2008年海南省高考数学试题及答案（理科）.pdf

2008 年普通高等学校招生全国统一考试（海南卷）理科数学 数学（理）试题头说明：数学（理）试题头说明：本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，其中第卷第本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，其中第卷第 2224 题为选考题，其它题为必考题为选考题，其它题为必考题考生作答时，将答案答在答题卡上在本试卷上答题无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回题考生作答时，将答案答在答题卡上在本试卷上答题无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 注意事项：注意事项：1答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上形码粘贴在答题卡的指定位置上 2选择题答案使用选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用 0.5 毫米毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚 3请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效 4保持卡面清洁，不折叠，不破损保持卡面清洁，不折叠，不破损 5做选考题时，考生按照题目要求作答，并用做选考题时，考生按照题目要求作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 参考公式：参考公式：样本数据 x1，x2，xn的标准参 锥体体积公式 s=V=Sh 222121()()()nxxxxxxn31其中为样本平均数 其中 S 为底面面积，h 为高 x柱体体积公式 球的表面积、体积公式 V=Sh ，24SR 343VR其中 S 为底面面积，h 为高 其中 R 为球的半径 第卷第卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知函数)在区间的图像如下：2sin()(0)yx 0 2，yx211O那么（）A1 B2 C D 21312已知复数，则=（）1zi 122zzzA B C D 2i2i223如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍，那么它的顶角的余弦值为（）A B C D 1854323874设等比数列的公比 q=2，前 n 项和为 Sn，则=（）na24aSA B C D 242152175右面的程序框图，如果输入三个实数 a，b，c，要求输出这三 个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选 项中的（）A B C D cxxccbbc 6已知 a1a2a30，则使得都成立的 x 取值范围是（）2(1)1(12 3)ia xi，A B C D 110a，120a，310a，320a，7（）23sin702cos 10A B C D 12222328平面向量 a，b 共线的充要条件是（）Aa，b 方向相同 Ba，b 两向量中至少有一个为零向量 C，RbaD存在不全为零的实数，1212 0ab9甲、乙、丙 3 位志愿者安排在周一至周五的 5 天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面不同的安排方法共有（）A20 种 B30 种 C40 种 D60 种 10由直线，x=2，曲线及 x 轴所围图形的面积为（）12x 1yxA B C D 1541741ln222ln211已知点 P 在抛物线上，那么点 P 到点的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点24yx(21)Q，P 的坐标为（）开始输入abc，xabxxbxc输出x结束是是否否A B C D 114，114，(12)，(12)，12某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图76与俯视图中，这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段，则 a+b 的最大值为（）A B C D 2 22 342 5第卷第卷 本卷包括必考题和选考题两部分第本卷包括必考题和选考题两部分第 13 题第题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答第题为必考题，每个试题考生都必须做答第 22 题第题第 24 题题为选考题，考生根据要求做答为选考题，考生根据要求做答 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13已知向量，且，则(011)，a(410)，b29 ab0 14设双曲线的右顶点为 A，右焦点为 F过点 F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点 B，221916xy则AFB 的面积为 15一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底98面 周 长 为 3，则 这 个 球 的 体 积为 16从甲、乙两品种的棉花中各抽测了 25 根棉花的纤维长度（单位：mm），结果如下：甲品种：271273280285285 287292294295301303303307 308310314319323325325 328331334337352 乙品种：284292295304306307312313315315316318318 320322322324327329331333336337343356 由以上数据设计了如下茎叶图 3 1 277 5 5 0 28 45 4 2 29 2 58 7 3 3 1 30 4 6 79 4 0 31 2 3 5 5 6 8 88 5 5 3 32 0 2 2 4 7 97 4 1 33 1 3 6 734 32 35 6甲乙根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：；三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（本小题满分 12 分）已知是一个等差数列，且，na21a 55a （）求的通项；nana（）求前 n 项和 Sn的最大值 na 18（本小题满分 12 分）如图，已知点 P 在正方体的对角线上，ABCDA B C D BD60PDA（）求 DP 与所成角的大小；CC（）求 DP 与平面所成角的大小 AA D D 19（本小题满分 12 分）两个投资项目的利润率分别为随机变量 X1和 X2根据市场分析，X1和 X2的分布列分别为 AB，X1 5 10 P 0.8 0.2 （）在两个项目上各投资 100 万元，Y1和 Y2分别表示投资项目 A 和 B 所获得的利润，求方差 DY1，DY2；AB，（）将万元投资 A 项目，万元投资 B 项目，表示投资 A 项目所得利润的方差与投(0100)xx 100 x()f x资 B 项目所得利润的方差的和求的最小值，并指出 x 为何值时，取到最小值()f x()f x（注：）2()D aXba DX 20（本小题满分 12 分）在直角坐标系 xOy 中，椭圆 C1：=1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F2F2也是抛物线 C2：2222byax24yx的焦点，点 M 为 C1与 C2在第一象限的交点，且MF2=35 X2 2 8 12 P 0.2 0.5 0.3 ABCDPABCD（）求 C1的方程；（）平面上的点 N 满足，直线 lMN，且与 C1交于 A，B 两点，若，求直线 l 的21MFMFMN0OA OB 方程 21（本小题满分 12 分）设函数，曲线在点处的切线方程为 y=3 1()()f xaxabxbZ，()yf x(2(2)f，（）求的解析式：()f x（）证明：函数的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；()yf x（）证明：曲线上任一点的切线与直线 x=1 和直线 y=x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值()yf x 请考生在第请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分做答时，用题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分做答时，用 2B 铅笔在答题卡上铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑把所选题目对应的题号涂黑 22（本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲 如图，过圆外一点作它的一条切线，切点为，过点作直线垂直直线，垂足为 OMAAAPOMP（）证明：；2OM OPOA（）为线段上一点，直线垂直直线，且交圆于点过点的切线交直线于证明：NAPNBONOBBONK 90OKM 23（本小题满分 10 分）选修 44；坐标系与参数方程 已知曲线 C1：（为参数），曲线 C2：（t 为参数）cossinxy，22222xty，（）指出 C1，C2各是什么曲线，并说明 C1与 C2公共点的个数；（）若把 C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线写出的参数方程12CC，12CC，1C与公共点的个数和 C公共点的个数是否相同？说明你的理由 2C21C与 24（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知函数()84f xxx（）作出函数的图像；()yf x（）解不等式 842xx 答案 11OxyOMAPNBKBBDCA BCDAD AC （13）3 （14）（15）153234（16）.1.乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度）。2 甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散（或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定）甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大）.3 甲品种棉花的纤维长度的中位效为 307mm，乙品种棉花的纤谁长度的中位数为 318mm 4 乙品种棉花的纤堆长度基本上是对称的而且大多集中在中间（均值附近）甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（352）外也大致对称其分布较均匀 三、解答题（17）解：（1）设的公差为，由已知条件，解出，nad11145adad 13,2ad 所以。1125naandn （2）22114422nn nSnadnnn 所以时，取到最大2n nS值 4。（18）解：如图，以为原点，为单DDA位长度建立空间直角坐标系。Dxyz 则.1,0,0,0,0,1DACC 连结.,BD B D 在平面中，延长交于.BB D DDPB DH 设,10DHM MM 由已知,60DH DA 由 cos,DA DHDA DHDH DA 可得。2221mm 解得，所以 22m 22,122DH （）因为，2200 1 1222cos212DH CC ，所以 45DH CC ，即与所成的角为 DPCC45（）平面的一个法向量是 AA D D(010)DC，因为，2201 1 0122cos212DH DC ，所以 60DH DC ，可得与平面所成的角为 DPAA D D 3019解：（）由题设可知和的分布列分别为 1Y2Y Y1 5 10 P 0.8 0.2，15 0.8 10 0.26EY ，221(56)0.8(106)0.24DY，22 0.28 0.5 12 0.38EY 2222(28)0.2(88)0.5(128)0.312DY（）12100()100100 xxf xDYDY 2212100100100 xxDYDY 22243(100)100 xx，2224(46003 100)100 xx 当时，为最小值 600752 4x()3f x 20解：（）由：知 2C24yx2(10)F，Y2 2 8 12 P 0.2 0.5 0.3 ABCDPABCDxyzH设，在上，因为，所以，11()M xy，M2C253MF 1513x 得，123x 12 63y 在上，且椭圆的半焦距，于是 M1C1C1c 消去并整理得 2222481931.abba，2b，4293740aa解得（不合题意，舍去）2a 13a 故椭圆的方程为 1C22143xy（）由知四边形是平行四边形，其中心为坐标原点，12MFMFMN 12MFNFO因为，所以 与的斜率相同，lMNlOM故 的斜率 l2 63623k 设 的方程为 l6()yxm由消去并化简得 2234126()xyyxm，y 22916840 xmxm设，11()A xy，22()B xy，12169mxx212849mx x因为，所以 OAOB 12120 x xy y 121212126()()x xy yx xxm xm 2121276()6x xm xxm 22841676699mmmm 21(1428)09m所以 2m 此时，22(16)4 9(84)0mm 故所求直线 的方程为，或 l62 3yx62 3yx21解：（），21()()fxaxb于是解得或 2121210(2)abab，11ab，948.3ab，因，故 abZ，1()1f xxx（）证明：已知函数，都是奇函数 1yx21yx所以函数也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形 1()g xxx而 1()111f xxx 可知，函数的图像按向量平移，即得到函数的图像，故函数的图像是以点为中心的()g x(11)，a()f x()f x(11)，中心对称图形（）证明：在曲线上任取一点 00011xxx，由知，过此点的切线方程为 0201()1(1)fxx 2000200111()1(1)xxyxxxx令得，切线与直线交点为 1x 0011xyx1x 00111xx，令得，切线与直线交点为 yx021yxyx00(2121)xx，直线与直线的交点为 1x yx(11)，从而所围三角形的面积为 0000011121 21 12222121xxxxx 所以，所围三角形的面积为定值 222解：（）证明：因为是圆的切线，所以 MAOOAAM又因为在中，由射影定理知，APOMRtOAM 2OAOM OP（）证明：因为是圆的切线，BKOBNOK同（），有，又，2OBON OKOBOA所以，即 OP OMON OKONOMOPOK又，NOPMOK所以，故 ONPOMK90OKMOPN23解：（）是圆，是直线 1C2C的普通方程为，圆心，半径 1C221xy1(0 0)C，1r 的普通方程为 2C20 xy因为圆心到直线的距离为，1C20 xy1所以与只有一个公共点 2C1C（）压缩后的参数方程分别为：（为参数）；：（t 为参数）1Ccos1sin2xy，2C22224xtyt，化为普通方程为：，：，1C2241xy2C1222yx联立消元得，222 210 xx 其判别式，2(2 2)4 2 10 所以压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点，和与公共点个数相同 2C1C1C2C24解：（）44()2124848.xf xxxx，图像如下：11Oxy2 3 424-1-2-28-4（）不等式，即，842xx()2f x 由得 2122x5x 由函数图像可知，原不等式的解集为()f x(5)，