平面角，
∴∠D′EO=60°

(21)本小题主要考查函数的单调性、对数函数的性质、运算能力，考查分析问题解决问题的能力，满分12分。
证明：由已知

∵0＜a＜b, f(a)＞f(b),
∴a、b不能同时在区间[1,+∞)上，又由于0＜a＜b，故必有a∈(0，1)；
若b∈(0,1)，显然有ab＜1，
若b∈[1,+∞)，由f(a)-f(b)＞0，
有-lga-lgb＞0
故 lgab＜0,
∴ab＜1

(2)本小题主要考查直线、抛物线的基础知识，考查由动点求轨迹方程的基本方法以及方程化简的基本技能，满分12分。

依点A在AB上，得直线AB方程

并利用③式整理得

因为A、B是原点以外的两点，所以x≠0
所以点M的轨迹是以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点。

(23)本小题主要考查建立函数关系、解不等式等基础知识，考查综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，满分12分。

(Ⅱ)依题意有

解此不等式得 0.60≤x≤0.75
答：当电价最低定为0.60元/kW·h仍可保证电力部门的收益比上年增长20%。

(24)本小题主要考查函数及数列的基本概念和性质，考查分析、归纳、推理、运算能力，满分14分。
解(Ⅰ)：函数图象：

由已知条件得：

…………