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2016年北京高考文科数学试题及答案.doc

1、2016年北京市高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一选择题(共8小题)1(2016北京)已知集合A=x|2x4,B=x|x3或x5,则AB=()Ax|2x5Bx|x4或x5Cx|2x3Dx|x2或x5【考点】交集及其运算【专题】计算题;转化思想;综合法;集合【分析】由已知条件利用交集的定义能求出AB【解答】解:集合A=x|2x4,B=x|x3或x5,AB=x|2x3故选:C【点评】本题考查交集的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意交集的定义的合理运用2(2016北京)复数=()AiB1+iCiD1i【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】计算题;转化思想;数系的扩充和复数【分析】将分子分线

2、同乘2+i,整理可得答案【解答】解:=i,故选:A【点评】本题考查的知识点是复数代数形式的加减运算,共轭复数的定义,难度不大,属于基础题3(2016北京)执行如图所示的程序框图,输出s的值为()A8B9C27D36【考点】程序框图【专题】计算题;操作型;算法和程序框图【分析】根据已知的程序框图可得,该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值,模拟程序的运行过程,可得答案【解答】解:当k=0时,满足进行循环的条件,故S=0,k=1,当k=1时,满足进行循环的条件,故S=1,k=2,当k=2时,满足进行循环的条件,故S=9,k=3,当k=3时,不满足进行循环的条件,故输出的S值为9,故选:B【

3、点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环次数不多,或有规律可循时,可采用模拟程序法进行解答4(2016北京)下列函数中,在区间(1,1)上为减函数的是()Ay=By=cosxCy=ln(x+1)Dy=2x【考点】函数单调性的判断与证明【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用【分析】根据函数单调性的定义,余弦函数单调性,以及指数函数的单调性便可判断每个选项函数在(1,1)上的单调性,从而找出正确选项【解答】解:Ax增大时,x减小,1x减小,增大;函数在(1,1)上为增函数,即该选项错误;By=cosx在(1,1)上没有单调性,该选项错误;Cx增大时,x+1增大,ln(x+1)增大,y=ln(x

4、+1)在(1,1)上为增函数,即该选项错误;D.;根据指数函数单调性知,该函数在(1,1)上为减函数,该选项正确故选D【点评】考查根据单调性定义判断函数在一区间上的单调性的方法,以及余弦函数和指数函数的单调性,指数式的运算5(2016北京)圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为()A1B2CD2【考点】圆的标准方程;点到直线的距离公式【专题】计算题;转化思想;综合法;直线与圆【分析】先求出圆(x+1)2+y2=2的圆心,再利用点到到直线y=x+3的距离公式求解【解答】解:圆(x+1)2+y2=2的圆心为(1,0),圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为:d=故选

5、:C【点评】本题考查圆心到直线的距离的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意点到直线的距离公式和圆的性质的合理运用6(2016北京)从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为()ABCD【考点】古典概型及其概率计算公式【专题】概率与统计【分析】从甲、乙等5名学生中随机选出2人,先求出基本事件总数,再求出甲被选中包含的基本事件的个数,同此能求出甲被选中的概率【解答】解:从甲、乙等5名学生中随机选出2人,基本事件总数n=10,甲被选中包含的基本事件的个数m=4,甲被选中的概率p=故选:B【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等可能事件概率计算公式的合理运用7(201

6、6北京)已知A(2,5),B(4,1)若点P(x,y)在线段AB上,则2xy的最大值为()A1B3C7D8【考点】简单线性规划【专题】计算题;规律型;数形结合;转化思想;不等式【分析】平行直线z=2xy,判断取得最值的位置,求解即可【解答】解:如图A(2,5),B(4,1)若点P(x,y)在线段AB上,令z=2xy,则平行y=2xz当直线经过B时截距最小,Z取得最大值,可得2xy的最大值为:241=7故选:C【点评】本题考查线性规划的简单应用,判断目标函数经过的点,是解题的关键8(2016北京)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段,表中为10名学生的预赛成绩,其

7、中有三个数据模糊学生序号 1 23 45 67 89 10 立定跳远(单位:米) 1.961.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60 30秒跳绳(单位:次) 63a 7560 6372 70a1 b65 在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则()A2号学生进入30秒跳绳决赛B5号学生进入30秒跳绳决赛C8号学生进入30秒跳绳决赛D9号学生进入30秒跳绳决赛【考点】命题的真假判断与应用【专题】探究型;简易逻辑;推理和证明【分析】根据已知中这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决

8、赛和30秒跳绳决赛的有6人,逐一分析四个答案的正误,可得结论【解答】解:这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,故编号为1,2,3,4,5,6,7,8的学生进入立定跳远决赛,又由同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则3,6,7号同学必进入30秒跳绳决赛,剩下1,2,4,5,8号同学的成绩分别为:63,a,60,63,a1有且只有3人进入30秒跳绳决赛,故成绩为63的同学必进入30秒跳绳决赛,故选:B【点评】本题考查的知识点是推理与证明,正确利用已知条件得到合理的逻辑推理过程,是解答的关键二填空题(共6小题)9(2016北京)已知向量=(1,),=(,1),则与夹角的大小为【考点】数

9、量积表示两个向量的夹角【专题】计算题;定义法;平面向量及应用【分析】根据已知中向量的坐标,代入向量夹角公式,可得答案【解答】解:向量=(1,),=(,1),与夹角满足:cos=,又0,=,故答案为:【点评】本题考查的知识点是平面向量的夹角公式,熟练掌握平面向量的夹角公式,是解答的关键10(2016北京)函数f(x)=(x2)的最大值为2【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【专题】计算题;函数思想;综合法;函数的性质及应用【分析】分离常数便可得到,根据反比例函数的单调性便可判断该函数在2,+)上为减函数,从而x=2时f(x)取最大值,并可求出该最大值【解答】解:;f(x)在2,+)上单调递减;x

10、=2时,f(x)取最大值2故答案为:2【点评】考查函数最大值的概念及求法,分离常数法的运用,以及反比例函数的单调性,根据函数单调性求最值的方法11(2016北京)某四棱柱的三视图如图所示,则该四棱柱的体积为【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题;空间位置关系与距离;立体几何【分析】由已知中的三视图可得:该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱,进而可得答案【解答】解:由已知中的三视图可得:该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱,棱柱的底面面积S=(1+2)1=,棱柱的高为1,故棱柱的体积V=,故答案为:【点评】本题考查的知识点是由三视图,求体积和表面积,根据已知的三视图,判断几何体的形状是解

11、答的关键12(2016北京)已知双曲线=1(a0,b0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(,0),则a=1,b=2【考点】双曲线的标准方程【专题】计算题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由双曲的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(,0),列出方程组,由此能出a,b【解答】解:双曲线=1(a0,b0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(,0),解得a=1,b=2故答案为:1,2【点评】本题考查双曲线中实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意双曲线的性质的合理运用13(2016北京)在ABC中,A=,a=c,则=1【考点】正弦定理的应用【专题】计算题;规律型;

12、转化思想;解三角形【分析】利用正弦定理求出C的大小,然后求出B,然后判断三角形的形状,求解比值即可【解答】解:在ABC中,A=,a=c,由正弦定理可得:,=,sinC=,C=,则B=三角形是等腰三角形,B=C,则b=c,则=1故答案为:1【点评】本题考查正弦定理的应用,三角形的判断,考查计算能力14(2016北京)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出19种商品,第二天售出13种商品,第三天售出18种商品;前两天都售出的商品有3种,后两天都售出的商品有4种,则该网店第一天售出但第二天未售出的商品有16种;这三天售出的商品最少有29种【考点】容斥原理;集合的包含关系判断及应用【专题】

13、计算题;转化思想;综合法;集合【分析】由题意画出图形得答案;求出前两天所受商品的种数,由特殊情况得到三天售出的商品最少种数【解答】解:设第一天售出商品的种类集为A,第二天售出商品的种类集为B,第三天售出商品的种类集为C,如图,则第一天售出但第二天未售出的商品有16种;由知,前两天售出的商品种类为19+133=29种,当第三天售出的18种商品都是第一天或第二天售出的商品时,这三天售出的商品种类最少为29种故答案为:16;29【点评】本题考查集合的包含关系及其应用,考查了集合中元素的个数判断,考查学生的逻辑思维能力,是中档题三解答题(共6小题)15(2016北京)已知an是等差数列,bn是等比数列

14、,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4(1)求an的通项公式;(2)设cn=an+bn,求数列cn的前n项和【考点】等差数列与等比数列的综合【专题】方程思想;分析法;等差数列与等比数列【分析】(1)设an是公差为d的等差数列,bn是公比为q的等比数列,运用通项公式可得q=3,d=2,进而得到所求通项公式;(2)求得cn=an+bn=2n1+3n1,再由数列的求和方法:分组求和,运用等差数列和等比数列的求和公式,计算即可得到所求和【解答】解:(1)设an是公差为d的等差数列,bn是公比为q的等比数列,由b2=3,b3=9,可得q=3,bn=b2qn2=33n2=3n1;即有a1=b1=

15、1,a14=b4=27,则d=2,则an=a1+(n1)d=1+2(n1)=2n1;(2)cn=an+bn=2n1+3n1,则数列cn的前n项和为(1+3+(2n1)+(1+3+9+3n1)=n2n+=n2+【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用,同时考查数列的求和方法:分组求和,考查运算能力,属于基础题16(2016北京)已知函数f(x)=2sinxcosx+cos2x(0)的最小正周期为(1)求的值;(2)求f(x)的单调递增区间【考点】复合三角函数的单调性;三角函数的周期性及其求法【专题】计算题;函数思想;数学模型法;三角函数的图像与性质【分析】(1)利用倍角公式结

16、合两角和的正弦化积,再由周期公式列式求得的值;(2)直接由相位在正弦函数的增区间内求解x的取值范围得f(x)的单调递增区间【解答】解:(1)f(x)=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=由T=,得=1;(2)由(1)得,f(x)=再由,得f(x)的单调递增区间为(kZ)【点评】本题考查y=Asin(x+)型函数的图象和性质,考查了两角和的正弦,属中档题17(2016北京)某市居民用水拟实行阶梯水价,每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费,超出w立方米的部分按10元/立方米收费,从该市随机调查了10000位居民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到如图频率分布直

17、方图:(1)如果w为整数,那么根据此次调查,为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米,w至少定为多少?(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替,当w=3时,估计该市居民该月的人均水费【考点】频率分布直方图;随机抽样和样本估计总体的实际应用【专题】计算题;转化思想;综合法;概率与统计【分析】(1)由频率分布直方图得:用水量在0.5,1)的频率为0.1,用水量在1,1.5)的频率为0.15,用水量在1.5,2)的频率为0.2,用水量在2,2.5)的频率为0.25,用水量在2.5,3)的频率为0.15,用水量在3,3.5)的频率为0.05,用水量在3.5,4)的频率为0.05,用水

18、量在4,4.5)的频率为0.05,由此能求出为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米,w至少定为3立方米(2)当w=3时,利用频率分布直方图能求出该市居民的人均水费【解答】解:(1)由频率分布直方图得:用水量在0.5,1)的频率为0.1,用水量在1,1.5)的频率为0.15,用水量在1.5,2)的频率为0.2,用水量在2,2.5)的频率为0.25,用水量在2.5,3)的频率为0.15,用水量在3,3.5)的频率为0.05,用水量在3.5,4)的频率为0.05,用水量在4,4.5)的频率为0.05,用水量小于等于3立方米的频率为85%,为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米,w至少

19、定为3立方米(2)当w=3时,该市居民的人均水费为:(0.11+0.151.5+0.22+0.252.5+0.153)4+0.0534+0.050.510+0.0534+0.05110+0.0534+0.051.510=10.5,当w=3时,估计该市居民该月的人均水费为10.5元【点评】本题考查频率分布直方图的应用,考查当w=3时,该市居民该月的人均水费的估计的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意频率分布直方图的合理运用18(2016北京)如图,在四棱锥PABCD中,PC平面ABCD,ABDC,DCAC(1)求证:DC平面PAC;(2)求证:平面PAB平面PAC;(3)设点E为AB的中点,在

20、棱PB上是否存在点F,使得PA平面CEF?说明理由【考点】空间中直线与平面之间的位置关系;平面与平面之间的位置关系【专题】综合题;转化思想;综合法;立体几何【分析】(1)利用线面垂直的判定定理证明DC平面PAC;(2)利用线面垂直的判定定理证明AB平面PAC,即可证明平面PAB平面PAC;(3)在棱PB上存在中点F,使得PA平面CEF利用线面平行的判定定理证明【解答】(1)证明:PC平面ABCD,DC平面ABCD,PCDC,DCAC,PCAC=C,DC平面PAC;(2)证明:ABDC,DCAC,ABAC,PC平面ABCD,AB平面ABCD,PCAB,PCAC=C,AB平面PAC,AB平面PAB

21、,平面PAB平面PAC;(3)解:在棱PB上存在中点F,使得PA平面CEF点E为AB的中点,EFPA,PA平面CEF,EF平面CEF,PA平面CEF【点评】本题考查线面平行与垂直的证明,考查平面与平面垂直的证明,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题19(2016北京)已知椭圆C:+=1过点A(2,0),B(0,1)两点(1)求椭圆C的方程及离心率;(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:四边形ABNM的面积为定值【考点】椭圆的标准方程;直线与椭圆的位置关系【专题】综合题;方程思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】(1)由题意可得

22、a=2,b=1,则,则椭圆C的方程可求,离心率为e=;(2)设P(x0,y0),求出PA、PB所在直线方程,得到M,N的坐标,求得|AN|,|BM|由,结合P在椭圆上求得四边形ABNM的面积为定值2【解答】(1)解:椭圆C:+=1过点A(2,0),B(0,1)两点,a=2,b=1,则,椭圆C的方程为,离心率为e=;(2)证明:如图,设P(x0,y0),则,PA所在直线方程为y=,取x=0,得;,PB所在直线方程为,取y=0,得|AN|=,|BM|=1=四边形ABNM的面积为定值2【点评】本题考查椭圆的标准方程,考查了椭圆的简单性质,考查计算能力与推理论证能力,是中档题20(2016北京)设函数

23、f(x)=x3+ax2+bx+c(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程;(2)设a=b=4,若函数f(x)有三个不同零点,求c的取值范围;(3)求证:a23b0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;函数零点的判定定理【专题】方程思想;分析法;函数的性质及应用;导数的概念及应用【分析】(1)求出f(x)的导数,求得切线的斜率和切点,进而得到所求切线的方程;(2)由f(x)=0,可得c=x3+4x2+4x,由g(x)=x3+4x2+4x,求得导数,单调区间和极值,由c介于极值之间,解不等式即可得到所求范围;(3)先证若f(x)有三个不同零

24、点,令f(x)=0,可得单调区间有3个,求出导数,由导数的图象与x轴有两个不同的交点,运用判别式大于0,可得a23b0;再由a=b=4,c=0,可得若a23b0,不能推出f(x)有3个零点【解答】解:(1)函数f(x)=x3+ax2+bx+c的导数为f(x)=3x2+2ax+b,可得y=f(x)在点(0,f(0)处的切线斜率为k=f(0)=b,切点为(0,c),可得切线的方程为y=bx+c;(2)设a=b=4,即有f(x)=x3+4x2+4x+c,由f(x)=0,可得c=x3+4x2+4x,由g(x)=x3+4x2+4x的导数g(x)=3x2+8x+4=(x+2)(3x+2),当x或x2时,g

25、(x)0,g(x)递增;当2x时,g(x)0,g(x)递减即有g(x)在x=2处取得极大值,且为0;g(x)在x=处取得极小值,且为由函数f(x)有三个不同零点,可得c0,解得0c,则c的取值范围是(0,);(3)证明:若f(x)有三个不同零点,令f(x)=0,可得f(x)的图象与x轴有三个不同的交点即有f(x)有3个单调区间,即为导数f(x)=3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点,可得0,即4a212b0,即为a23b0;若a23b0,即有导数f(x)=3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点,当c=0,a=b=4时,满足a23b0,即有f(x)=x(x+2)2,图象与x轴交于(0,0),(2,0),则f(x)的零点为2个故a23b0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件【点评】不同考查导数的运用:求切线的方程和单调区间、极值,考查函数的零点的判断,注意运用导数求得极值,考查化简整理的圆能力,属于中档题第13页(共13页)

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