2016年北京高考文科数学试题及答案.doc

2016年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一选择题（共8小题）1（2016北京）已知集合A=x|2x4，B=x|x3或x5，则AB=（）Ax|2x5Bx|x4或x5Cx|2x3Dx|x2或x5【考点】交集及其运算【专题】计算题；转化思想；综合法；集合【分析】由已知条件利用交集的定义能求出AB【解答】解：集合A=x|2x4，B=x|x3或x5，AB=x|2x3故选：C【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的定义的合理运用2（2016北京）复数=（）AiB1+iCiD1i【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】计算题；转化思想；数系的扩充和复数【分析】将分子分线同乘2+i，整理可得答案【解答】解：=i，故选：A【点评】本题考查的知识点是复数代数形式的加减运算，共轭复数的定义，难度不大，属于基础题3（2016北京）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）A8B9C27D36【考点】程序框图【专题】计算题；操作型；算法和程序框图【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，故S=0，k=1，当k=1时，满足进行循环的条件，故S=1，k=2，当k=2时，满足进行循环的条件，故S=9，k=3，当k=3时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为9，故选：B【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答4（2016北京）下列函数中，在区间（1，1）上为减函数的是（）Ay=By=cosxCy=ln（x+1）Dy=2x【考点】函数单调性的判断与证明【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】根据函数单调性的定义，余弦函数单调性，以及指数函数的单调性便可判断每个选项函数在（1，1）上的单调性，从而找出正确选项【解答】解：Ax增大时，x减小，1x减小，增大；函数在（1，1）上为增函数，即该选项错误；By=cosx在（1，1）上没有单调性，该选项错误；Cx增大时，x+1增大，ln（x+1）增大，y=ln（x+1）在（1，1）上为增函数，即该选项错误；D.；根据指数函数单调性知，该函数在（1，1）上为减函数，该选项正确故选D【点评】考查根据单调性定义判断函数在一区间上的单调性的方法，以及余弦函数和指数函数的单调性，指数式的运算5（2016北京）圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为（）A1B2CD2【考点】圆的标准方程；点到直线的距离公式【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆【分析】先求出圆（x+1）2+y2=2的圆心，再利用点到到直线y=x+3的距离公式求解【解答】解：圆（x+1）2+y2=2的圆心为（1，0），圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为：d=故选：C【点评】本题考查圆心到直线的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式和圆的性质的合理运用6（2016北京）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）ABCD【考点】古典概型及其概率计算公式【专题】概率与统计【分析】从甲、乙等5名学生中随机选出2人，先求出基本事件总数，再求出甲被选中包含的基本事件的个数，同此能求出甲被选中的概率【解答】解：从甲、乙等5名学生中随机选出2人，基本事件总数n=10，甲被选中包含的基本事件的个数m=4，甲被选中的概率p=故选：B【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用7（2016北京）已知A（2，5），B（4，1）若点P（x，y）在线段AB上，则2xy的最大值为（）A1B3C7D8【考点】简单线性规划【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；不等式【分析】平行直线z=2xy，判断取得最值的位置，求解即可【解答】解：如图A（2，5），B（4，1）若点P（x，y）在线段AB上，令z=2xy，则平行y=2xz当直线经过B时截距最小，Z取得最大值，可得2xy的最大值为：241=7故选：C【点评】本题考查线性规划的简单应用，判断目标函数经过的点，是解题的关键8（2016北京）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，表中为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊学生序号 1 23 45 67 89 10 立定跳远（单位：米） 1.961.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60 30秒跳绳（单位：次） 63a 7560 6372 70a1 b65 在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（）A2号学生进入30秒跳绳决赛B5号学生进入30秒跳绳决赛C8号学生进入30秒跳绳决赛D9号学生进入30秒跳绳决赛【考点】命题的真假判断与应用【专题】探究型；简易逻辑；推理和证明【分析】根据已知中这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，逐一分析四个答案的正误，可得结论【解答】解：这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，故编号为1，2，3，4，5，6，7，8的学生进入立定跳远决赛，又由同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则3，6，7号同学必进入30秒跳绳决赛，剩下1，2，4，5，8号同学的成绩分别为：63，a，60，63，a1有且只有3人进入30秒跳绳决赛，故成绩为63的同学必进入30秒跳绳决赛，故选：B【点评】本题考查的知识点是推理与证明，正确利用已知条件得到合理的逻辑推理过程，是解答的关键二填空题（共6小题）9（2016北京）已知向量=（1，），=（，1），则与夹角的大小为【考点】数量积表示两个向量的夹角【专题】计算题；定义法；平面向量及应用【分析】根据已知中向量的坐标，代入向量夹角公式，可得答案【解答】解：向量=（1，），=（，1），与夹角满足：cos=，又0，=，故答案为：【点评】本题考查的知识点是平面向量的夹角公式，熟练掌握平面向量的夹角公式，是解答的关键10（2016北京）函数f（x）=（x2）的最大值为2【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】分离常数便可得到，根据反比例函数的单调性便可判断该函数在2，+）上为减函数，从而x=2时f（x）取最大值，并可求出该最大值【解答】解：；f（x）在2，+）上单调递减；x=2时，f（x）取最大值2故答案为：2【点评】考查函数最大值的概念及求法，分离常数法的运用，以及反比例函数的单调性，根据函数单调性求最值的方法11（2016北京）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；空间位置关系与距离；立体几何【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，进而可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，棱柱的底面面积S=（1+2）1=，棱柱的高为1，故棱柱的体积V=，故答案为：【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键12（2016北京）已知双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（，0），则a=1，b=2【考点】双曲线的标准方程【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由双曲的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（，0），列出方程组，由此能出a，b【解答】解：双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（，0），解得a=1，b=2故答案为：1，2【点评】本题考查双曲线中实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用13（2016北京）在ABC中，A=，a=c，则=1【考点】正弦定理的应用【专题】计算题；规律型；转化思想；解三角形【分析】利用正弦定理求出C的大小，然后求出B，然后判断三角形的形状，求解比值即可【解答】解：在ABC中，A=，a=c，由正弦定理可得：，=，sinC=，C=，则B=三角形是等腰三角形，B=C，则b=c，则=1故答案为：1【点评】本题考查正弦定理的应用，三角形的判断，考查计算能力14（2016北京）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店第一天售出但第二天未售出的商品有16种；这三天售出的商品最少有29种【考点】容斥原理；集合的包含关系判断及应用【专题】计算题；转化思想；综合法；集合【分析】由题意画出图形得答案；求出前两天所受商品的种数，由特殊情况得到三天售出的商品最少种数【解答】解：设第一天售出商品的种类集为A，第二天售出商品的种类集为B，第三天售出商品的种类集为C，如图，则第一天售出但第二天未售出的商品有16种；由知，前两天售出的商品种类为19+133=29种，当第三天售出的18种商品都是第一天或第二天售出的商品时，这三天售出的商品种类最少为29种故答案为：16；29【点评】本题考查集合的包含关系及其应用，考查了集合中元素的个数判断，考查学生的逻辑思维能力，是中档题三解答题（共6小题）15（2016北京）已知an是等差数列，bn是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4（1）求an的通项公式；（2）设cn=an+bn，求数列cn的前n项和【考点】等差数列与等比数列的综合【专题】方程思想；分析法；等差数列与等比数列【分析】（1）设an是公差为d的等差数列，bn是公比为q的等比数列，运用通项公式可得q=3，d=2，进而得到所求通项公式；（2）求得cn=an+bn=2n1+3n1，再由数列的求和方法：分组求和，运用等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和【解答】解：（1）设an是公差为d的等差数列，bn是公比为q的等比数列，由b2=3，b3=9，可得q=3，bn=b2qn2=33n2=3n1；即有a1=b1=1，a14=b4=27，则d=2，则an=a1+（n1）d=1+2（n1）=2n1；（2）cn=an+bn=2n1+3n1，则数列cn的前n项和为（1+3+（2n1）+（1+3+9+3n1）=n2n+=n2+【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查数列的求和方法：分组求和，考查运算能力，属于基础题16（2016北京）已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x（0）的最小正周期为（1）求的值；（2）求f（x）的单调递增区间【考点】复合三角函数的单调性；三角函数的周期性及其求法【专题】计算题；函数思想；数学模型法；三角函数的图像与性质【分析】（1）利用倍角公式结合两角和的正弦化积，再由周期公式列式求得的值；（2）直接由相位在正弦函数的增区间内求解x的取值范围得f（x）的单调递增区间【解答】解：（1）f（x）=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=由T=，得=1；（2）由（1）得，f（x）=再由，得f（x）的单调递增区间为（kZ）【点评】本题考查y=Asin（x+）型函数的图象和性质，考查了两角和的正弦，属中档题17（2016北京）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费【考点】频率分布直方图；随机抽样和样本估计总体的实际应用【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计【分析】（1）由频率分布直方图得：用水量在0.5，1）的频率为0.1，用水量在1，1.5）的频率为0.15，用水量在1.5，2）的频率为0.2，用水量在2，2.5）的频率为0.25，用水量在2.5，3）的频率为0.15，用水量在3，3.5）的频率为0.05，用水量在3.5，4）的频率为0.05，用水量在4，4.5）的频率为0.05，由此能求出为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米，w至少定为3立方米（2）当w=3时，利用频率分布直方图能求出该市居民的人均水费【解答】解：（1）由频率分布直方图得：用水量在0.5，1）的频率为0.1，用水量在1，1.5）的频率为0.15，用水量在1.5，2）的频率为0.2，用水量在2，2.5）的频率为0.25，用水量在2.5，3）的频率为0.15，用水量在3，3.5）的频率为0.05，用水量在3.5，4）的频率为0.05，用水量在4，4.5）的频率为0.05，用水量小于等于3立方米的频率为85%，为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米，w至少定为3立方米（2）当w=3时，该市居民的人均水费为：（0.11+0.151.5+0.22+0.252.5+0.153）4+0.0534+0.050.510+0.0534+0.05110+0.0534+0.051.510=10.5，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费为10.5元【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查当w=3时，该市居民该月的人均水费的估计的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用18（2016北京）如图，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，ABDC，DCAC（1）求证：DC平面PAC；（2）求证：平面PAB平面PAC；（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA平面CEF？说明理由【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系【专题】综合题；转化思想；综合法；立体几何【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明DC平面PAC；（2）利用线面垂直的判定定理证明AB平面PAC，即可证明平面PAB平面PAC；（3）在棱PB上存在中点F，使得PA平面CEF利用线面平行的判定定理证明【解答】（1）证明：PC平面ABCD，DC平面ABCD，PCDC，DCAC，PCAC=C，DC平面PAC；（2）证明：ABDC，DCAC，ABAC，PC平面ABCD，AB平面ABCD，PCAB，PCAC=C，AB平面PAC，AB平面PAB，平面PAB平面PAC；（3）解：在棱PB上存在中点F，使得PA平面CEF点E为AB的中点，EFPA，PA平面CEF，EF平面CEF，PA平面CEF【点评】本题考查线面平行与垂直的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题19（2016北京）已知椭圆C：+=1过点A（2，0），B（0，1）两点（1）求椭圆C的方程及离心率；（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值【考点】椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）由题意可得a=2，b=1，则，则椭圆C的方程可求，离心率为e=；（2）设P（x0，y0），求出PA、PB所在直线方程，得到M，N的坐标，求得|AN|，|BM|由，结合P在椭圆上求得四边形ABNM的面积为定值2【解答】（1）解：椭圆C：+=1过点A（2，0），B（0，1）两点，a=2，b=1，则，椭圆C的方程为，离心率为e=；（2）证明：如图，设P（x0，y0），则，PA所在直线方程为y=，取x=0，得；，PB所在直线方程为，取y=0，得|AN|=，|BM|=1=四边形ABNM的面积为定值2【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，考查计算能力与推理论证能力，是中档题20（2016北京）设函数f（x）=x3+ax2+bx+c（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（2）设a=b=4，若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值范围；（3）求证：a23b0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理【专题】方程思想；分析法；函数的性质及应用；导数的概念及应用【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，进而得到所求切线的方程；（2）由f（x）=0，可得c=x3+4x2+4x，由g（x）=x3+4x2+4x，求得导数，单调区间和极值，由c介于极值之间，解不等式即可得到所求范围；（3）先证若f（x）有三个不同零点，令f（x）=0，可得单调区间有3个，求出导数，由导数的图象与x轴有两个不同的交点，运用判别式大于0，可得a23b0；再由a=b=4，c=0，可得若a23b0，不能推出f（x）有3个零点【解答】解：（1）函数f（x）=x3+ax2+bx+c的导数为f（x）=3x2+2ax+b，可得y=f（x）在点（0，f（0）处的切线斜率为k=f（0）=b，切点为（0，c），可得切线的方程为y=bx+c；（2）设a=b=4，即有f（x）=x3+4x2+4x+c，由f（x）=0，可得c=x3+4x2+4x，由g（x）=x3+4x2+4x的导数g（x）=3x2+8x+4=（x+2）（3x+2），当x或x2时，g（x）0，g（x）递增；当2x时，g（x）0，g（x）递减即有g（x）在x=2处取得极大值，且为0；g（x）在x=处取得极小值，且为由函数f（x）有三个不同零点，可得c0，解得0c，则c的取值范围是（0，）；（3）证明：若f（x）有三个不同零点，令f（x）=0，可得f（x）的图象与x轴有三个不同的交点即有f（x）有3个单调区间，即为导数f（x）=3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点，可得0，即4a212b0，即为a23b0；若a23b0，即有导数f（x）=3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点，当c=0，a=b=4时，满足a23b0，即有f（x）=x（x+2）2，图象与x轴交于（0，0），（2，0），则f（x）的零点为2个故a23b0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件【点评】不同考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查函数的零点的判断，注意运用导数求得极值，考查化简整理的圆能力，属于中档题第13页（共13页）