一类一阶线性微分方程的解法...程》课程考试试题的一题多解_张静茹.pdf

2023年第22卷 第3期产业与科技论坛2023（22）3Industrial&Science Tribune一类一阶线性微分方程的解法研究 一道 常微分方程 课程考试试题的一题多解张静茹赵临龙【内容摘要】对于一阶线性方程通常，其解法主要是通过函数变化法和积分因子法求解。如通过变量变换化为变量分离方程，通过求积分因子化为恰当方程等。现对一类一阶线性微分方程的解法进行研究探索，在多种解法的基础上，提出相关理论的猜想，以及更大围绕解决相关问题。【关键词】一阶线性微分方程;初等变换;积分因子;解题方法【基金项目】本文为陕西省一流课程建设项目“常微分方程”(编号:2020 156)研究成果。【作者单位】张静茹，赵临龙;安康学院数学与统计学院对于一阶线性微分方程解法，一般是通过函数变化法和积分因子法求解。函数变化法需要根据具体情况，采取不同的方法，而积分因子法是根据以下方式实现求解。对于一阶微分方程M(x，y)dx+N(x，y)dy=0(1)若 M/y=N/x 成立，则(1)为恰当方程，否则为非恰当方程。对于恰当方程(1)，若存在函数(x，y)，满足 d(x，y)=M(x，y)dx+N(x，y)dy=0，则方程(1)的解为(x，y)=c(c 为常数)。对非恰当方程(1)，若存在函数(x，y)只与 x 有关，有积分因子为(x)，其中(x)=e(x)dx1NMyN()x=(x)对非恰当方程(1)，若存在函数(x，y)只与 y 有关，有积分因子为(y)，其中(y)=e(y)dy1MMyN()x=(y)解法 1:令 M=(xy+1)y，N=x，M/y=2xy+1，N/x=1，M/yN/x，非恰当方程。此时，由于 ydx xdy=0 的积分因子为以下形式之一:1y2，1xy，1x2+y2，1x2 y2对于(2)两边同乘积分因子1y2，得 xdx+1ydx xy2dy=0两边积分得到通解:(1/2)x2+x/y=c(c 为任意常数)解法 2:将方程(1)变形为伯努利方程:?y yx=y2两边同除 y2得到:?y1y21xy=1(3)令 w=1y，则?w=?yy2，(3)为:?w+wx=1(4)(4)式两边同乘 x 得:?wx+w=x(5)(5)式两边积分得:wx=12x2+c(6)把 w=1y代回得到通解:xy=12x2+c(c 为任意常数)解法 3:令 xy=u，则 y=ux，dydx=dudx x ux2(7)(7)式变为:dydx=(xy+1)yx(8)联立(7)和(8)，有(xy+1)yx=dudx x ux2(9)(9)式 xy 替换为 u 得到:1u2+2udu=dudx x u(10)(10)式两边同时积分12(ln|u|ln|u+2|)=ln|x|+cU=xy 代回得到上式12(ln|xy|ln|xy+2|)=ln|x|+c(c 为任意常数)即通解:xy=12x2+c(c 为任意常数)解法 4:由(8)可知dydx=(xy+1)yx令 u=yx，则 y=ux，xy=ux2dydx=duxdx=u+xdudx=u(1+ux2)(11)1u=12x2+c(12)34产业与科技论坛2023年第22卷 第3期Industrial&Science Tribune2023（22）3将 u=yx代入(12)得到原式通解:xy=12x2+c(c 为任意常数)解法 5:由(8)可知dydx=(xy+1)yx，令 u=xy+1，则 y=u 1xdudx=y+xdydx=y+x(xy+1)yx=2y+xy2(13)将 y=u 1x代入(13)，得:dudx=2(u 1)x+x(u 1x)2=u21x，即dxx=duu21dxx=(1u 1uu21)du(14)(14)两边同时积分得:ln|x|+c=ln|u 1|12ln|u21|(15)将 u=xy+1 代入(15)得到通解:ln|x|+c=ln|xy|12ln|(xy+1)21|(c 为任意常数)即通解:xy=12x2+c(c 为任意常数)解法 6:令 u=Inx，v=Iny，x=eu，y=ev，dvdu=eu+v+1(16)令 u+v=w，则 1+dvdu=dwdu(17)联立(16)和(17)得:dwdu1=ew+1即dwdu=ew+2，dwew+2=du(18)12ln(1+2e w)=u+c将 u=Inx，v=Iny，u+v=w 代回上式，得:12ln(1+2xy)=Inx+c即通解:xy=12x2+c(c 为任意常数)解法 7:由MyNxN=2y 2x，猜想方程(2)有积分因子形式(x，y)=1x22，即先引进积分因子 1=1x2现在利用文献1 2，对于积分因子形式(x，y)=1x22，满足:(MyNx)=Nx My，(MyNx)/N=x(M/N)y1x22(2y 2x)=2x32+1x22x+(y2+yx)1x22y2yx22=1x22x+(y2+yx)1x22y，2y2=2x+(y2+yx)2y此时，取 2=(xy)2，则2x+(y2+yx)2y=2xy2+(y2+yx)2x2y3=2x2y=2y2即方程(2)有积分因子 2=(xy)2于是，(2)式两边同乘 1=1x2，有y2xdx xdy ydxx2=0即 x(yx)2dx d(yx)=0(19)(19)两边同乘积分因子 2=(xy)2，得:xdx d(yx)(yx)2=0两边积分得12x2+(yx)1=c，即12x2+xy=c由解法 7，可以得到猜想。猜想:对于一阶微分方程 M(x，y)dx+N(x，y)dy=0，若MyNxN=(x)(y)，则有积分因子 (x，y)=1(x)2(x，y)，其中 1(x)=e(x)dx可见，一题多解是大学生解题训练的有效途径，在微分方程课程学习中，不仅给出微分方程的解法，更重要的是揭示了微分方程的内在本质。我们在省级一流课程 常微分方程 建设中，经过课堂的一题多解训练产生了一大批的学生学习论文，见文献3 20。本文是大学生对常微分方程课程考试题给出一题多解，充分说明教学方法的有效性。【参考文献】1 李必文，赵临龙，张明波 常微分方程M 武汉:华中师范大学出版社，2014 2 刘海浪，赵临龙 一阶线性微分方程的积分因子解法 J 高师理科学刊，2010，30(2):53 54，65 3 李希，赵临龙 一类微分方程的解法探讨 J 数学学习与研究，2021，18:137 138 4 刘璇，赵临龙 一类一阶微分方程的解法研究 J 山东工业技术，2019，15:240 5 许志航，赵临龙 常微分方程中的一道一阶隐式微分方程的一题多解 J 山东工业技术，2019，15:244 6 郭旭，赵临龙 一道常微分方程的解法及其奇解讨论 J 山东工业技术，2019，17:210 7 蔺晓利，赵临龙 一类一阶微分方程解法的研究与推广 J 山东工业技术，2019，17:228 8 周杨，赵临龙 一阶线性微分方程的多解与克莱罗方程的推广及应用 J 山东工业技术，2019，17:199 9 张辉，赵临龙 一道黎卡提方程的多种解法及其推广 J 山东工业技术，2019，20:214442023年第22卷 第3期产业与科技论坛2023（22）3Industrial&Science Tribune核电厂事故工况源项中碘的形态调研报告李昂陈广恒丁世海【内容摘要】核电厂在事故工况下可能大量排放放射性碘。放射性碘对人体的健康危害很大。目前国际上共发生过三次影响比较深远的核电厂严重事故。I 131 在事故影响中是十分重要的一种核素，事故工况下放射性碘的重要性一直受到广泛的关注。本报告对目前国内外已开展的相关研究资料进行收集整理，形成调研报告。对放射性碘基本特性、危害及其理化特性，以及目前调研到的国内外针对事故工况下碘形态研究相关文献的基本内容进行介绍。最终得出针对事故工况下释放到安全壳的碘形态以 CsI 为主，但是较为细致的分析事故工况下的碘形态并不切实践。【关键词】碘核素;事故工况;安全分析;环境影响【基金项目】本文为项目课题“气态流出物取样系统性能计算和试验分析试验任务”(编号:LXSQ 2900 QTXM 2019 0034/00)研究成果。【作者简介】李昂，男，河北石家庄人，中国核电工程有限公司助理工程师，硕士;研究方向:核电工程运行陈广恒，男，北京人，中国核电工程有限公司高级工程师;研究方向:核电工程运行丁世海，男，北京人，中国核电工程有限公司研究员级高级工程师，硕士;研究方向:科研设计管理一、概述在核电厂的正常运行过程中，气态流出物中放射性碘的浓度很低，只有在事故工况下才可能大量排放放射性碘。人体甲状腺对放射性碘有很高的吸收能力，导致核设施释放的放射性碘对人体的健康危害很大。因此，在流出物监测领域中，碘的监测及取样一直是一个非常重要的问题。目前国际上共发生过三次影响比较深远的核电厂严重事故，即切尔诺贝利核事故、三哩岛核事故以及福岛核事故，每次核事故发生都对核电的发展带来了重大的影响，同时也促使国内外对事故中放射性源项的释放开展了大量的研究工作。而放射性碘，特别是 I 131 在事故影响中是十分重要的一种核素，在核电厂安全分析、环境影响评价以及应急预案等执照申请文件中，均需对事故的影响进行评价，其中的一项重要工作即为确定事故工况下释放到环境中的碘的含量，并明确其可能的化学形态。我国尚未开展过压水堆核电厂源项中碘的形态试验，然而自核电发展以来，事故工况下放射性碘的重要性一直受到广泛的关注，因此针对事故工况下碘释放及其形态研究的资料也较为丰富。本报告将对目前国内外已开展的相关研究资料进行收集整理，形成调研报告。二、放射性碘的一般特性(一)放射性碘的产生。碘核素可分为放射性碘核素和非放射性或稳定性碘核素两大类。目前已知，存在于自然界中或由人工生产的碘核素共有 27 种，一般实际中应用的和文献中经常引用的碘核素有 26 种，它们的质量数从 117 140 不等，其中除 I 127 是自然产生的稳定碘核素外，皆为放射性碘核素1。稳定性碘主要存在于海水和智利硝石中，其次是土壤中2。(二)放射性碘的危害。辐射对人体的影响可分近期效应和远期效应两种类型。在辐射防护和环境保护工作中，通常照射均是小剂量的慢性照射，一般来说，小剂量慢性照射对人体的影响主要是远期效应。放射性碘会在人体内蓄积，尤其是 I 131，是、混合辐射体，其半衰期约为 8 天。当人体吸入或摄入放射性碘时，放射性碘会主要集中到甲状腺中，并在该器官中蓄积，形成高浓度的放射性碘，高浓度放射性碘将会增加甲状腺癌发生的风险。10 刘锐，赵临龙 一道一阶微分方程解题思想的讨论J 山东工业技术，2019，21:174 11 陈丽敏，赵临龙 一道伯努利方程微分方程解法的讨论 J 山东工业技术，2019，21:203 12 李思瑜，赵临龙 一道一阶微分方程解法的讨论J 山东工业技术，2019，20:246 13 杨冯，赵临龙 从一道微分方程解题想到的积分因子变换 J 山东工业技术，2019，21:238 14 王洁，赵临龙 一道一阶线性微分方程的“一题多解”及推广 J 山东工业技术，2019，22:211 15 林田田，赵临龙 对一道一阶直线型微分方程给出 3 种解法 J 民营科技，2018，10:46 16 史凯文，赵临龙 对一道一阶常微分方程给出 3 种解法 J 民营科技，2018，10:57 17 赵静静，赵临龙 一道常微分方程习题的一题多解J 民营科技，2018，8:34 18 刘利，赵临龙 一道常微分方程的解法及其推广J 民营科技，2018，3:51 19 刘梦杰，赵临龙 浅析一道一阶微分方程的多种解法 J 民营科技，2018，1:42 20 王子怡，赵临龙 微分方程变换求解的本质讨论J 民营科技，2018，2:2154