正态分布的性质及实际应用举例.doc

11 / 11华 北 水 利 水 电 学 院正态分布的性质及实际应用举例课程名称：概率论与数理统计 专业班级：电气工程及其自动化091班 成员组成：姓名：邓 旗 学号： 201009102 姓名：王宇翔 学号：201009101 姓名：陈 涵 学号：201009132 联系方式：18737102834 2012年5月24日1 引言：正态分布（normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。本文就从正态分布的实际性质应用举例等各个方面进行简单阐述并进行探讨，使同学们能够对所掌握的知识有更清楚地认识。2 研究问题及成果：2.1 正态分布性质；2.2 3原则及标准正态分布；2.3 实际应用举例说明摘要：正态分布是最重要的一种概率分布。正态分布概念是由德国数学家与天文学家Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学研究，故此正态分布又称高斯分布。 在许多实际问题中遇到的随机变量都服从或近似服从正态分布： 在生产中，产品的质量指标， 如电子管的使用寿命，电容器的电容量，零件的尺寸。铁水含磷量，纺织品的纤度和强度等一般都服从正态分布。 在测量中，如大地测量，天平称量物体，化学分析某物之中某元素的含量等，测量结果一般服从正态分布。 在生物学中，同一群体的某种特性指标，如某地同龄儿童的身高，体重，肺活量，在一定条件下生长的农作物的产量等一般服从正态分布。 在气象学中，某地每年7月份的平均气温，平均温度以及降水量等一般也服从正态分布。 总之。正态分布广泛存在于自然现象，社会现象以及生产，科学技术的各个领域中。本文就从正态分布的实际性质应用举例等各个方面进行简单阐述并进行探讨，使同学们能够对所掌握的知识有更清楚地认识。关键词：正态分布The nature of the normal distribution and the example of practical applicationAbstract：the normal distribution is the probability distribution of one of the most important. Normal distribution concepts is Germany first proposed by mathematician and astronomer Moivre in 1733, but since Germany mathematician Gauss first applied in astronomy, so also called the Gaussian distribution of the normal distribution. In many practical problems encountered in the approximate normal distribution random variables are subject to, or: in production, product quality indicators, such as the life of the tube, the capacitance of capacitors, dimensions of the part. Phosphorus content in hot metal, textile fibers and strength are generally subject to the normal distribution. In surveying, geodesy, weighing scales objects, such as chemical analysis of some of the content of an element, General normal distribution measurement results. In biology, a certain characteristic index of the same group, such as a certain age childrens height, body weight, vital capacity, under certain conditions the yield of crops on the growth of General normal distribution. In meteorology, a place every July average temperature, average temperature and precipitation generally normal distribution. All in all. Normal distribution is widely present in natural phenomena, social phenomena, as well as the production, in the various fields of science and technology. This article from the actual properties of the normal distribution apply to explore various aspects, such as for example a simple elaboration and, enable students to acquire knowledge have a better understanding.Key words：Normal distribution Practical application正态分布的性质及实际应用举例概率论在一定的社会条件下,通过人类的社会实践和生产活动发展起来,被广泛应用于各个领域,在国民经济的生产和生活中起着重要的作用。而正态分布是概率论中的基础，很多问题都依赖于正态分布，因此，可以从正态分布的性质来研究其应用，更广的应用到实际中。下面先来看看正态分布的性质。若连续型随机变量x的概率密度为：则称x服从参数为， 的正态分布或高斯分布，记为XN（，2）表示总体的期望，表示标准差正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称，曲线与横轴间的面积总等于1。 具体性质： 集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。 均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。注意：服从正态分布的变量的频数分布由、完全决定u变换：为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。是正态分布的位置参数，描述正态分布的集中趋势位置。正态分布以X=为对称轴，左右完全对称。当恒定后，越大，则曲线沿横轴向右移动；反之，越小，则曲线沿横轴向左移动。 变换变换：正态分布有两个参数，即均数和标准差，可记作N（，）：均数决定正态曲线的中心位置；标准差决定正态曲线的陡峭或扁平程度。越小，曲线越陡峭；越大，曲线越扁平。变换标准正态分布:当=0，=1 时称随机变量X服从标准正态分布，其概率密度为f(x)=12e-t22。只要变量X N（，2），就可经下式转换为=0，=1的标准正态分布，记为N（0,1），此变换也称为标准变换，=X-,标准正态分布对处理问题有很重要的帮助。3原则:正态总体几乎总取值于区间（-3，+3）之内，而在此区间以外取值的概率只有0.26%，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，在实际应用中，通常认为服从正态分布N（，2，）的随机变量只取（-3，+3）之间的值，并称为3原则。正态分布的应用举例l 估计频数分布l 制定医学参考值范围 l 正态分布是许多统计方法的理论基础 l 例 出生体重低于2500克为低体重儿。若由某项研究得某地婴儿出生体重均数为3200克，标准差为350克，估计该地当年低体重儿所占的比例。l 当年该地新生儿出生体重，则服从正态分布N(3200,350) 。先求 再查标准正态表得：（-2）=0.02288l 即标准正态曲线下从到u2范围内的面积为2.28%，从而在正态分布N(3200,350)曲线下，从到 X =2500的比例为2.28%，l 即 : X 2500的比例为2.28%。l 故估计该地当年低体重儿所占的比例为2.28%例2：某年某地150名12岁健康男童体重的均数为36.3 kg，标准差为6.19 kg,试估计：（1）该地12岁健康男童体重在50kg以上者占该地12岁健康男童总数的百分比；（2）体重在3040kg者占该地12岁健康男童总数的比例；（3）该地80%的12岁健康男童体重的分布范围。答： 将x=50代入公式，u=（50-36.3）/6.19=2.21 根据正态分布的对称性可知，u=2.21右侧的尾部面积与u=-2.21左侧的尾部面积相等，查表（-2.21）=0.0136，即理论上该地12岁健康男童体重在50kg以上者占该地12岁健康男童总数的1.36%。 分别计算x1=30和x2=40所对应的u值，得到u1=-1.02和u2=0.60,查附表1得： （-1.02）=0.1539和（-0.60）=0.2743，因此（0.60）- （-1.02）=（1- （-0.60）- （-1.02）=（1-0.2743）-0.1539=0.5718，即理论上体重在30kg40kg者占该地12岁健康男童总数的57.18%。 查附表1，标准正态分布曲线下左侧面积为0.10所对应的u值为-1.28，所以，该地80%的12岁健康男童体重值集中在区间x1.28S内，即28.444.2kg。正态分布可以比较乘车时间长短,从而选 择出行路线,看下例:从南郊某地乘车前往北区火车站搭火车,有两 条路可走,第一条路线穿过市区,路程较短,但交通 拥挤,所需时间(单位为分)服从正态分布N(50, 100),第二条路线沿环城公路走,路线较长,但意外 阻塞较多,所时间服从正态分布N(60,16)。(1)假如有70分钟可用,问应走哪条路线? (2)若只有65分钟可用,又应走哪条路线?分析:从概率角度先考虑(1)的情况,有70分 钟可用时,根据正态分布的性质,分别求两种情况下 的概率,又由于所有的正态分布都可以通过标准化 化成标准正态分布,利用标准正态的性质或查找正 态分布表,可以比较两条路线按时到达的概率大小,哪条大就走哪条路线。情况(2)与情况(1)同。具体 解法如下:(1)有70分钟可用,走路线一到达的概率:P(F70) =(70-604) =(2) =0.9772(2)走路线 二到达的概率:P(F70) =(70-604) =(2.5) =0.9938。所以应走路线二。(2)有65分钟可用,走路线一到达的概率:P(F65) =(65-5010) =(1.5) =0.9332,走路线 二到达的概率:P(F65) =(65-504) =(1.25) =0.8944,所以应该走路线一3。 其次,正态分布可以帮助应聘者分析形式,对应 聘状况做正确估计:具体案例如下:某企业准备通招聘考试招收300名职工,其中 正式工280人,临时工20人;报考的人数是1657人,考试满分是400分,考试后得知,报名者的成绩X近 似服从正态分布N(166,2),360分以上的高分考 生31人,某考生B得256分,问:他能否被录取?能否 被聘用为正式工? 这类问题求解大致分为这样三个步骤:首先根 据问题中所给信息:高于360分的有31人,利用分数 服从正态分布,遇到正态分布一般多联想到标准正 态分布,求出2;然后根据招收300名职工这个信 息,再次利用分数服从正态分布求出最低分数线,将B的成绩与最低分数线比较,从而确定是否被录取;最后,如果根据比较结果确定B被录取,再求出第280人的分数与B的成绩比较,或者根据B的成绩求 出高于B成绩的人数,再与280比较,进而确定B是 否被录取为正事员工。医学参考值范围也称医学正常值范围，它是指所谓“正常人”的解剖、生理、生化等指标的波动范围。所谓“正常人”不是指“健康人”，而是指排除了影响研究指标的疾病和有关因素的同质人群。制定医学参考值范围的步骤：1、随机抽取足够数量的“正常人”样本；2、控制测量误差，对选定的“正常人”进行准确而统一的测定；3、判定是否应该分组，分别制定各组正常值范围；4、根据专业知识确定采用双测正常值范围还是单侧正常值范围5、选定适当的百分范围，以95最常用6、正常人与病人的数据重叠较多时，应确定可疑范围。计算医学参考值范围常用的方法：l 正态分布法 ：适用于正态或近似正态分布资料。 双侧界 ： 单侧上界： 单侧下界： 例 某地调查正常成年男子144人的红细胞数（近似正态分布），得均数 标准差 ，估计该地成年男子红细胞数的95%参考值范围。 因红细胞数过多或过少都为异常，故此参考值范围应是双侧范围。又因为此指标近似正态，故可用正态分布法求95%参考值范围的上下限某地调查110名健康成年男性的第一秒肺通气量得均数 ，标准差 。请据此估计该地成年男子第一秒肺通气量的95%参考值范围。因为第一秒肺通气量仅过低属异常，故此参考值范围属仅有下限的单侧参考值范围。又因此指标近似正态分布，故可用正态分布法求其95%参考值范围如下： 即不低于3.052L。正态分布是许多统计方法的基础。后面将讲到的t检验、方差分析、相关回归分析等多种统计方法均要求分析的指标服从正态分布。同时，对于非正态分布资料，实施统计处理的一个重要途径是先作变量的转换，使转换后的资料近似正态分布，然后按正态分布的方法作统计处理。 结束语： 正态分布在实际生活中有着广泛的应用如估计正态分布资料的频数分布，制定医学参考值范围等等。同时正态分布是概率论中最重要的分布也是许多统计方法的理论基础。所以学好这一部分的知识对概率论及数理统计的学习起着至关重要的作用。 参考文献【M】 高等数学 同济大学数学系主编 6版. 北京： 高等教育出版社.2007.4（2010重印）【M】概率论与数理统计 浙江大学 盛 聚 谢式千 潘承毅 编 第4版.北京：高等教育出版社.2009.8（2010重印）分工情况第一部分：邓 旗第二部分：邓 旗第三部分：王宇翔排 版：王宇翔资料搜集：陈 涵审 查：陈 涵