高考导数(洛必达法则).doc

第二部分：泰勒展开式
1. 其中；
2. 其中；
3. ，其中；
4. 其中；
第三部分：新课标高考命题趋势及方法
许多省市的高考试卷的压轴题都是导数应用问题，其中求参数的取值范围就是一类重点考查的题型.这类题目容易让学生想到用分离参数的方法，一部分题用这种方法很凑效，另一部分题在高中范围内用分离参数的方法却不能顺利解决，高中阶段解决它只有华山一条路——分类讨论和假设反证的方法.虽然这些压轴题可以用分类讨论和假设反证的方法求解，但这种方法往往讨论多样、过于繁杂，学生掌握起来非常困难.研究发现利用分离参数的方法不能解决这部分问题的原因是出现了”型的式子，而这就是大学数学中的不定式问题，解决这类问题的有效方法就是洛必达法则.
第四部分：洛必达法则及其解法
洛必达法则：设函数、满足：
（1）； （2）在内，和都存在，且；
（3） （可为实数，也可以是）.则.
（2011新）例：已知函数，曲线在点处的切线方程为.
（Ⅰ）求、的值； （Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围.
（Ⅰ）略解得，.（Ⅱ）方法一：分类讨论、假设反证法
由（Ⅰ）知，所以.
考虑函数，则.
(i)当时，由知，当时，.因为，
所以当时，，可得；当时，，可得
，从而当且时，，即；
（ii）当时，由于当时，，故，而，故当时，，可得，与题设矛盾.
（iii）当时 ，而，故当时，，可得，与题设矛盾.综上可得，的取值范围为.
注：分三种情况讨论：①；②；③不易想到.尤其是②时，许多考生都停留在此层面，举反例更难想到.而这方面根据不同题型涉及的解法也不相同，这是高中阶段公认的难点，即便通过训练也很难提升. 当，且时，，即，
也即，记，，且
则，
记，则，
从而在上单调递增，且，因此当时，，当时，；当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.
由洛必达法则有
，
即当时，，即当，且时，.因为恒成立，所以.综上所述，当，且时，成立，的取值范围为.
注：本题由已知很容易想到用分离变量的方法把参数分离出来.然后对分离出来的函数求导研究其单调性、极值.此时遇到了“当时，函数值没有意义”这一问题，很多考生会陷入困境.如果考前对优秀的学生讲洛必达法则的应用，再通过强化训练就能掌握解决此类难题的这一有效方法.
例（2010新）：设函数.
（Ⅰ）若，求的单调区间；（Ⅱ）当时，，求的取值范围.
应用洛必达法则和导数（Ⅱ）当时，，即.
①当时，；②当时，等价于.
记 ，则.
记 ，则，当时，，所以在上单调递增，且，所以在上单调递增，且，因此当时，，从而在上单调递增.
由洛必达法则有，
即当时，，所以当时，所以，因此.
综上所述，当且时，成立.
自编：若不等式对于恒成立，求的取值范围.
解：应用洛必达法则和导数
当时，原不等式等价于.记，则.
记，则.因为，
，所以在上单调递减，且，
所以在上单调递减，且.因此在上单调递减，
且，故，因此在上单调递减.
由洛必达法则有，
即当时，，即有.故时，不等式对于恒成立.
通过以上例题的分析，我们不难发现应用洛必达法则解决的试题应满足：
（1）可以分离变量；②用导数可以确定分离变量后一端新函数的单调性；③出现“”型式子.
2010海南宁夏文（21）
已知函数.
（Ⅰ）若在时有极值，求函数的解析式；（Ⅱ）当时，，求的取值范围.
解：（Ⅱ）应用洛必达法则和导数时，，即.①当时，；②当时，等价于，也即.记，，则.
记，，则，因此在上单调递增，且，所以，从而在上单调递增.
由洛必达法则有，即当时，所以，即有.
综上所述，当，时，成立.
2010全国大纲理（22）设函数.
（Ⅰ）证明：当时，；（Ⅱ）设当时，，求的取值范围.

2、昆虫种类繁多，分布很广，它们有着和其他动物不同的身体构造和本领。解：（Ⅰ）略 （Ⅱ）应用洛必达法则和导数
由题设，此时.①当时，若，则，不成立；
②当时，当时，，即；若，则；

4、举例说明微生物对人类有益的方面是什么？若，则等价于，即.

6、重新使用是指多次或用另一种方法来使用已用过的物品，它也是减少垃圾的重要方法。记，则.
记，则，.

一、填空：因此，在上单调递增，且，所以，
即在上单调递增，且，所以.
因此，所以在上单调递增.

5、垃圾的回收利用有哪些好处？由洛必达法则有，即当时，

二、问答题：，即有，所以.综上所述，的取值范围是.

15、为了便于辨认，人们把看起来不动的星星分成群，划分成不同的区域，根据其形态想象成人、动物或其他物体的形状，并且给它们命名。天空中这些被人们分成的许多区域就称为星座。（2008）例：设函数．

21、人们发现银河系以外还有类似银河系一样庞大的恒星集团，如：仙女座星系、猎犬座星系，目前人类已发现了超过100亿个河外星系。（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）如果对任何，都有，求的取值范围．
解：（Ⅰ）．

1、月相的变化有什么规律？（P49）当（）时，，即；

7、食盐、白糖、碱面、味精的颗粒都是有规则几何外形的固体，人们把这样的固体物质叫做晶体。自然界中的大部分固体物质都是晶体或由晶体组成。当（）时，，即．因此在每一个区间（）是增函数，在每一个区间（）是减函数．
（Ⅱ）应用洛必达法则和导数若，则；若，则等价于，即 则.记，

因此，当时，，在上单调递减，且，故，所以在上单调递减，而.另一方面，当时，，因此.