2012年广东高考（文科）数学试题及答案.doc

2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
文科数学试题和答案（详细解析版）
本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。
参考公式：锥体的体积公式，其中为柱体的底面积，为柱体的高.
球的体积，其中为球的半径。
一组数据的标准差，
其中表示这组数据的平均数。

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设i为虚数单位，则复数
A. B. C. D.
2.设集合U={1.2.3.4.5.6}，M={1.3.5}，则=
A.{2.4.6} B.{1.3.5} C.{1.2.4} D.U
3.若向量，，则
A.（4.6） B.（-4,-6） C.（-2，-2） D.（2，2）
4.下列函数为偶函数的是

5.已知变量x，y满足约束条件 则z=x+2y的最小值为
A．3 B.1 C.-5 D.-6
6.在中，若=60°, ∠B=45°，BC=3，则AC=
A．4 B 2 C. D
7．某几何的三视图如图1所示，它的体积为
A．72π B 48π C.30π D.24π
8．在平面直角坐标系xOy中，直线3x+4y-5=0与圆+=4相交A、B两点，则弦AB的长等于
A．3 B2 C D 1
9．执行如图2所示的程序图，若输入n的值为6，则输出s的值为
A．105 B．16 C．15 D．1
10．对任意两个非零的平面向量α和β，定义. 若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角，且和都在集合中，则=
A． B． C．1 D．
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。
（一）必做题（11~13题）
11.函数的定义域为 .
12.若等比数列{an}满足则 .
13.由正整数组成的一组数据其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为 .（从小到大排列）
（二）（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，曲线和 的参数方程分别为（为参数，（t为参数），则曲线和的交点坐标为 .
15.（几何证明选讲选做题）如图3所示，直线PB与圆O相切于点B,D是玄AC上的点，.若AD=m,AC=n,则AB= .

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.（本小题满分12分）
已知函数
（1）求A的值；
（2）设求的值.
17.（本小题满分13分）
某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：.
（1）求图中的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分.
（3）若这100名学生语文成绩某些份数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如下表所示，求数学成绩在之外的人数.

18（本小题满分13分）
如图5所示，在四棱锥中，,,,是的中点，是上的点，且,为中边上的高。
（1）证明：；
（2）若求三棱锥的体积；
（3）证明：.

19. （本小题满分14分）
设数列前项和为，数列前项和为，满足，.
(1)求的值；
（2）求数列的通项公式.
20.（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，已知椭圆:（）的左焦点为,且点在.
（1） 求椭圆的方程；
（2） 设直线同时与椭圆和抛物线:相切，求直线的方程.
21.（本小题满分14分）
设，集合
.
(1) 求集合(用区间表示)
(2) 求函数在内的极值点.

2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（文科答案（详细解析版）
1、【解析】选 依题意：
2． 【解析】选
3. 【解析】选
4. 【解析】选 与是奇函数,，是非奇非偶函数
5. 【解析】选 约束条件对应边际及内的区域：
则
6. 【解析】选
由正弦定理得：
【解析】选 几何体是半球与圆锥叠加而成
它的体积为

8. 【解析】选
圆的圆心到直线的距离
弦的长

9. 【解析】选

10、【解析】选
都在集合中得：

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题每小题5分，满分20分。
(一）必做题（11-13题）
11.【解析】定义域为______
中的满足：或
12. 【解析】

13. 【解析】这组数据为_________
不妨设得：

①如果有一个数为或；则其余数为，不合题意
②只能取；得：这组数据为

（二） 选做题（14 - 15题，考生只能从中选做一题）
14. 【解析】它们的交点坐标为_______
解得：交点坐标为
15.(【解析】_______

得：

三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。
16. (本小题满分12分)
【解析】（1）
（2）

17.【解析】（1）
（2）平均分为
（3）数学成绩在内的人数为人
数学成绩在外的人数为人
答：（1） （2）这100名学生语文成绩的平均分为
（3）数学成绩在外的人数为人。

18.【解析】（1）平面，面
又面
（2）是中点点到面的距离
三棱锥的体积
（3）取的中点为，连接
，又平面面面面
点是棱的中点
得：平面

19.(本小题满分14分)
【解析】（1）在中，令
（2），相减得：
，，相减得：
，得

得：数列是以为首项，公比为的等比数列

20.(本小题满分14分)
【解析】（1）由题意得：
故椭圆的方程为：
（2）①设直线，直线与椭圆相切
直线与抛物线相切，得：不存在
②设直线
直线与椭圆相切两根相等

直线与抛物线相切两根相等

解得：或

21.（本小题满分14分）

【解析】（1）对于方程
判别式
因为，所以
① 当时，，此时，所以；
② 当时，，此时，所以；
当时，，设方程的两根为且，则
，

③ 当时，，，所以
此时，

（2），
所以函数在区间上为减函数，在区间和上为增函数
①是极点
②是极点
得： 时，函数极值点为，时，函数极值点为与

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