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泊松过程及其在排队论中的应用

摘要：叙述了泊松过程的基本定义和概念，并列举了泊松过程的其他等价定义和证明并分析了泊松过程在排队论中的应用，讨论了完成服务和正在接受服务的顾客的联合分布。
关键词：泊松过程；齐次泊松过程；排队论

1. 前言
泊松分布是概率论中最重要的分布之一，在历史上泊松分布是由法国数学家泊松引人的。近数十年来，泊松分布日益显现了其重要性而将泊松随机变量的概念加以推广就得到了泊松过程的概念。泊松过程是被研究得最早和最简单的一类点过程，他在点过程的理论和应用中占有重要的地位。泊松过程在现实生活的许多应用中是一个相当适合的模型，它在物理学、天文学、生物学、医学、通讯技术、交通运输和管理科学等领域都有成功运用的例子。
2. 泊松过程的概念
定义3.2 ：设计数过程{ X(t)，t ≥ 0}满足下列条件：
(1) X(0) = 0;
(2) X(t)是独立增量过程;
(3) 在任一长度为t 的区间中，事件A发生的次数服从参数的泊松分布，即对任意是s, t ≥ 0，有
，
则称计数过程{ X(t)，t ≥ 0}为具有参数的泊松过程。
注意，从条件(3)知泊松过程是平稳增量过程且，由于，表示单位时间内事件A发生的平均个数，故称为此过程的速率或强度。
从定义3.2中，我们看到，为了判断一个计数过程是泊松过程，必须证明它满足条件(1)、(2)及(3)。条件(1)只是说明事件A的计数是从t = 0时开始的。条件(2)通常可从我们对过程了解的情况去验证。然而条件(3)的检验是非常困难的。为此，我们给出泊松过程的另一个定义。
定义3.3 ：设计数过程{ X(t)，t ≥ 0}满足下列条件：
(1) X(0) = 0;
(2) X(t)是独立平稳增量过程;
(3) X(t)满足下列两式：

则称计数过程{ X(t)，t ≥ 0}为具有参数的泊松过程。
定义中的条件(3)说明，在充分小的时间间隔内，最多有一个事件发生，而不能有两个或两个以上事件同时发生。这种假设对于许多物理现象较容易得到满足。
3. 齐次泊松过程
定理1 假设事件E的发生形成强度为的齐次泊松过程，如果每一发生的事件仅以概率p被记录到，以M表示被记录到的事件序列，那么过程M是强度为的齐次泊松过程。
证明：根据前面的等价定义，只需证明对于任意长度b的可表为有限多个互不相交区间之并的集合B。在B中被记录到的事件数M(B)有参数为的泊松分布。事实上，记q=1 - p，则对于任意

基于这个定理，我们还可以证明如下的齐次泊松过程分解定理。
定理2 设N是强度为的齐次泊松过程，p是任意介于0和1之间的常数，则N可以分解为两个互相独立的齐泊松过程M和M '，它们的强度分别为和，这里q = 1- p。
证明：我们可以这样想象，过程N的点事件以概率p被记录，而且各点事件是否被记录是互相独立的，于是，由上面的定理知道，N中被记录的事件序列M是强度为的齐次泊松过程。而没有被记录的事件序列M' 则形成一强度为的齐次泊松过程。显然有N=M+M '。下面证明M和M ' 的独立性。为此只需证明对任愈非负整数m和n，以及任意可表为有限多个互不相交区间之并的集合有：

这里b是集合B的总长度。因为事件等价于事件故

容易看出，上面的论断可以推广到r个独立过程的情形，这里r是任意大于2的整数。于是我们有如下的推论。
推论1 [2] 设N是强度为的齐次泊松过程。对于任意整数和任意r个满足条件的整数可以把N分解为r个强度分别为的互相独立的齐次泊松过程。
下面进一步研究选取概率不是一常数而是随时间变化的情形。
假设强度为的泊松过程的事件可以分为两类：第一类和第二类，并且假设以事件发生的时间把事件的概率分为第一类。假设如果一个事件发生的时间为t,而且与其他事件独立，于是他可以看成是概率为P(s)的第一类事件，也可以看成是概率为1-P(s)的第二类事件。利用定理1我们能够证明下面的命题。
定理3 如果表示的是到时间t为止发生的第i类事件的数量(i = 1,2),和分别表示的是参数为和的独立泊松随机变量，
其中

证明：在N(t)已知的条件下，计算和的联合分布。

现在考虑在区间内的任一事件，如果事件发生的时间为s，那么它是概率为P(s)的一类事件，因而利用定理1知道这个事件发生在均匀分布(0,t)上的某个时间，那么它必然是概率为的第一类事件，并且与其他事件来说是独立的。因而刚好表示的是在n+m次独立的实验中有n次成功，m次失败，用p表示每次成功的概率，那么：

也就是：

这就证明了定理的论断。
4. 排队论中应用举例
例1 设在上午8时到下午8时运送乘客到达飞机场的小汽车形成强度为(辆/时)的齐次泊松过程。如果每辆车载有1,2,3,4个乘客的概率分别为0.1，0.2，0.4，0.3。求在一小时内有小汽车送到机场的乘客的平均数。
解：用表示在一小时内运送i个乘客到达机场的小汽车数目，则由推论1知道是参数分别为3，6，12，9的泊松分布。因此，分别等于对应的分布参数值，所以欲求的乘客的平均数为

= 3 +12 + 36 + 36
= 87
例2 假设顾客到达服务站的人数服从强度为的泊松过程，到达的顾客很快就可以接受服务，并且假设服务时间是独立的并且服从一个普通的分布，记为G。
解：为了计算在时刻t已完成服务和正在接受服务的顾客的联合分布，把在时刻t 完成服务的顾客称为第一类，在时刻t未完成服务的顾客称为第二类顾客，现在，如果第一个顾客到来的时间为，如果他的服务时间少于t - s，那么他就是第一类顾客，并且因为服务时间服从G分布，所以服务时间少于t - s的概率为G(t - s)因而，P(s) = G(t -s); S≤ t。利用定理2我们得到的的分布。到时间t为止，已完成服务的顾客的数目服从泊松分布，其参数为：

同理，到时刻t 仍然在接受服务的顾客的数目也是服从泊松分布，其参数为：，由此可见和是独立的。
5. 总结
泊松过程是被研究得最早和最简单的一类点过程。它在现实生活的许多应用中是一个相当适合的模型。除了本文中所讲到的在排队论的应用之外, 它在其他的领域中也有广泛的应用。例如物理学、天文学、生物学、医学、通讯技术、交通运输、保险和管理科学领域中都有成功应用的例子。另外在本文排队论中的应用也可以做一些拓展。

参考文献：
[1] 刘次华. 随机过程[M]. 武汉：华中科技大学出版社，2008