2007年山西高考理科数学真题及答案.doc

2007年山西高考理科数学真题及答案

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
参考公式：
如果事件互斥，那么 球的表面积公式

如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径
球的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么
次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中表示球的半径

一、选择题
（1）是第四象限角，，则（ ）
A． B． C． D．
（2）设是实数，且是实数，则（ ）
A． B． C． D．
（3）已知向量，，则与（　　）
A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向
（4）已知双曲线的离心率为，焦点是，，则双曲线方程为（　　）
A． B． C． D．
（5）设，集合，则（ ）
A． B． C． D．

（6）下面给出的四个点中，到直线的距离为，且位于表示的平面区域内的点是（ ）
A． B． C． D．
（7）如图，正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
（8）设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则（　　）
A． B． C． D．
（9），是定义在上的函数，，则“，均为偶函数”是“为偶函数”的（　　）
A．充要条件 B．充分而不必要的条件
C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件
（10）的展开式中，常数项为，则（ ）
A． B． C． D．
（11）抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，，垂足为，则的面积是（　　）
A． B． C． D．
（12）函数的一个单调增区间是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
注意事项：
1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．
2．第Ⅱ卷共2页，请用直径05毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．
3．本卷共10题，共90分．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．
（13）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 种．（用数字作答）
（14）函数的图像与函数的图像关于直线对称，则 ．
（15）等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，则的公比为　　　　　　．
（16）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分10分）
设锐角三角形的内角的对边分别为，．
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）求的取值范围．
（18）（本小题满分12分）
某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为

1
2
3
4
5

0.4
0.2
0.2
0.1
0.1
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．表示经销一件该商品的利润．
（Ⅰ）求事件：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率；
（Ⅱ）求的分布列及期望．
（19）（本小题满分12分）
四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面．已知，，，．
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小．

（20）（本小题满分12分）
设函数．
（Ⅰ）证明：的导数；
（Ⅱ）若对所有都有，求的取值范围．
（21）（本小题满分12分）
已知椭圆的左、右焦点分别为，．过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，垂足为．
（Ⅰ）设点的坐标为，证明：；
（Ⅱ）求四边形的面积的最小值．
（22）（本小题满分12分）
已知数列中，，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）若数列中，，，
证明：，．

参考答案
一、选择题：
（1）D （2）B （3）A （4）A （5）C （6）C
（7）D （8）D （9）B （10）D （11）C （12）A
二、填空题：
（13） （14） （15） （16）
三、解答题：
（17）解：
（Ⅰ）由，根据正弦定理得，所以，
由为锐角三角形得．
（Ⅱ）

．
由为锐角三角形知，
，．
，
所以．
由此有，
所以，的取值范围为．
（18）解：
（Ⅰ）由表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．
知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”
，
．
（Ⅱ）的可能取值为元，元，元．
，
，
．
的分布列为

（元）．
（19）解法一：
（Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得底面．
因为，所以，
又，故为等腰直角三角形，，
由三垂线定理，得．

D
B
C
A
S
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，依题设，
故，由，，，得
，．
的面积．
连结，得的面积
设到平面的距离为，由于，得
，
解得．
设与平面所成角为，则．
所以，直线与平面所成的我为．
解法二：
（Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得平面．
因为，所以．
又，为等腰直角三角形，．
D
B
C
A
S

如图，以为坐标原点，为轴正向，建立直角坐标系，
，，，，，
，，所以．
（Ⅱ）取中点，，
连结，取中点，连结，．
，，．
，，与平面内两条相交直线，垂直．
所以平面，与的夹角记为，与平面所成的角记为，则与互余．
，．
，，
所以，直线与平面所成的角为．
（20）解：
（Ⅰ）的导数．
由于，故．

（当且仅当时，等号成立）．
（Ⅱ）令，则
，
（ⅰ）若，当时，，
故在上为增函数，
所以，时，，即．
（ⅱ）若，方程的正根为，
此时，若，则，故在该区间为减函数．
所以，时，，即，与题设相矛盾．
综上，满足条件的的取值范围是．
（21）证明：
（Ⅰ）椭圆的半焦距，
由知点在以线段为直径的圆上，故，
所以，．
（Ⅱ）（ⅰ）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得．
设，，则
，
；
因为与相交于点，且的斜率为，
所以，．
四边形的面积
．
当时，上式取等号．
（ⅱ）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积．
综上，四边形的面积的最小值为．
（22）解：
（Ⅰ）由题设：

，
．
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，
，
即的通项公式为，．
（Ⅱ）用数学归纳法证明．
（ⅰ）当时，因，，所以
，结论成立．
（ⅱ）假设当时，结论成立，即，
也即．
当时，

，
又，
所以　　

．
也就是说，当时，结论成立．
根据（ⅰ）和（ⅱ）知，．